2023年人教版高中数学选修一知识点归纳超级精简版.docx

(名师选题)2023年人教版高中数学选修一知识点归纳超级精简版单选题1、已知F1，F2是椭圆x236+y29=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A5B4C3D2答案：C分析：由PMPF1可知MF2PM+PF2，又已知OQ是F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知PMPF1PF1+PF22a12MF2PM+PF22a12由题意知OQ是F1F2M的中位线OQa6Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离da-b6-33故选：C2、已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay=12xBy=2xCy=4xDy=14x答案：A分析：首先根据题意得到d=-bcb2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F-c,0，一条渐近线方程为y=bax，即bx-ay=0.因为d=-bcb2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=12x.故选：A3、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0，这两圆的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.由题意得，圆C1圆心0,0，半径为7；圆C2:x-32+y-42=16，圆心3,4，半径为4，两圆心之间的距离为32+42=5，因为7-450，该方程有两个不相等的实数根，当b=9-8k5时，代入(1)中，得9k2-24k+16=0，该方程的判别式=(-24)2-4916=0，该方程有两个相等的实数根，所以这样的直线共有三条，故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.5、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A524B724C924D1124答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则A12,4,B-32,2，直线AB:y-42-4=x-12-32-12，整理为x-y+72=0，原点O到直线距离为721+1=724，故选：B6、已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0的右焦点和上顶点分别为点Fc,0bc和点A，直线l:6x-5y-28=0交椭圆于P,Q两点，若F恰好为APQ的重心，则椭圆的离心率为（）A22B33C55D255答案：C分析：由题设Fc,0,A0,b，利用F为APQ的重心，求出线段PQ的中点为B3c2,-b2，将B代入直线方程得9c+5b2-28=0，再利用点差法可得2a2=5bc，结合a2=b2+c2，可求出a,b,c，进而求出离心率.由题设Fc,0,A0,b,Px1,y1,Qx2,y2，则线段PQ的中点为Bx0,y0，由三角形重心的性质知AF=2FB，即(c,-b)=2x0-c,y0，解得：x0=3c2,y0=-b2即B3c2,-b2代入直线l:6x-5y-28=0，得9c+5b2-28=0.又B为线段PQ的中点，则x1+x2=3c,y1+y2=-b，又P,Q为椭圆上两点，x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，以上两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，所以kPQ=y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2=-b2a23c-b=65，化简得2a2=5bc由及a2=b2+c2，解得：a=25b=4c=2，即离心率e=55.故选：C.小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a,c，从而求出e；构造a,c的齐次式，求出e；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解7、已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A2B2C3D3答案：C分析：由直线L过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.直线L：y=kx+m恒过点M(0,m)，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是22=1222+|OM|2=1+m2，解得m=3.故选：C8、若直线y=3x-1与双曲线C:x2-my2=1的一条渐近线平行，则实数m的值为（）A19B9C13D3答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.C:x2-my2=1的渐近线方程满足x=my，所以渐进线与y=3x-1平行，所以渐近线方程为y=3x，故m=19故选：A9、过点P(3,-23)且倾斜角为135的直线方程为（）A3x-y-43=0Bx-y-3=0Cx+y-3=0Dx+y+3=0答案：D分析：由倾斜角为135求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135，所以直线的斜率为k=tan135=-1，所以直线方程为y+23=-(x-3)，即x+y+3=0，故选：D10、直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，AA1AB，M是A1C1的中点，则AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）A710B1510C8510D-1510答案：B分析：取AC的中点D，以D为原点，BD,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC=2，则A0,-1,0,M0,0,2,B-3,0,0,N-32,-12,2，所以AM=0,1,2，平面BCC1B1的一个法向量为n=32,-32,0设AM与平面BCC1B1所成角为，向量AM与n所成的角为，所以sin=cos=AMnAMn=3253=1510，即AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为1510故选：B11、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A(0,63)B(63,1)C(23,1)D(0,23).答案：B分析：由题设以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，与直线bx-ay+2ab=0相交，所以2aba2+b2a，可得3b2=3(a2-c2)23，又0e1，所以63eb0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e=_，当此三角形的面积是43，则b2=_.答案：3-183解析：由题意，可得出P(c2，32c)，代入椭圆方程，结合隐含条件求解椭圆的离心率，再由三角形面积列式求得c，则可得出b2的值.解：如图，由OPF为正三角形，可得P(c2，32c)，代入椭圆方程，可得c24a2+3c24b2=1，又b2=a2-c2，得(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2)，解得：e=ca=3-1，若SOPF=12c32c=43，则c=4，a2=c2(3-1)2=164-23=16+83，则b2=a2-c2=83所以答案是：3-1；83小提示：本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的简单几何性质的应用，考查计算能力.16、如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽42cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯在杯口放一个表面积为36cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_cm；在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为_(单位：cm)答案：60,12分析：根据题意，AB=42,C1A=C1B=3,C1DAB，进而得C1D=1，DE=2，故最小距离为OD-DE=6；进而建立坐标系，得抛物线的方程为y=x2，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2+(y-r)2=r2，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.因为杯口放一个表面积为36cm2的玻璃球，所以球的半径为3cm，又因为杯口宽42cm，所以如图1所示，有AB=42,C1A=C1B=3,C1DAB，所以AD=BD=22，所以C1D=C1B2-DB2=9-8=1，所以DE=2，又因为杯深8cm，即OD=8故最小距离为OD-DE=6如图1所示，建立直角坐标系，易知B22,8，设抛物线的方程为y=mx2，所以将B22,8代入得m=1，故抛物线方程为y=x2，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2+(y-r)2=r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即x2+x2-r2r，则有x2x2+1-2r0恒成立，解得1-2r0，可得00)，圆C与y轴相切，则r=a，圆心C在射线y=x+2(x0)上，所以b=a+2,(a0,b0)，根据弦长公式得r2-d2=(12855)2，解方程组即可得结果；（2）依题意得P,C在线段AB的中垂线上，则PCAB，根据斜率关系即可求出参数值（1）设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圆心C在射线y=x+2(x0)上，所以b=a+2,(a0,b0)圆C与y轴相切，则r=a点(a,b)到直线2x-y-2=0的距离d=|2a-b-2|5=|a-4|5，由于截直线2x-y-2=0所得弦长为855，所以r2-d2=(12855)2则得a2+2a-8=0，又a0所以a=2,a=-4(舍去)，b=a+2=4,r=a=2故圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=4；（2）假设m存在，由（1）得C(2,4)，因为PA=PB，CA=CB所以P,C在线段AB的中垂线上，则PCAB，因为kPC=4+42-1=8，所以kAB=1-m4m-5=-18解得m=34；当m=34时，直线方程为-14x-2y+1=0即x+8y-4=0，圆心C(2,4)到该直线的距离d=30652，该直线与圆相离，不合题意；所以不存在实数m满足题干要求.小提示：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l=2r2-d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|=1+k2|x1-x2|19、已知定点F1-4,0、F24,0和动点Mx,y(1)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程条件：MF1+MF2=12条件：MF1+MF2=8(2)MF1+MF2=2aa0，求：动点M的轨迹及其方程答案：(1)答案见解析；(2)答案见解析.分析：（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点M的轨迹及其方程；（2）对a的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.（1）选择条件：MF1+MF2=12，因为12F1F2=8，故点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，设其方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，则c=4,a=6，b2=a2-c2=20，故其方程为：x236+y220=1.即选择条件，点M的轨迹是椭圆，其方程为x236+y220=1；选择条件：MF1+MF2=8，因为8=|F1F2|，故点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(-4x4).（2）因为MF1+MF2=2aa0，当0a4时，此时2a|F1F2|，此时点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2-16=1.综上所述：当0a4时，动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2-16=1.20、已知ABC的顶点B5,1，AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0_，求直线AC的方程答案：(1)2x+y-11=0；(2)若选：直线AC的方程为2x-11y+49=0；若选：直线AC的方程为6x-5y-9=0.分析：（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为k，再由直线的点斜式方程可求得答案；（2）若选：由2x+y-11=0x+2y-13=0，求得点A3，5，再求得点B关于x+2y-13=0的对称点Bx0，y0，由此可求得直线AC的方程；若选：由2x+y-11=02x-y-5=0，求得点A4，3，设点Cx1，y1，由BC的中点在直线2x-y-5=0上，和点C在直线x-2y-5=0上，求得点C-1，-3，由此可求得直线AC的方程.（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0，所以直线AB的斜率为k=-2，又因为ABC的顶点B5,1，所以直线AB的方程为：y-1=-2x-5，所以直线AB的方程为：2x+y-11=0；（2）解：若选：角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0，由2x+y-11=0x+2y-13=0，解得x=3y=5，所以点A3，5，设点B关于x+2y-13=0的对称点Bx0，y0，则y0-1x0-5-12=-1x0+52+2y0+12-13=0，解得x0=375y0=295，所以B375，295，又点B375，295在直线AC上，所以kAC=5-2953-375=211，所以直线AC的方程为y-5=211x-3，所以直线AC的方程为2x-11y+49=0；若选：BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0，由2x+y-11=02x-y-5=0，解得x=4y=3，所以点A4，3，设点Cx1，y1，则BC的中点在直线2x-y-5=0上，所以25+x12-1+y12-5=0，即2x1-y1-1=0，所以点C在直线2x-y-1=0上，又点C在直线x-2y-5=0上，由x-2y-5=02x-y-1=0解得x=-1y=-3，即C-1，-3，所以kAC=-3-3-1-4=65，所以直线AC的方程为y-3=65x-4，所以直线AC的方程为6x-5y-9=0.