正弦定理和余弦定理-知识点及典型例题.doc

正弦定理和余弦定理要点梳理

1．正弦定理

其中R是 三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2．三角形面积公式
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
3．余弦定理：
.
余弦定理可以变形为：
cos A＝，cos B＝，cos C＝.
4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：
(1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．
情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．
余弦定理可解决两类问题：
(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； (2)已知三边问题．
基础自测
1．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝ .
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________.
3．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________ .
4．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)
A．2 B．8 C. D.
题型分类 深度剖析
题型一　利用正弦定理求解三角形
例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.

变式训练1 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则A＝
题型二　利用余弦定理求解三角形
例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝.
（1）求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

变式训练2已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且.
(1)求角A的值； (2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．

题型三　正、余弦定理的综合应用
例3. 在△ABC中，a、b、c 分别是角A、B、C 的对边
△ABC 外接圆半径为
（1）求角C的大小； （2）求△ABC 面积的最大值.

变式训练3在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．

例4设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.
(1)求角A的大小； (2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

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