正弦定理和余弦定理知识点总结(学案)附答案.doc

高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A1个B2个C0个D无法确定(2)在ABC中，已知sinAsinB1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_(3)(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_.答案(1)B(2)45，30，105(3)1解析(1)bsinA，bsinAab.满足条件的三角形有2个(2)由题意知ab，a2b2c22bccosA，即2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A45，sinB，B30，C105.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数【变式探究】(1)已知在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是()Ax2Bx2C2x2D2x2(2)在ABC中，A60，AC2，BC，则AB_.答案(1)C(2)1解析(1)若三角形有两解，则必有ab，x2，又由sinAsinB1，可得x2，x的取值范围是2x2.(2)A60，AC2，BC，设ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosA，化简得x22x10，x1，即AB1.高频考点二和三角形面积有关的问题例2、(2015浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tanC的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bcos2cossin2C2sinCcosC，由解得tanC2.【感悟提升】(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积解(1)由题设A与C互补及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosC1312cosC，BD2AB2DA22ABDAcosA54cosC由得cosC，BD，因为C为三角形内角，故C60.(2)四边形ABCD的面积SABDAsinABCCDsinCsin602.高频考点三正弦、余弦定理的简单应用例3、(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案(1)A(2)B【举一反三】(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1. 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理【变式探究】(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形(2)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案(1)D(2) (2)sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233，即BD23，BD.1已知ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，b2acosB，c1，则ABC的面积等于()A. B.C. D.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C2B，则为()A2sinC B2cosBC2sinB D2cosC解析：由于C2B，故sinCsin2B2sinBcosB，所以2cosB，由正弦定理可得2cosB，故选B。答案：B3已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B()A. B.C. D.解析：由sinA，sinB，sinC，代入整理得：c2b2aca2，所以a2c2b2ac，即cosB，所以B。答案：C4在ABC中，若lg(ac)lg(ac)lgblg，则A()A90 B60C120 D1505在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A B.C1 D.解析：由正弦定理可得221221，因为3a2b，所以，所以221。答案：D6在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinAacosC，则sinAsinB的最大值是()A1 B.C. D3解析：由csinAacosC，所以sinCsinAsinAcosC，即sinCcosC，所以tanC，C，AB，所以sinAsinBsinsinBsin，0B，B，当B，即B时，sinAsinB的最大值为.故选C。答案：C7.在ABC中,若A=3,B=4,BC=32,则AC=()A.32B.3C.23D.45【答案】C。【解析】由正弦定理可得:BCsinA=ACsinB,即有AC=BCsinBsinA=32sin4sin3=23.8.在ABC中,若a2+b2c2,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】C【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,因为a2+b2c2,所以2abcosCbB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120,b2+ab-a2=0,即ba2+ba-1=0,ba=-1+521,故ba.11.在ABC中,a=15,b=10,A=60,则cosB=.【解析】由正弦定理可得1532=10sinB,所以sinB=33,再由ba,可得B为锐角,所以cosB=1-sin2B=63.答案:6312.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,则B=.【解析】在ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=3ac,所以cosB=a2+c2-b22ac=32,所以B=6.答案:613.ABC中,点D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC.(2)若BAC=60,求B.【解析】(1)如图,由正弦定理得:ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD,因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB,由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30.14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若BABC=2,且b=22,求a和c的值.【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA0,因此cosB=13.(2)由BABC=2,可得accosB=2,又cosB=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.15.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上. (1)求角C的值. (2)若2cos2A2-2sin2B2=32,且AB,求ca. (2)因为2cos2A2-2sin2B2=1+cosA-1+cosB=cosA+cos23-A=12cosA+32sinA=sinA+6=32,因为A+B=23,且AB,所以0A3,所以6A+62,即A+6=3,所以A=6,B=2,C=3,则ca=sinCsinA=3212=3.16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值.(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=32114277-714217=32.在ABC中,由正弦定理得,BCsin=ACsinCBA.故BC=ACsinsinCBA=732216=3.