江西专版2020中考数学复习方案提分专练06与切线有关的计算与证明.docx

提分专练(六)　与切线有关的计算与证明

1.[2019·天津]已知PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=80°,C为☉O上一点.
(1)如图T6-1①,求∠ACB的大小;
(2)如图T6-1②,AE为☉O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求∠EAC的大小.

图T6-1

2.[2019·江西联考]如图T6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的☉O与AB边交于点D,连接DE.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若CD=6 cm,DE=5 cm,求☉O直径的长.

图T6-2

3.[2019·九江二模]如图T6-3,已知,在Rt△ABC中,以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆,圆心为点O,这个圆交线段BC于点E,点G为BD的中点.
(1)求证:GE为☉O的切线;
(2)若CDBD=12,GE=6,求AD的长.

图T6-3

4.如图T6-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,经过A,D两点的圆的圆心O恰好落在AB上,☉O分别与AB,AC相交于点E,F.
(1)求证:BC为☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,AC=3,求BD的长.

图T6-4

5.[2019·江西样卷六]如图T6-5,点C在以AB为直径的☉O上,将△ABC沿边AC翻折得到△ACD,再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在☉O上的点F处.
(1)求证:直线CE是☉O的切线;
(2)当AB=10,且tan∠DAB=43时,求CE的长.

图T6-5

6.[2019·南昌调研]如图T6-6,已知☉O的直径AB为4,CD为弦,AB与CD交于点M,将CD沿着CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至点P,使AP=OA,连接PC.
(1)求CD的长.
(2)求证:PC是☉O的切线.
(3)点G为ADB的中点,在PC的延长线上,有一动点Q,连接QG交AB于点E,交BC于点F(F与B,C不重合),则GE·GF是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

图T6-6

7.[2018·赣州章贡模拟] 如图T6-7,☉O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交☉O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;
(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.

图T6-7

【参考答案】
1.解:(1)如图,连接OA,OB.

∵PA,PB分别是☉O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
即∠PAO=∠PBO=90°.
∵∠APB=80°,
∴在四边形OAPB中,∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°,
∴∠ACB=12∠AOB=50°.
(2)如图,连接CE.

∵AE为☉O的直径,
∴∠ACE=90°.
由(1)知,∠ACB=50°,
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°,
∴∠BAE=∠BCE=40°.
∵在△ABD中,AB=AD,
∴∠ADB=∠ABD=70°.
∵△ACD中,∠ADB是外角,
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°.
2.解:(1)证明:连接DO,如图.
∵∠BDC=90°,E为BC的中点,∴DE=CE=BE,∴∠EDC=∠ECD.
又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,∴DE⊥OD.
∵OD是☉O的半径,
∴DE与☉O相切.
(2)在Rt△BCD中,BD=BC2-CD2=102-62=8(cm),
∵∠BCA=∠BDC=90°,∠B=∠B,
∴△BCA∽△BDC,
∴ACCD=BCBD,即AC6=108,
∴AC=152,
∴☉O直径的长为152.
3.解:(1)证明:连接OE,DE,OG,如图.

∵CD为☉O的直径,∴∠CED=90°.
∵点G为BD的中点,∴GE=12BD=DG,
在△GEO和△GDO中,OE=OD,GE=GD,OG=OG,
∴△GEO≌△GDO(SSS),
∴∠GEO=∠GDO=90°.∴GE为☉O的切线.
(2)∵∠ACB=90°,∠CDA=90°,∴∠ACD=∠B,
∵tanB=CDBD=12,∴tan∠ACD=ADCD=12,
∴AD=12CD=12GE=3.

4.解:(1)证明:如图,连接OD.

∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC.
又∵BC过半径OD的外端点D,
∴BC为☉O的切线.
(2)由(1)知,OD∥AC.
∴△BDO∽△BCA,
∴BOBA=DOCA.
∵☉O的半径为2.
∴DO=OE=2,AE=4,
∴BE+2BE+4=23,
∴BE=2,∴BO=4,
∴在Rt△BDO中,BD=BO2-OD2=23.
5.解:(1)证明:如图①,连接OC.

由折叠的性质可知BC=DC,∠DAC=∠CAB.
∵OA=OB,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD.
由折叠的性质可知CE⊥AD,
∴∠OCE=∠DEC=90°.
∵点C在☉O上,
∴直线CE是☉O的切线.
(2)如图②,连接BF.

∵AB是☉O的直径,
∴∠AFB=90°.
∵tan∠DAB=43,
∴BFAF=43.
∵AB=10,
∴BF=8.
由折叠的性质可知DC=BC,DE=FE,
∴CE=12BF=4.
6.解:(1)由题意,得CD⊥AO,且AM=OM,连接OC,如图①,则OM=12OC.
∴∠AOC=60°,∴CM=OC·sin60°=2×32=3.
∴CD=2CM=23.
(2)证明:连接CA,如图①,则△AOC为等边三角形,

∴CA=AO=PA,∠CAO=60°,∴∠P=∠PCA=30°.∴∠PCO=90°.即PC⊥OC.
∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线.
(3)证明:连接GO并延长交☉O于H,连接HF.
如图②.

∵点G为ADB的中点,∴OG⊥AB.
∵GH为☉O的直径,∴∠GFH=90°,
∴∠GOE=∠GFH=90°.
∵∠OGE=∠FGH,∴△GOE∽△GFH.
∴GEGH=GOGF.∴GE·GF=GO·GH=2×4=8为定值.
7.解:(1)直线l与☉O相切.
理由:如图所示,连接OE.

∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
∴BE=CE.∴OE⊥BC.
∵l∥BC,∴OE⊥l.
∴直线l与☉O相切.
(2)证明:∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,
∴∠EBF=∠EFB.∴BE=EF.
(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.
∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,
∴△BED∽△AEB.
∴DEBE=BEAE,即47=7AE,解得AE=494.
∴AF=AE-EF=494-7=214.

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