正弦定理和余弦定理知识点总结(学案)附答案.doc

高频考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A．1个 B．2个
C．0个 D．无法确定
(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．
(3)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
答案　(1)B　(2)45°，30°，105°　(3)1
解析　(1)∵bsinA＝×＝，∴bsinA<a<b.
∴满足条件的三角形有2个．
(2)由题意知a＝b，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即2b2＝b2＋c2－2bccosA，
又c2＝b2＋bc，
∴cosA＝，A＝45°，sinB＝，B＝30°，∴C＝105°.

【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法
①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．
②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x＞2 B．x＜2
C．2＜x＜2 D．2＜x＜2
(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝________.
答案　(1)C　(2)1
解析　(1)若三角形有两解，则必有a＞b，∴x＞2，
又由sinA＝sinB＝×＜1，
可得x＜2，
∴x的取值范围是2＜x＜2.
(2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝，
设AB＝x，由余弦定理，得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，
化简得x2－2x＋1＝0，
∴x＝1，即AB＝1.
高频考点二　和三角形面积有关的问题
例2、(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解　(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C.
所以－cos2B＝sin2C.①
又由A＝，即B＋C＝π，得
－cos2B＝－cos2
＝－cos
＝sin2C＝2sinCcosC，②
由①②解得tanC＝2.

【感悟提升】
(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解　(1)由题设A与C互补及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②
由①②得cosC＝，BD＝，
因为C为三角形内角，故C＝60°.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC
＝sin60°
＝2.
高频考点三　正弦、余弦定理的简单应用
例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
(2)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案　(1)A　(2)B

【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
【变式探究】(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．

答案　(1)D　(2)

(2)sin∠BAC＝sin(＋∠BAD)＝cos∠BAD，
∴cos∠BAD＝.
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
＝(3)2＋32－2×3×3×，
即BD2＝3，BD＝.
1．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)
A.　 B.
C. D.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则为(　　)
A．2sinC B．2cosB
C．2sinB D．2cosC
解析：由于C＝2B，故sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以＝2cosB，由正弦定理可得＝＝2cosB，故选B。
答案：B
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得：＝⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝。
答案：C
4．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg，则A＝(　　)
A．90° B．60°
C．120° D．150°

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为(　　)
A．－ B.
C．1 D.
解析：由正弦定理可得＝22－1＝22－1，因为3a＝2b，所以＝，
所以＝2×2－1＝。
答案：D
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是(　　)
A．1 B.
C. D．3
解析：由csinA＝acosC，所以sinCsinA＝sinAcosC，即sinC＝cosC，所以tanC＝，C＝，A＝－B，所以sinA＋sinB＝sin＋sinB＝sin，
∵0＜B＜，∴＜B＋＜，
∴当B＋＝，
即B＝时，sinA＋sinB的最大值为.故选C。
答案：C
7.在△ABC中,若A=π3,B=π4,BC=32,则AC=(　　)
A.32 B.3 C.23 D.45
【答案】C。
【解析】由正弦定理可得:BCsinA=ACsinB,
即有AC=BC·sinBsinA=32×sinπ4sinπ3=23.
8.在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC的形状是　(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【答案】C
【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,
因为a2+b2<c2,所以2abcosC<0,
所以C为钝角,△ABC是钝角三角形.
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-bc-a=sinAsinC+sinB,则B=　(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4
【答案】C.

10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=2a,则　(　　)
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
【答案】A
【解析】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,
即ba2+ba-1=0,ba=-1+52<1,故b<a.
11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=　　　　　.
【解析】由正弦定理可得1532=10sinB,所以sinB=33,
再由b<a,可得B为锐角,
所以cosB=1-sin2B=63.
答案:63
12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,则B=　　　　.
【解析】在△ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,
所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=3ac,
所以cosB=a2+c2-b22ac=32,所以B=π6.
答案:π6
13.△ABC中,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
(1)求sinBsinC.
(2)若∠BAC=60°,求B.
【解析】(1)如图,由正弦定理得:
ADsinB=BDsin∠BAD,ADsinC=DCsin∠CAD,
因为AD平分∠BAC,BD=2DC,
所以sinBsinC=DCBD=12.
(2)因为C=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°,
所以sinC=sin(∠BAC+B)
=32cosB+12sinB,
由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30°.
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
(2)若BA→·BC→=2,且b=22,求a和c的值.
【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,
即sin(B+C)=3sinAcosB,
可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,
因此cosB=13.
(2)由BA→·BC→=2,可得accosB=2,
又cosB=13,故ac=6,
由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,
所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.
(1)求角C的值.
(2)若2cos2A2-2sin2B2=32,且A<B,求ca.

(2)因为2cos2A2-2sin2B2=1+cosA-1+
cosB=cosA+cos2π3-A=12cosA+32sinA=sinA+π6=32,
因为A+B=2π3,且A<B,
所以0<A<π3,
所以π6<A+π6<π2,即A+π6=π3,
所以A=π6,B=π2,C=π3,
则ca=sinCsinA=3212=3.
16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.

(1)求cos∠CAD的值.
(2)若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=216,求BC的长.

于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=32114×277--714×217=32.
在△ABC中,由正弦定理得,BCsinα=ACsin∠CBA.
故BC=AC·sinαsin∠CBA=7×32216=3.