UPRE方法在图像恢复正则化参数自适应选择中的应用.pdf

第2 3 卷，第1期2024年1月北京工业职业技术学院学报JOURNAL OF BEIJINGPOLYTECHNIC COLLEGENo.1 Vol.23Jan.2024UPRE方法在图像恢复正则化参数自适应选择中的应用加春燕（北京工业职业技术学院基础教育学院，北京10 0 0 42）摘要：大多数图像恢复都是不适定问题，需要利用正则化方法将病态方程转化为适定方程。正则化参数主要用于调节图像保真度与图像光滑度之间的平衡，与图像恢复质量的好坏有着密切关系。无偏预计风险估计（UPRE)方法可以自适应选择最佳正则化参数，基于数学理论分析和图像恢复实验，验证了该方法在图像恢复中的可行性和有效性。关键词：图像恢复；正则化参数；自适应选择；无偏预计风险估计方法中图分类号：TP391.41D0I:10.3969/j.issn.1671-6558.2024.01.005文献标识码：A文章编号：16 7 1-6 558(2 0 2 4)0 1-2 3-0 4Application of UPRE Method in Adaptive Selection of RegularizationParameters in Image RestorationJIA Chunyan(School of Fundamental Education,Beijing Polytechnic College,Beijing 100042,China)Abstract:Most image restoration is an ill posed problem that requires the use of regularization methods to transformill posed equations into well posed equations.The regularization parameters are mainly used to adjust the balancebetween image fidelity and smoothness,which is closely related to the quality of image restoration.The UnbiasedPredictive Risk Estimation(UPRE)method can adaptively select the optimal regularization parameters.Based onmathematical theory analysis and image restoration experiments,the feasibility and effectiveness of this method inimage restoration have been verified.Key words:image restoration;regularization parameters;adaptive selection;UPRE method0引言图像在成像、传输、扫描、显示等过程中,由于摄像机与物体相对运动、系统误差、畸变、噪声等各种因素的影响，会不可避免地产生质量降级。图像恢复就是对降质图像进行处理，尽可能提高图像质量。收稿日期:2 0 2 3-11-2 0基金项目：2 0 2 3 年北京工业职业技术学院重点科研课题（BGY2023KY-47Z）。作者简介：加春燕（19 8 3 一）,女，山西临汾人，副教授，理学硕士，研究方向为数学建模和应用数学。图像恢复在交通、军事、天文、医疗、人工智能等领域应用广泛由观测到的降质图像来重构图像,在数学中是一个典型的反问题。由于受到模糊效应（如运动模糊、散焦模糊)和噪声（如高斯噪声、椒盐噪声)的干24扰,这类问题解的存在性、唯一性和稳定性往往不能保证,其解通常是不适定的 2。常用的改进办法是正则化方法，它可以把病态方程转化为适定性方程来求解，在极小化正则解与理想解差的同时,兼顾图像的光滑性。目前,在图像恢复中应用较为广泛的正则化方法包括Tikhonov正则化方法、总变分（T o t a l Va r i a t i o n,T V)正则化方法等 3,其中涉及的重要参数称为正则化参数。正则化参数的作用，主要是控制保真项与光滑项的平衡，如果该参数过小，则恢复图像的光滑性就会很差；但如果该参数过大，则恢复图像会出现过度光滑而失真的问题。因此，正则化参数的选择对图像的恢复效果有着非常重要的影响。本文通过分析正则化参数与图像先验信息的关系，采用无偏预计风险估计方法（UnbiasedPredictiveRiskEstimation,UPRE）实现正则化参数的自适应选择,通过数学理论证明该方法的可行性,并基于图像恢复实验验证了该方法的有效性，对于改善图像恢复效果具有重要的应用价值。1正则化参数在图像恢复中的作用记为理想的高清图像,K代表模糊效应，为One-dirmensional imnagedata10090F80F7060F50F4030F2010F0102030405060708090100（a）理想图与观测图dTrue and Reconstructed Solutions for=0.0011.51.00.50-0.5-1.000.10.20.30.4 0.50.60.70.8 0.91.0(c)=0.001 的恢复效果图1不同正则化参数对应的图像恢复结果图北京工业职业技术学院学报高斯白噪声（设方差为）,d 是实际观测到的图像，则图像降质过程可用数学模型来表示Kf+n=d图像恢复的目的是从观测图像d出发，借助K和的某些先验信息来重构图像，使其逼近理想图像f。经典的TV正则化方法，通过极小化正则函数来进行图像恢复a=argmin(2Il Kf-d +TV()式(2)中：Kf-d为数据偏差函数，也称保真项;TVf)为罚函数，也称光滑项，数值计算中常取TV(f）=i v f Id d y，Vf 为f的梯度向量;为正则化参数,用来控制保真项与光滑项的平衡，对图像恢复效果起着关键作用。欧拉一拉格朗日方程为-V(Vf/IVfI)+K(Kf-d)=0利用式(3），将泛函问题转化为变分问题,有助于数值解的计算。图1所示就是不同的正则化参数代人式(3)计算得到的图像恢复结果。True and Reconstructed Solutions for.=0.0412461.2d1.00.80.60.40.200.200.10.20.30.40.50.60.7(b)0.04 的恢复效果True andReconstructed Solutions for=0.837681.21.00.80.60.40.20-0.200.10.20.3 0.40.50.60.70.80.91.0(d)0.84的恢复效果第2 3 卷(1)(2)(3)0.80.91.0第1期图1(a)中实线是理想图像f,圈线为观测到的降质图像d。使用TV正则化方法对图像d进行恢复，当正则化参数0.0 4，恢复图像逼近理想解f（见图1（b）；当=0.001,光滑项被抑制，恢复结果高度振荡（见图1（c）；当0.8 4,光滑项又过度增强，恢复结果虽然光滑但远远偏离了真实图像（见图1（d）。由此可见，选择合适的正则化参数非常重要。正则化参数通常凭借主观经验或大量实验进行人为选取,或者不够准确,或者耗时耗力。广义交互验证方法（Generalized CrossValidation,GCV）基于统计学的知识自适应选择正则化参数，但该方法需要较大数据量作为支撑且计算时间较长，因此，有必要探寻一种自适应的选择方法。2UPRE方法的理论分析UPRE方法最初是Mallow在分析线性回归模型中提出的,后来应用于求解反问题和图像处理。记正则化参数对应的正则解为f。,希望找到合适的参数使得误差。-f最小,然而,由于f未知，可以转而寻求使预计误差最小的正则化参数。定义预计误差PP=Kf-KfP。虽然无法直接计算，但可以通过一定方法估算出来。UPRE方法的原理就是最小化预计误差PE(U(a)=E(Kf.-+2g)n加春燕：UPRE方法在图像恢复正则化参数自适应选择中的应用的均方范数,也称为预计风险。定义预计风险1/Pall=I Kf.-Kfnn定义UPRE函数U(a)=f-d 1+2otrace(A.)-g2(6)式(6)中，是噪声的方差值。假设正则解f线性依赖于观测图像d,二者关系表述为f=Rad,其中R.常被称为正则化矩阵，对应的影响矩阵记为A=KR,trace(A)是计算A。的迹。采用“迹定理”（Trace Lemma）证明UPRE函数的期望与预计风险的期望相同,把求期望运算转化为迹运算。设ue H,H为一个确定的 Hilbert空间,u是离散的高斯白噪声,其方差为,B是一个有界线性算子，B*为B的伴随矩阵，则E(ll u+Bu ll2)=Il ll?+trace(BB)利用“迹定理”证明E(U()=E(二 I ll)(4)证明过程如下，其中I代表单位矩阵。trace(A.)-g)25(5)n(7)(8)(9)n(A-I)K+(A.I)1)+2EnnIl(A-I)Kfll2+trace(A,)nE(Il a I2)=E(I Kf-KfI)=E(IIKR,d-Kfl)由式（9）、式（10）可知，式（8）成立。由此，UPRE函数的期望与预计风险的期望相同,最小化nn2n=E(=IIA.d-KfI)E(=IIA(Kf+n)-Kfll)n(=Il(A-I)Kf+Aam ll)一EnI(A-I)Kfll+trace(A)nntrace(A.)-?202trace(A.)+0+2gnnn预计风险便可转化为最小化UPRE函数。将UPRE函数U(）的最小值点称为最佳正则化参数,记为trace(A)-g?(10)26*,则3UPRE方法的实验验证UPRE方法要找到UPRE函数U）的全局最小值点，因此不适合采用一些诸如牛顿法的局部优化方法。此外，对于特定的正则化方法，如截断奇异值分解（Truncated Singular ValueDecomposition,TSVD)方法,相应的U()可能会有跳跃点,故涉及导数的优化方法也不可行4。直接求U(）的全局最小值点在计算上比较复杂，但由于变动较小时相应的正则解变动也很小，故只需要计算近似的最小值点。在数值计算中，通常预先确定最小值点*所在的范围,使问题得到简化。实现UPRE方法的一般步骤如下：分析模糊算子K的谱特点及噪声的统计信息,确定*所在的范围min，max;选取适当的网格剖分minimax,其中第i个正则化参数取值记为i（i=1,2,n）,网格剖分应当满足ln;=lni+1-;+1ln;=In=const，由此可知相邻两个正则化参;北京工业职业技术学院学报数之间有倍数关系,通常网格点不用太多,2 0 个左*=argminU()(11)第2 3卷右为宜;基于UPRE函数U(）的定义式（6）,计算各个U(;)的值;选取U）中的最小值点作为*的近似;把*代入TV正则化方法中进行图像恢复5。为了验证UPRE方法的正确性和有效性,对图2（a)所示的一幅2 56 2 56 Px的清晰图像进行运动模糊并添加高斯白噪声（见图2（b），之后用UPRE方法送代得到最佳正则化参数*=0.023，再代入TV正则化方法进行图像恢复，结果如图2（c)所示,既保留了原图的部分细节如面部棱角和头发弯曲度等，又具备一定的光滑性。与之形成鲜明对比的是图2(d)和图2(e）。图2（d)正则化参数=0.002,由于太小导致结果不光滑；图2（e）正则化参数=0.23,由于太大导致结果过度光滑而细节失真。从恢复效果看，采用UPRE方法得到的最佳正则化参数，能够很好地恢复图像并提高图像质量。(a）清晰图像4结论针对正则化参数选择中过于依赖主观经验和大量实验的缺点，提出了一种自适应选择正则化参数的方法，即UPRE方法。该方法通过最小化UPRE函数来保证正则解逼近理想解，函数的最小值点即为最佳正则化参数。将UPRE方法应用到图像恢复中，通过数值实验验证了该方法的有效性。UPRE方法得到的最佳正则化参数能较好地维持图像保真项与图像光滑项之间的平衡，增强了恢复图像的清晰度和细节；因此,UPRE方法有助于改善图像恢复效果，能够在图像恢复相关领域进行推广使用。（b）模糊带噪图像图2 采用UPRE方法的图像恢复效果及对比图(c)*=0.023 恢复效果参考文献1章毓晋.图像处理和分析教材（第2 版)M.北京：人民邮电出版社,2 0 16:12 8-131.2刘继军.不适定问题的正则化方法及应用M.北京：科学出版社,2 0 0 8:8 6-8 9.3CHAN T F,WONG C K.Total variation blind deconvolutionJ.IEEE T ransactions on Image Processing,2018(3):368-370.4翟玉兰.基于奇异值分解的图像降噪方法J.信息技术与信息化,2 0 2 3(3)：137-140.5王昶,郭东升基于离散平稳小波的影像恢复去噪方法J.北京测绘,2 0 2 2,36(11):1557-156 3.（责任编辑：黄宇婷）(d)=0.002恢复效果(e)=0.23 恢复效果