高一数学高一数学人教A版必修2132球体积和表面积.pptx

1.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积 1.掌握球体的体积公式和球面面积公式掌握球体的体积公式和球面面积公式,会运用这些公式解决会运用这些公式解决有关球体的体积和球面的面积计算问题有关球体的体积和球面的面积计算问题.2.初步学会用柱初步学会用柱 锥锥 台台 球的体积公式解决日常生活球的体积公式解决日常生活 生产实生产实际中的某些应用问题际中的某些应用问题,能将数学应用于实际能将数学应用于实际,服务于工农业生服务于工农业生产产.课课 前前 热热 身身1.半径为半径为R的球的体积是的球的体积是_.2.半径为半径为R的球的表面积是的球的表面积是_.S=4R2名名 师师 讲讲 解解怎样分析与球有关的组合体问题怎样分析与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题,一种是内切一种是内切,一种是外接一种是外接.解题时要认解题时要认真分析图形真分析图形,明确切点和接点的位置明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量确定有关元素间的数量关系关系,并作出合适的截面图并作出合适的截面图.如球内切于正方体如球内切于正方体,切点为正方体切点为正方体各个面的中心各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题通常作它们的轴截面解题,球与多面体的球与多面体的组合组合,通过多面体的一条侧棱和球心通过多面体的一条侧棱和球心,或或“切点切点”“接点接点”作作出截面图出截面图.典典 例例 剖剖 析析题型一题型一 球的体积与表面积球的体积与表面积例例1:一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142 g,外径是外径是5.0 cm,求它的内径求它的内径(钢的密度是钢的密度是7.9 g/cm3).分析分析:由钢球的质量可求得钢球的体积由钢球的质量可求得钢球的体积,然后利用球的体积求然后利用球的体积求出内径出内径.解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2x cm,那么钢球质量为那么钢球质量为解得解得由计算器得由计算器得x2.24,2x4.5(cm).空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5 cm.规律技巧规律技巧:在球的有关运算中在球的有关运算中,主要是对半径主要是对半径r的运算的运算,通常可通常可以列出关于以列出关于r的方程的方程,解方程求出解方程求出r.也可以画轴截面也可以画轴截面,利用平面利用平面几何知识求出几何知识求出r.变式训练变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体体积为积为16,则这个球的表面积为则这个球的表面积为()A.16 B.20C.24D.32(提示提示:底面是正方形底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱)解析解析:该四棱柱的底面积为该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为从而底面边长为2,其外接球的直其外接球的直径为该四棱柱的体对角线径为该四棱柱的体对角线.R S=4R2=24.答案答案:C题型二题型二 组合体问题组合体问题例例2:有三个球有三个球,第一个球内切于正方体第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方第二个球与这个正方体各条棱相切体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个求这三个球的表面积之比球的表面积之比.分析分析:作出截面图作出截面图,分别求出三个球的半径分别求出三个球的半径.解解:设正方体的棱长为设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中切点是六个面的中心心,经过四个切点及球心作截面如右图经过四个切点及球心作截面如右图,所以有所以有2r1=a,r1所以所以(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方过球心作正方体的对角面得截面体的对角面得截面,如下图如下图.所以所以S2=4r22=2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上正方体的各个顶点在球面上,过球心作过球心作正方体的对角面得截面正方体的对角面得截面,如下图所示如下图所示,所以有所以有所以所以S3=4r23=3a2.综上可得综上可得S1:S2:S3=1:2:3.规律技巧规律技巧:正方体内切球的直径等于正方体的棱长正方体内切球的直径等于正方体的棱长.正方体正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长的外接球的直径等于正方体的体对角线长.变式训练变式训练2:如右图所示如右图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌球形的冰激凌,如果冰激凌融化了如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗会溢出杯子吗?解解:由图可知由图可知,半球的半径为半球的半径为4 cm,圆锥的高为圆锥的高为12 cm.V半球半球V圆锥圆锥 4212=64 cm3,冰激凌化了冰激凌化了,不会溢出杯子不会溢出杯子.题型三题型三 综合问题综合问题例例3:正方体正方体 等边圆柱等边圆柱(即底面直径与母线长相等的圆柱即底面直径与母线长相等的圆柱)球球的体积相等时的体积相等时,哪一个表面积最小哪一个表面积最小?解解:设正方体棱长为设正方体棱长为a,等边圆柱底面半径为等边圆柱底面半径为r,高为高为2r,球半径为球半径为R.则则:V正方体正方体=a3,V圆柱圆柱=r22r=2r3,规律技巧规律技巧:本例说明在表面积一定的情况下本例说明在表面积一定的情况下,球的容积最大球的容积最大.变式训练变式训练3:一个六棱柱的底面是正六边形一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的高为且该六棱柱的高为 底面周长为底面周长为3,那么这个球的体积为那么这个球的体积为_.解析解析:依题意知依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,又高为又高为 所以球的直径为所以球的直径为2,故球的体积为故球的体积为易错探究易错探究例例4:已知某个几何体的三视图如图已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸根据图中标出的尺寸(单位单位:cm),可得这个几何体的体积是可得这个几何体的体积是_cm3.错解错解:上半部分为半球体上半部分为半球体,下半部分是正方体下半部分是正方体,体积为体积为答案答案:B错因分析错因分析:半球体从每个方向看都是半圆半球体从每个方向看都是半圆,而三视图的侧视图而三视图的侧视图中顶部并不是半圆中顶部并不是半圆,所以该几何体的顶部不是半球所以该几何体的顶部不是半球.正解正解:由三视图知由三视图知,该几何体的下半部分是棱长为该几何体的下半部分是棱长为2的正方体的正方体.上半部分是半个圆柱上半部分是半个圆柱.所以体积为所以体积为V=8+.答案答案:A1.若球的大圆面积扩大为原来的若球的大圆面积扩大为原来的2倍倍,球的体积扩大为原来的球的体积扩大为原来的()A.8倍倍 B.4倍倍C.2倍倍D.2倍倍解析解析:大圆的面积扩大为原来的大圆的面积扩大为原来的2倍倍,半径扩大为原来的半径扩大为原来的 倍倍,所以球的体积扩大为原来的所以球的体积扩大为原来的2 倍倍.答案答案:C2.与正方体各面都相切的球与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比它的表面积与正方体表面积之比为为()解析解析:设正方体的棱长为设正方体的棱长为a,依题意知依题意知,内切球的直径为内切球的直径为a,球的表面积球的表面积S球球=4,正方体的表面积正方体的表面积S正正=6a2.S球球:S正正答案答案:D3.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为它的棱长为2 cm,则球的表则球的表面积是面积是()A.8 cm2B.12 cm2C.16 cm2D.20 cm2解析解析:依题意知依题意知,球的直径为正方体的对角线球的直径为正方体的对角线,球的半径为球的半径为球的表面积球的表面积S=4.答案答案:B4.三个球的半径之比为三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的个球的体积和的()A.1倍倍B.2倍倍C.3倍倍D.4倍倍解析解析:记三个球的半径分别为记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积则大球的体积V3=33=36,两个小球的体积和两个小球的体积和V1+V2=(13+23)=12.最最大球的体积是其它两个球的体积和的大球的体积是其它两个球的体积和的3倍倍.答案答案:C5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的且一个顶点上的三条棱的长分别为三条棱的长分别为1 2 3,则此球的表面积为则此球的表面积为_.解析解析:设球的半径为设球的半径为r,则则(2r)2=12+22+32,球的表面积球的表面积S=4r2=14.146.若一个球的体积为若一个球的体积为4 ,则它的表面积为则它的表面积为_.解析解析:设球的半径为设球的半径为r,则则它的表面积它的表面积S=4r2=12.127.将一铜球放入底面半径为将一铜球放入底面半径为4 cm的圆柱形玻璃容器中的圆柱形玻璃容器中,水面升水面升高高9 cm,则这个铜球的半径为则这个铜球的半径为_.解析解析:设铜球的半径为设铜球的半径为r,依题意得依题意得8.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如下图所示一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如下图所示,两两容器内所盛液体的体积正好相等容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度且液面高度h也相等也相等,求求h的的值值.能力提升能力提升9.球面上有四个点球面上有四个点P A B C,如果如果PA PB PC两两互相垂直两两互相垂直,且且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积求这个球的表面积.解解:要求球的表面积要求球的表面积,只要求出球的半径只要求出球的半径R.分析题设条件可知分析题设条件可知把把P看作是球内接正方体的一个顶点看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥把三棱锥P-ABC补成一补成一个球内接正方体个球内接正方体,其棱长为其棱长为a.10.如图如图,有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器,内盛内盛有高为有高为h的水的水,放入一个铁球后放入一个铁球后,上升后的水平面恰好和球相切上升后的水平面恰好和球相切,求球面上的点到圆锥顶点的最小距离求球面上的点到圆锥顶点的最小距离.解解:如图如图,作轴截面作轴截面,设球半径为设球半径为R,水面上升后锥体顶点到水面水面上升后锥体顶点到水面的高度为的高度为x,则则x=3R.由题意由题意:V水水+V球球=V锥锥.11.如下图如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方的正方形形,且体积为且体积为,则该几何体的俯视图可以是则该几何体的俯视图可以是()解析解析:几何体的体积为几何体的体积为,高为高为1,底面积应为直角三角形底面积应为直角三角形,这时这时有有V=111=,适合题意适合题意,故选故选C.答案答案:C12.圆柱形容器内部盛有高度为圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水的水,若放入三个相同的若放入三个相同的球球(球的半径与圆柱的底面半径相同球的半径与圆柱的底面半径相同)后后,水恰好淹没最上面的水恰好淹没最上面的球球(如图所示如图所示),则球的半径是则球的半径是_cm.解析解析:设球的半径为设球的半径为r,则则r26r=r28+3.r=4.4