2023年人教版高中数学选修一知识点归纳超级精简版.docx

(名师选题)2023年人教版高中数学选修一知识点归纳超级精简版

单选题
1、已知F1，F2是椭圆x236+y29=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（    ）
A．5B．4C．3D．2
答案：C
分析：由PM＝PF1可知MF2＝PM+PF2，又已知OQ是△F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.
解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知PM＝PF1

∵PF1+PF2＝2a＝12
∴MF2＝PM+PF2＝2a＝12
由题意知OQ是△F1F2M的中位线
∴OQ＝a＝6
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆
∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a-b＝6-3＝3
故选：C．
2、已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（    ）
A．y=±12xB．y=±2x
C．y=±4xD．y=±14x
答案：A
分析：首先根据题意得到d=-bcb2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.
由题知：设F-c,0，一条渐近线方程为y=bax，即bx-ay=0.
因为d=-bcb2+a2=b=12a，所以ba=12，
故渐近线方程为y=±12x.
故选：A
3、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0，这两圆的位置关系是（    ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
答案：B
分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.
由题意得，圆C1圆心0,0，半径为7；圆C2:x-32+y-42=16，圆心3,4，半径为4，
两圆心之间的距离为32+42=5，因为7-4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交.
故选：B.
4、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（    ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
答案：C
分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
当直线不存在斜率时，设为x=a，由题意可知：a-0=2且a-4=3，
没有实数a使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：y=kx+b⇒kx-y+b=0，
点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有-3+bk2+(-1)2=2(1)，
点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有4k+bk2+(-1)2=3(2)，
由(1)(2)得：b=8k+9或b=9-8k5，
当b=8k+9时，代入(1)中，得15k2+24k+8=0，
该方程的判别式Δ=242-4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根，
当b=9-8k5时，代入(1)中，得9k2-24k+16=0，
该方程的判别式Δ=(-24)2-4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.
5、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A．524B．724
C．924D．1124
答案：B
分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.
如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则A12,4,B-32,2，

直线AB: y-42-4=x-12-32-12，整理为x-y+72=0，
原点O到直线距离为721+1=724，
故选：B
6、已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点和上顶点分别为点Fc,0b>c和点A，直线l:6x-5y-28=0交椭圆于P,Q两点，若F恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率为（  ）
A．22B．33
C．55D．255
答案：C
分析：由题设Fc,0,A0,b，利用F为△APQ的重心，求出线段PQ的中点为B3c2,-b2，将B代入直线方程得9c+5b2-28=0，再利用点差法可得2a2=5bc，结合a2=b2+c2，可求出a, b, c，进而求出离心率.
由题设Fc,0,A0,b,Px1,y1,Qx2,y2，则线段PQ的中点为Bx0,y0，
由三角形重心的性质知AF=2FB，即(c,-b)=2x0-c,y0，解得：x0=3c2,y0=-b2
即B3c2,-b2代入直线l:6x-5y-28=0，得9c+5b2-28=0①.
又B为线段PQ的中点，则x1+x2=3c,y1+y2=-b，
又P,Q为椭圆上两点，∴x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，
以上两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，
所以kPQ=y1-y2x1-x2=-b2a2⋅x1+x2y1+y2=-b2a2×3c-b=65，化简得2a2=5bc②
由①②及a2=b2+c2，解得：a=25b=4c=2，即离心率e=55. 
故选：C.
小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c，从而求出e；②构造a,c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
7、已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（    ）
A．±2B．±2C．±3D．±3
答案：C
分析：由直线L过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.
直线L：y=kx+m恒过点M(0,m)，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是22=12×22+|OM|2=1+m2，解得m=±3.
故选：C
8、若直线y=3x-1与双曲线C:x2-my2=1的一条渐近线平行，则实数m的值为（    ）
A．19B．9C．13D．3
答案：A
分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.
C:x2-my2=1的渐近线方程满足x=±my，所以渐进线与y=3x-1平行，所以渐近线方程为y=±3x，故m=19
故选：A
9、过点P(3,-23)且倾斜角为135∘的直线方程为（    ）
A．3x-y-43=0B．x-y-3=0
C．x+y-3=0D．x+y+3=0
答案：D
分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=-1，
所以直线方程为y+23=-(x-3)，即x+y+3=0，
故选：D
10、直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为（    ）
A．710B．1510C．8510D．-1510
答案：B
分析：取AC的中点D，以D为原点，BD,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．
如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设AC=2，则A0,-1,0,M0,0,2,B-3,0,0,N-32,-12,2，
所以AM=0,1,2，平面BCC1B1的一个法向量为n=32,-32,0
设AM与平面BCC1B1所成角为α，向量AM与n所成的角为θ，
所以sinα=cosθ=AM⋅nAM⋅n=325×3=1510，
即AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为1510．
故选：B．
11、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左､右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）
A．(0,63)B．(63,1)C．(23,1)D．(0,23).
答案：B
分析：由题设以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.
由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，与直线bx-ay+2ab=0相交，
所以2aba2+b2<a，可得3b2=3(a2-c2)<a2，即e2>23，又0<e<1，
所以63<e<1.
故选：B
12、如果复数z满足z+1-i=2，那么z-2+i的最大值是（    ）
A．13+2B．2+3
C．13+2D．13+4
答案：A
分析：复数z满足|z+1-i|=2，表示以C(-1,1)为圆心，2为半径的圆．|z-2+i|表示圆上的点与点M(2,-1)的距离，求出|CM|即可得出．
复数z满足|z+1-i|=2，表示以C(-1,1)为圆心，2为半径的圆．
|z-2+i|表示圆上的点与点M(2,-1)的距离．
∵|CM|=32+22=13．
∴|z-2+i|的最大值是13+2．
故选：A．
小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1-i|=2表示的圆的半径为2，而不是2．
双空题
13、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝14 A1C1，若AE=xAA1＋y(AB＋AD)，则x＝________，y＝________.

答案：     1     14
分析：结合空间向量的线性运算列方程，由此求得x,y的值.
AE=AA1+A1E=AA1+14A1C1=AA1+14AB+AD，
所以x=1,y=14.
所以答案是：1；14
14、在标准正交基i,j,k下，已知向量a=-2i+ 8j+3k，b=-5i+2k，则向量a+2b在i上的投影为______，在j,k上的投影之积为______．
答案：     -12     56
分析：根据向量的加法求得a+2b=-12i+8j+7k，即可得a+2b在i，j，k上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.
解： 易得a+2b=-12i+8j+7k，
所以a+2b在i，j，k上的投影分别为-12，8，7，
其在j，k上的投影之积为8×7=56．
所以答案是：-12；56.
15、椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e=_____，当此三角形的面积是43 ，则b2= ________.
答案：     3-1     83
解析：由题意，可得出P(c2，32c)，代入椭圆方程，结合隐含条件求解椭圆的离心率，再由三角形面积列式求得c，则可得出b2的值.
解：如图，由△OPF为正三角形，可得P(c2，32c)，
代入椭圆方程，可得c24a2+3c24b2=1，又b2=a2-c2，
得(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2)，
解得：e=ca=3-1，
若S△OPF=12×c×32c=43，则c=4，
a2=c2(3-1)2=164-23=16+83，
则b2=a2-c2=83．
所以答案是：3-1；83．

小提示：本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的简单几何性质的应用，考查计算能力.
16、如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽42cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．

答案：     6     0,12
分析：根据题意，AB=42,C1A=C1B=3,C1D⊥AB，进而得C1D=1，DE=2，故最小距离为OD-DE=6；进而建立坐标系，得抛物线的方程为y=x2，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2+(y-r)2=r2，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.
因为杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，所以球的半径为3cm，
又因为杯口宽42cm，
所以如图1所示，有AB=42,C1A=C1B=3,C1D⊥AB，
所以AD=BD=22，所以C1D=C1B2-DB2=9-8=1，
所以DE=2，
又因为杯深8cm，即OD=8
故最小距离为OD-DE=6
如图1所示，建立直角坐标系，易知B22,8，设抛物线的方程为y=mx2，
所以将B22,8代入得m=1，故抛物线方程为y=x2，

当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，

设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2+(y-r)2=r2，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即x2+x2-r2≥r，
则有x2x2+1-2r≥0恒成立，解得1-2r≥0，可得0<r≤12.
所以玻璃球的半径的取值范围为0,12.
所以答案是：6；0,12
小提示：本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程x2+(y-r)2=r2，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.
17、若点P在双曲线x216-y212=1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为______．点P与双曲线的左焦点间的距离为______．
答案：     ±3     11
分析：由题意可得xP=27，代入双曲线方程求出yP，再由双曲线的定义即可求解.
记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设PxP,yP．
因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，
所以xP=16+12=27，所以2816-yP212=1，解得yP=±3，所以PF2=3．
由双曲线定义可得PF1-PF2=2a=8，所以PF1=11．
所以答案是：±3；11
解答题
18、已知圆C与y轴相切，圆心C在射线y=x+2x≥0上，且截直线2x-y-2=0所得弦长为855．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P1,-4，直线(m-1)x+(4m-5)y+1=0与圆C交于A、B两点，是否存在m使得PA=PB，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）(x-2)2+(y-4)2=4；（2）不存在，理由见解析．
分析：（1）设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，圆C与y轴相切，则r=a，圆心C在射线y=x+2(x≥0)上，所以b=a+2,(a≥0,b≥0)，根据弦长公式得r2-d2=(12×855)2，解方程组即可得结果；
（2）依题意得P,C在线段AB的中垂线上，则PC⊥AB，根据斜率关系即可求出参数值．
（1）设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 
圆心C在射线y=x+2(x≥0)上，所以b=a+2,(a≥0,b≥0)
圆C与y轴相切，则r=a
点(a,b)到直线2x-y-2=0的距离d=|2a-b-2|5=|a-4|5 ，
由于截直线2x-y-2=0所得弦长为855，所以r2-d2=(12×855)2
则得a2+2a-8=0，又a≥0 所以a=2,a=-4(舍去)，b=a+2=4,r=a=2 
故圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=4；
（2）假设m存在，由（1）得C(2,4)，因为PA=PB，CA=CB
所以P,C在线段AB的中垂线上，则PC⊥AB，
因为kPC=4+42-1=8，所以kAB=1-m4m-5=-18 解得m=34；
当m=34时，直线方程为-14x-2y+1=0即x+8y-4=0，
圆心C(2,4)到该直线的距离d=3065>2，该直线与圆相离，不合题意；
所以不存在实数m满足题干要求.
小提示：圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l=2r2-d2 ；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|=1+k2⋅|x1-x2|．
19、已知定点F1-4,0、F24,0和动点Mx,y．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：MF1+MF2=12
条件②：MF1+MF2=8
(2)MF1+MF2=2aa>0，求：动点M的轨迹及其方程．
答案：(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
分析：（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点M的轨迹及其方程；
（2）对a的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.
（1）
选择条件①：MF1+MF2=12，因为12>F1F2=8，
故点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则c=4,a=6，b2=a2-c2=20，故其方程为：x236+y220=1.
即选择条件①，点M的轨迹是椭圆，其方程为x236+y220=1；
选择条件②：MF1+MF2=8，因为8=|F1F2|，
故点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(-4≤x≤4).
（2）
因为MF1+MF2=2aa>0，
当0<a<4时，此时动点M不存在，没有轨迹和方程；
当a=4时，此时2a=|F1F2|，
由（1）可知，此时动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(-4≤x≤4)；
当a>4时，此时2a>|F1F2|，
此时点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2-16=1.
综上所述：当0<a<4时，动点M没有轨迹和方程；
当a=4时，动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(-4≤x≤4)；
当a>4时，动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2-16=1.
20、已知△ABC的顶点B5,1，AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0．
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0
②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0
______，求直线AC的方程．
答案：(1)2x+y-11=0；
(2)若选①：直线AC的方程为2x-11y+49=0；若选②：直线AC的方程为6x-5y-9=0.
分析：（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为k，再由直线的点斜式方程可求得答案；
（2）若选①：由2x+y-11=0x+2y-13=0，求得点A3，5，再求得点B关于x+2y-13=0的对称点B'x0，y0，由此可求得直线AC的方程；
若选②：由2x+y-11=02x-y-5=0，求得点A4，3，设点Cx1，y1，由BC的中点在直线2x-y-5=0上，和点C在直线x-2y-5=0上，求得点C-1，-3，由此可求得直线AC的方程.
（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0，所以直线AB的斜率为k=-2，
又因为△ABC的顶点B5,1，所以直线AB的方程为：y-1=-2x-5，
所以直线AB的方程为： 2x+y-11=0；
（2）解：若选①：角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0，
由2x+y-11=0x+2y-13=0，解得x=3y=5，
所以点A3，5，
设点B关于x+2y-13=0的对称点B'x0，y0，则y0-1x0-5×-12=-1x0+52+2×y0+12-13=0，解得x0=375y0=295，所以B'375，295，
又点B'375，295在直线AC上，所以kAC=5-2953-375=211，
所以直线AC的方程为y-5=211x-3，
所以直线AC的方程为2x-11y+49=0；
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0，
由2x+y-11=02x-y-5=0，解得x=4y=3，所以点A4，3，
设点Cx1，y1，则BC的中点在直线2x-y-5=0上，所以2×5+x12-1+y12-5=0，即2x1-y1-1=0，所以点C在直线2x-y-1=0上，
又点C在直线x-2y-5=0上，由x-2y-5=02x-y-1=0解得x=-1y=-3，即C-1，-3，
所以kAC=-3-3-1-4=65，
所以直线AC的方程为y-3=65x-4，
所以直线AC的方程为6x-5y-9=0.