正弦定理和余弦定理-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.doc

§4.6　正弦定理和余弦定理
2014高考会这样考　1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．
复习备考要这样做　1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

1． 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
4． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
[难点正本　疑点清源]
1． 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

1． 在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________.
答案　2
解析　由正弦定理及等比性质知
＝＝＝＝2R，
而由A＝60°，a＝，
得＝2R＝＝＝2.
2． (2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
答案　－
解析　设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，
由题意得b＝a，c＝2a.
在△ABC中，由余弦定理得
cos C＝＝＝－.
3． (2012·重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
答案　
解析　在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝.
∵cos B＝>0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理知＝，
∴c＝＝＝.
4． (2011·课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
答案　2
解析　由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角，
由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，
因此AB＋2BC有最大值2.
5． 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为 (　　)
A．2 B．8 C. D.
答案　C
解析　∵＝＝＝2R＝8，∴sin C＝，
∴S△ABC＝absin C＝abc＝×16＝.

题型一　利用正弦定理解三角形
例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.
思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．
解　由正弦定理得＝，＝，
∴sin A＝.
∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
探究提高　(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为___________．
答案　
解析　∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝.
由正弦定理知：sin A＝＝，
又a<b，∴A<B，∴A＝.
题型二　利用余弦定理求解三角形
例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
思维启迪：由＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．
解　(1)由余弦定理知：
cos B＝，cos C＝.
将上式代入＝－得：
·＝－，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac.
∴cos B＝＝＝－.
∵0<B<π，∴B＝π.
(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
∴13＝16－2ac，∴ac＝3.
∴S△ABC＝acsin B＝.
探究提高　(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解　(1)由2cos2＋cos A＝0，
得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－，
∵0<A<π，∴A＝.
(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，
A＝，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2，b＋c＝4，
有12＝42－bc，则bc＝4，
故S△ABC＝bcsin A＝.
题型三　正弦定理、余弦定理的综合应用
例3　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.
解　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C，
所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin＝.
又0<A<π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
探究提高　在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．
解　(1)∵c＝2，C＝，
∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4.
又∵△ABC的面积为，∴absin C＝，ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A，
即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A·(sin A－sin B)＝0，
∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，
当cos A＝0时，∵0<A<π，
∴A＝，△ABC为直角三角形；
当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，
由正弦定理得a＝b，
即△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

高考中的解三角形问题

典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．
(1)求cos B的值；
(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值．
考点分析　本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力．
解题策略　根据三角形内角和定理可直接求得B；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解．
规范解答
解　(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，
所以cos B＝.[4分]
(2)方法一　由已知b2＝ac，及cos B＝，
根据正弦定理得sin2B＝sin Asin C，[8分]
所以sin Asin C＝1－cos2B＝.[12分]
方法二　由已知b2＝ac，及cos B＝，
根据余弦定理得cos B＝＝＝，
解得a＝c，[8分]
所以A＝C＝B＝60°，故sin Asin C＝.[12分]
解后反思　(1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．
(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.

方法与技巧
1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明．
失误与防范
1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．
2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．

A组　专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)
1． (2012·广东)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC等于 (　　)
A．4 B．2 C. D.
答案　B
解析　在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝2.
2． (2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于 (　　)
A．－ B. C．－1 D．1
答案　D
解析　∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin Bsin B，
即sin Acos A－sin2B＝0，∴sin Acos A－(1－cos2B)＝0，
∴sin Acos A＋cos2B＝1.
3． 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是 (　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案　C
解析　因为a＝2bcos C，所以由余弦定理得：a＝2b·，整理得b2＝c2，因此三角形一定是等腰三角形．
4． (2012·湖南)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．
∴BC边上的高为AB·sin B＝3×＝.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝________.
答案　
解析　根据正弦定理应有＝，
∴a＝＝＝.
6． (2011·福建)若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．
答案　2
解析　由于S△ABC＝，BC＝2，C＝60°，∴＝×2·AC·，∴AC＝2，∴△ABC为正三角形．∴AB＝2.
7． 在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.
答案　4或5
解析　设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.
三、解答题(共22分)
8． (10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解　(1)∵cos ＝，∴cos A＝2cos2－1＝，
∴sin A＝.又·＝3，∴bccos A＝3，∴bc＝5.
∴S△ABC＝bcsin A＝×5×＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，
根据余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A
＝36－10－10×＝20，∴a＝2.
9． (12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos 2A＝.
(1)求A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b、c的值．
解　(1)∵B＋C＝π－A，即＝－，
由4sin2－cos 2A＝，
得4cos2－cos 2A＝，
即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝，
整理得4cos2A－4cos A＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0.
∴cos A＝，又0°<A<180°，∴A＝60°.
(2)由A＝60°，根据余弦定理cos A＝，
即＝，∴b2＋c2－bc＝3，①
又b＋c＝3，②
∴b2＋c2＋2bc＝9.③
①－③整理得：bc＝2.④
解②④联立方程组得或

B组　专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是 (　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
答案　A
解析　由正弦定理知＝＝＝2R，
∴sin A＝，sin B＝，sin C＝.
∵sin2A＋sin2B<sin2C，
∴＋<，∴a2＋b2<c2，
∴cos C＝<0，
∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
2． (2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于 (　　)
A．2 B．2 C. D.
答案　D
解析　∵asin Asin B＋bcos2A＝a，
∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
∴sin B＝sin A，∴＝＝.
3． (2012·湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为 (　　)
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
答案　D
解析　∵A>B>C，∴a>b>c.
设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A得
3b＝20(b＋1)×.
化简，得7b2－27b－40＝0.
解得b＝5或b＝－(舍去)，∴a＝6，c＝4.
∴sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC的形状为__________．
答案　60°　正三角形
解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，
∴∠A＝60°.由b2＝ac，即a＝，
代入a2－c2＝ac－bc，整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，
∴b＝c.∴△ABC为正三角形．
5． 在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则
的值为________．
答案　
解析　∵S△ABC＝，即bcsin A＝，∴c＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝13，∴a＝，
∴＝＝＝.
6． 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cos C，则＋的值是______．
答案　4
解析　由＋＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C.
化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，
将＋切化弦，
得·(＋)＝·
＝·＝.
根据正、余弦定理得
＝
＝＝＝4.
三、解答题
7． (13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解　(1)因为0<A<π，cos A＝，
得sin A＝＝.
又cos C＝sin B＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C，
所以tan C＝.
(2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝.
于是sin B＝cos C＝，
由a＝及正弦定理＝，得c＝.
设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝.