正弦定理、余弦定理、解三角形-(修改的)知识讲解.doc

正弦定理、余弦定理、解三角形 (修改的)

精品文档
解三角形
正弦定理（一）
正弦定理：，
(2)推论：正余弦定理的边角互换功能
① ，，
②，，
③ ==
④
典型例题:
1．在△ABC中，已知，则∠B等于（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，已知，则这样的三角形有_____1____个．

3．在△ABC中，若,求的值．
解　　由条件∴
同理可得∴＝＝

练习:
一、 选择题
1．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（　　）．
Ａ．　 Ｂ．　 　Ｃ．　 　Ｄ．
2．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．在△ABC中，，则△ABC一定是（　　　）
Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形
解：在△ABC中，∵，∴，由正弦定理，
得。
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
二、填空题
4．在△ABC中，已知且Ｓ△ABC＝　，则Ｃ＝_______
5．如果，那么△ABC是__等腰三角形_____
三、解答题
6．在△ABC中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC＝４，求的值．
解　由条件Ｓ△ABC＝ ∴
当B为锐角时，由∴
当B为钝角时，由∴
7．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．
解∵Ｂ＝Ａ＋ ∴
又 ∴
∴
∴又∵ ∴
8．在△ABC中，求证：
解：.

1．1．1．正弦定理（二）
三角形的面积公式：
（1）== （2）s=
（3）
典型例题:
【例1】．在△ABC中，已知，则的值为 （ 　 ）
Ａ．　 Ｂ．　　Ｃ．　 　Ｄ．

【例2】．在△ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_________
答案：

【例3】．△ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程的根，求△ABC的面积．

解 设两边夹角为α,而方程的两根
∴∴∴Ｓ△ABC＝
【例4】在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。
分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。
【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C<900，即：，
由正弦定理知：
，故所求的范围是：。

练习:
一、 选择题
1．在△ABC中，已知，则等于（ ）
Ａ． 　Ｂ．　　 Ｃ．　 　Ｄ．

2．在△ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( )
Ａ. 　Ｂ． 　Ｃ．　 　Ｄ．

3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则m的取值范围是（ ）
Ａ．（０，＋∞）　　Ｂ．（，＋∞）　　Ｃ．（１，＋∞） 　Ｄ．（２，＋∞）　
4．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg()=lgsinA=－lg, 则△ABC为（    ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

二、填空题
5．在中，已知，那么的形状是一定是等腰三角形___　　　
解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．
解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．
∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．

6．在△ABC中，已知，Ｓ△ABC＝，则_________　　
三、解答题
7．已知方程的两根之积等于两根之和，且为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状

解：由方程两根之积为，方程两根之和为，∴
由正弦定理，得 即
∵ ∴Ａ－Ｂ＝０ ∴Ａ＝Ｂ
∴三角形为等腰三角形
8．在△ABC中，，求sinB的值。
解　由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB
由
得
即即
∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝∴Ｂ＝－（Ａ＋Ｃ）
∴
∴
∵　　∴　 ∴
∴
9、在,求
（1） (2)若点
解：（1）由

　由正弦定理知
（2），
由余弦定理知
B
D
C
α
β
A

10、如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明 ;
（2）若AC=DC,求的值.
解：(1)．如图3，，
　　即．
（2）．在中，由正弦定理得

　　　　由(1)得，
　　　　即．

11如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值．
【解】由于为正三角形的中心，∴，
，设，则，
在中，由正弦定理得：，
∴，在中，由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，故当时取得最大值，
所以，当时，此时取得最小值．

1．1．2．余弦定理（一）
余弦定理：
典型例题:
1．在△ABC中，已知，则△ABC的最小角为（ ）
A． B．　 Ｃ．　 Ｄ．

２．在△ABC中，已知，则_________　

3．在△ABC中，已知，求及面积
解 由余弦定理，知

∴又∵∴∴

练习:
一、 选择题
1．在△ABC中，如果,则角Ａ等于（　　）
Ａ．　　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．

２．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．

３在△ABC中，已知则角Ｃ＝（　　）
Ａ．　 Ｂ． 　Ｃ．　 Ｄ．
4．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰
好km，那么x的值为（    ）
A. B. 2 C. 2或 D. 3
二、填空题
5．已知锐角三角形的边长为1、3、，则的取值范围是_________　　
6、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是120°

7．在△ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_________　　
三、解答题
8．在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, ,求的长.
解：由正弦定理，得 ∵Ａ＝２Ｃ ∴
∴ 又　∴　　　　　　　①
由余弦定理，得 　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　　　　　　
① 入②，得　∴
9．已知锐角三角形ABC中，边为方程的两根,角A、B满足，求角C、边c及Ｓ△ABC。
解 ，得 X1=, X 2=
∵∴ 由于△ABC为锐角三角形，
∴Ｃ＝由余弦定理，得
∴ Ｓ△ABC＝
10如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
解：设，在△AOB中，由余弦定理得：

于是，四边形OACB的面积为
S=S△AOB+ S△ABC

因为，所以当，，即时，
四边形OACB面积最大．

1．1．2．余弦定理（二）
典型例题:
1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（　　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．非钝角三角形

2、△的三内角所对边的长分别为设向量
,,若,则角的大小为
(A) (B) (C) (D)
解：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。

3.如图，在中，是边上一点，则.
解：由余弦定理得
可得，
又夹角大小为，，
所以.
4. 在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若a=,b+c=3,求b和c的值.
解：（1）在△ABC中有B+C=π-A，由条件可得
4[1-cos（B+C）]-4cos2A+2=7.………2分
又∵ cos（B+C）=-cosA， ∴4 cos2A-4cosA+1=0
解得：cosA=, 又A∈（0，π），∴ A=.
（2）由cosA= 知 =, 即
又a=，b+c=3，代入得 .
由 或
练习:
一、 选择题
1．在△中，,,分别是，，的对边，且
则等于 （ ）
A． B． C． D．
２．在△ABC中，若，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是（　　　）
Ａ．直角三角形 　 Ｂ．等边三角形　 Ｃ．　等腰三角形　　Ｄ．等腰直角三角形

３．在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值为（　　）
Ａ．　 　Ｂ． 　Ｃ． 　Ｄ．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x
在ΔBDE中利用余弦定理可得：，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，即又 ，故，

4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．
5.在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 (　　)
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，
∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．答案：B
二、填空题
6．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４，则ＡＣ＝_________　　
7. 在△ABC中，已知,Ｓ△ABC＝,则_________　　
三、解答题
8．在△ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。
解　由余弦定理,知，
∴

9．已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积
解　如图，连结ＢＤ，则四边形面积
Ｓ＝Ｓ△ABD+Ｓ△BCD=
∵A+C=1800 ∴sinＡ= sin C
∴Ｓ＝=16 sinＡ
由余弦定理,知在△ABC中，

在△CDB中,∴
又∴Ａ＝1200
∴Ｓ＝16sinＡ＝
10、 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（1）求角C的大小；

（2）求△ABC的面积．
解：（1）由
∴ 4cos2C－4cosC＋１＝０
解得　 ∵0°＜C＜180°,∴C=60° ∴ C＝60°
（2）由余弦定理得C2＝a2＋b2－2ab cos C 即 7＝a2＋b2－ab ①
又a＋b＝5 ∴a2＋b2＋2ab＝25 ②
由①②得ab＝6
∴ S△ABC＝

1．1．3．正、余弦定理的综合应用
典型例题:
例题１．在中，若，则的大小是___________.
解： Ûa:b:c＝5:7:8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
由余弦定理可解得的大小为.
例题２.在△ABC中，∠Ａ满足条件，则∠Ａ＝_________　 ，△ABC的面积等于_______
答案：；

例题3　在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
错解：∵A＝60°，b＝1，，又，
∴，解得c＝4。
由余弦定理，得
又由正弦定理，得。
∴。
辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。
正解：由已知可得。由正弦定理，得
。。

例题4. 在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，
（１）求∠Ａ的大小；
（２）求的值
解 （１）∵∴
在△ABC中，由余弦定理得
∴∠Ａ＝
（２）在△ABC中，由正弦定理得
∵ ∴
练习:
一、 选择题
１．在△ABC中，有一边是另一边的２倍，并且有一个角是，那么这个三角形（　　　）
Ａ．一定是直角三角形 Ｂ．一定是钝角三角形
Ｃ．可能是锐角三角形 Ｄ．一定不是锐角三角形
点评：三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大边，则有：
三角形是锐角三角形；三角形是直角三角形；三角形是钝角三角形。
２．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
３．已知△ABC中，＝（）成立的条件是（　　　　）
Ａ．　　　　　　 　Ｂ．　　
Ｃ．且　 Ｄ．或
4.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为(　　)
A . B . C . D．9
解析：由余弦定理得：三角形第三边长为 ＝3，
且第三边所对角的正弦值为 ＝，
所以2R＝⇒R＝.
二、填空题
5．已知在△ABC中，Ａ＝，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么　ＢＣ边长等于__7______
6．已知锐角的三内角A、B、C的对边分别是
则角A的大小_________；
7．在△ABC中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝８，∠ＡＢＣ＝，Ｄ是其外接圆弧上一点，且ＣＤ＝３，则ＡＤ的长是____5____
三、解答题
8．在△ABC中，角A、B、C对边分别为，Ｓ为△ABC的面积，且有
，
（１）求角Ｂ的度数；
（２）若，Ｓ＝，求的值
解 由二倍角公式，已知等式化简为

∴∴Ｂ＝或120°
∴∴
当Ｂ＝时，由余弦定理,得
当Ｂ＝120°时，由余弦定理,得
9．△ABC中的三和面积Ｓ满足Ｓ＝，且，求面积Ｓ的最大值。
解∵
由余弦定理,得∴

∴ ∵
∴

∴ ∴

∵ ∴0＜＜2
∴当时，Ｓmax =
10．在中，已知内角，边.设内角,面积为.
(1) 求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
11．在中, 角A、B、C的对边分别为、、.若的外接圆的半径,且, 求B
解析：　　由　，，．
代入　　得．
整理得
即　

1．2 应用举例（一）
典型例题:
图1
A
B
C
D
例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。
解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”

2．10．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )
A米 B米 C米 D米A

3．在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.
解 C、C解’关于点B对称，设云高CE = x
则CD = x - h，C’D = x + h，
在Rt△ACD中，
在Rt△AC’D中，,
∴ 解得 .

4、如图，为了测量塔的高度，先在塔外选和塔
脚在一直线上的三点、、，测得塔的仰角分
别是，，求求的大小及塔的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4，
= 。
因为 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=30 =15，
在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，
AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= --------- ①
在RtADE中，sin4=, --------- ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
5.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

解： 方案一：①需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）．

②第一步：计算．由正弦定理；
第二步：计算．由正弦定理；
第三步：计算．由余弦定理．
方案二：①需要测量的数据有：
点到点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）．
②第一步：计算．由正弦定理；
第二步：计算．由正弦定理；
第三步：计算．由余弦定理．
练习:
一、选择题
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A.10海里 B.海里C. 5海里 D.5海里

2．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )
A.10海里 B.海里 C. 5海里 D.5海里
3．如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得
∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ ）.
（A）20 （B）20 （C）40 （D）20

4、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟

二、填空题
5．一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 

6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是
三、解答题

7．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q
解：在△ABC中，AB = 100m , ÐCAB = 15°, ÐACB = 45°-15° = 30°
由正弦定理： ∴BC = 200sin15°
在△DBC中，CD = 50m , ÐCBD = 45°, ÐCDB = 90° + q, 由正弦定理：

Þcosq =∴q = 42.94°
北

乙
甲
8如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
解法一：如图，连结，由已知，
，
，
北

甲
乙
又，
是等边三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图，连结，
由已知，，，
北

乙
甲

，

．
在中，由余弦定理，

．
．
由正弦定理，
，即，．
在中，由已知，由余弦定理，

．
，
乙船的速度的大小为海里/小时．
答：乙船每小时航行海里．

9．某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。
解：设所求最大圆的半径为x，
则在△ABC中

又在△ACD中：

又在△ACD中：

10在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台
风中心位于城市O(如图)的东偏南方向
300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，
并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到
台风的侵袭？持续多长时间？
角：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t

故
即 解得
答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．

1．2 应用举例（二）
典型例题：
例1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时（ ）
A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里
例2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 小时

图3
A
B
C
北
45°
15°
例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°　
方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南　　
偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航
行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？
解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理，
，，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）
∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。
根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，
∴甲船沿南偏东－arcsin的方向用h可以追上乙船。
点评：（1）航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。
（2）在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.
证明：在△ABD内，利用正弦定理得：

在△BCD内，利用正弦定理得：

∵BD是B的平分线.
∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC.
∵∠ADB＋∠BDC＝180°
∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC
∴
∴

练习：
一、选择题
1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）
A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h

2．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β）则A点离地面的高AB等于（ ）
A． 　　B． C． D．

3．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是（　）
A． B． C． D．

二、填空题

4．我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 14nmile/h

5．在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为__20（1+） m _____

三、解答题

6．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）

解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为θ1，F2与竖直方向的夹角为θ2，则有
①
②（其中g为重力加速度）
由①式和②式消去，得即. ③
∵，由②式知，③式中 不合题意，舍去
又∵4cos2θ1－3≥0，解得
经检验，当时，，不合题意，舍去.∴2＜m＜6
综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.

7．海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西60°的C处，俯角为60°，
（1）求该船的速度；
（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？
（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？
解:设AD=x，AC=y，
①
而在△ABC中，

即 ②
②—①得，
代入①得
得，即此人还需走15km才能到达A城.
C
A
B
8.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度
为（y－0.5）米 在△ABC中，依余弦定理得：

即
化简，得 ∵，∴
因此 当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值

解三角形测试题
一、选择题
1.在△ABC中，，那么△ABC一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解：由正弦定理，得
即
。
∴2A＝或。
∵或。
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

2.△ABC中，则S△ABC= （ ）
A． 　B． C． D．

3.在△ABC中，一定成立的等式是（　　）
A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D.．cosB=bcosA

4.若，，则△ABC为（　　）
A．等边三角形 　　B．等腰三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形 　　D．有一个内角为30°的等腰三角形

5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ）
A．90° 　B．120° 　C．135° D．150°

6.设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a≥3　　 　B．a＞－1 　C．－1＜a≤3 　 D．a＞0

7.△ABC中,A、B的对边分别为a,b，且A=60°，,那么满足条件的△ABC（ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定

8.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° 　　　　　 B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° 　　　 　　D．a = 14，b = 16，A = 45°

９.在△ABC中，，则三角形最小的内角是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．以上都错

１０.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）
A．1公里 B．sin10°公里 C．cos10°公里 D．cos20°公里

二.填空题
1１.在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为

1２.在△ABC中，a+c=2b，A－C=60°，则sinB= .

1３.在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B= 40 时，BC的长取得最大值.

14．△ABC的三个角A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍,则三内角之比为1:2:3 .

5、在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=，则△ABC的面积为 ，△ABC的外
接圆的面积为 。

三、解答题：
16.在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b
16.

17. a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12,bc=48,b－c=2,求a.
解：解法一：由,解得
又∵S△ABCC=, ∴
∴cosA=±,∴a2=b2+c2-2bc·cosA=64+36-2×8×6×(±)=100±48,
∴a=2或2.
解法二：∵S△ABC=,
∴
∴cosA=±,∴a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=22+2×48×(1±)=100±48
∴a=2或a=2

18．在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（Ⅰ） 由余弦定理，得

那么，
（Ⅱ）由，且得由正弦定理，得
解得.所以，.由倍角公式
，且，故
.

19.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
600
2
1
D
C
B
A
∠ABC=600，AC=7，AD=6，S△ADC=，求AB的长.
19.ＡＢ＝９

20.在ABC中，, sinB=.
（I）求sinA的值；
(II)设AC=，求ABC的面积.
解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，
∴，又，∴
（Ⅱ）如图，由正弦定理得
∴，又

∴

21.一缉私艇在岛B南50°东相距 8（）n mile的A处，发现一走私船正由岛B沿方位角为方向以 8n mile／h的速度航行，若缉私艇要在2小时时后追上走私船，求其航速和航向．

21. 缉私艇应以8 n mile/ h的速度按方位角 355°方向航行.

22、如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，
在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，
∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a. ①
在△BCD中，由正弦定理可得
BC＝＝a. ②
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，
所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为
AB＝＝a.

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