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第七章统计抽样第七章统计抽样7.1 统计抽抽样基本概念基本概念总体由研究体由研究对象的全体所象的全体所组成。成。样本是本是总体中的部分元素所体中的部分元素所组成的集合。成的集合。目目标总体是我体是我们要推断的要推断的总体体抽抽样总体是体是实际抽取抽取样本的本的总体体 第七章统计抽样第七章统计抽样在抽在抽样之前，之前，应将将总体划分体划分为抽抽样单位。抽位。抽样单位既位既可以是一个可以是一个简单的个体，也可以是一的个体，也可以是一组个体。个体。对某一个特殊研究，抽某一个特殊研究，抽样单位的名册称位的名册称为抽抽样框。框。7.1 7.1 统计抽样基本概念统计抽样基本概念第七章统计抽样第七章统计抽样调调查查方方法法邮寄调查邮寄调查电话调查电话调查个人采访调查个人采访调查7.2 7.2 抽样调查种类和抽样方法抽样调查种类和抽样方法第七章统计抽样第七章统计抽样调调查查误误差差非抽样误差非抽样误差 抽样误差抽样误差 由于没有对总体的由于没有对总体的所有单位进行调查所有单位进行调查而产生的误差而产生的误差 进行一次抽样调查进行一次抽样调查可能出现的如测量可能出现的如测量误差、采访者误差误差、采访者误差及数据处理误差等及数据处理误差等。7.3 7.3 调查误差调查误差第七章统计抽样第七章统计抽样从一个容量从一个容量为N的有限的有限总体中抽取得到一个容量体中抽取得到一个容量为n的的简单随机随机样本，使每一个容量本，使每一个容量为n的可能的可能样本，都有相本，都有相同的概率被抽中。同的概率被抽中。建立抽样框建立抽样框根据随机数表进行抽样根据随机数表进行抽样抽样总体中所抽样总体中所有个体的名册有个体的名册使用随机数表，可使用随机数表，可以保证抽样总体中以保证抽样总体中的每个个体都有相的每个个体都有相同的概率被抽中同的概率被抽中 7.4 7.4 简单随机抽样简单随机抽样第七章统计抽样第七章统计抽样总体均值总体均值总体比率总体比率样本容量的确定样本容量的确定7.4 7.4 简单随机抽样简单随机抽样第七章统计抽样第七章统计抽样如果如果选择大大样本（本（n30），），则中心极限定理可以保中心极限定理可以保证的抽的抽样分布近似服从正分布近似服从正态概率分布，概率分布，的区的区间估估计为式中，式中，为均均值的的标准差。准差。1称称为置信度，置信度，为与之与之对应的的临界界值。例如，若置信度。例如，若置信度为95，则。7.4.1 7.4.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样当从一个容量当从一个容量为N的有限的有限总体中，抽取一个容量体中，抽取一个容量为n的的简单随机随机样本本时，均，均值的的标准差的估准差的估计值为 此此时总体均体均值的区的区间估估计为 在抽在抽样调查中，当构造置信区中，当构造置信区间时，通常取，通常取=2。因。因此，在使用此，在使用简单随机随机样本本时，总体均体均值的近似的近似95的置信区的置信区间的表达式的表达式为：7.4.1 7.4.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样例例7.1摄影影是一本推介是一本推介摄影作品、影作品、报道道摄影影发展状况、展状况、介介绍摄影器材的影器材的杂志，它目前志，它目前拥有有8000个个订户。根据。根据一个一个484个个订户的的简单随机随机样本，得出本，得出订户的年平均收的年平均收入入为30500元，元，标准差准差为7040元。因此，所有元。因此，所有订户的的年平均收入的无偏估年平均收入的无偏估计为元。元。因此，因此，这本本杂志志订户的年平均收入的近似的年平均收入的近似95的置信的置信区区间为即（即（29880，31120）。）。7.4.1 7.4.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样上述上述过程也可用于程也可用于对诸如如总体体总量或量或总体比率等其体比率等其他他总体参数的区体参数的区间估估计。对点估点估计的抽的抽样分布近似分布近似服从正服从正态概率分布的所有情形，其近似概率分布的所有情形，其近似95的置信的置信区区间为例如，在例如，在摄影影的抽的抽样调查中，点估中，点估计量的量的标准准误差的估差的估计值为，允，允许误差差为2310元元620元。元。7.4.1 7.4.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样总体比率体比率p是是总体中具有某些感体中具有某些感兴趣特征的个体的比趣特征的个体的比重。重。例例7.2在市在市场调查研究中，人研究中，人们想了解喜想了解喜欢某一品某一品牌的消牌的消费者比重。者比重。样本比率本比率是是总体比率的无偏点估体比率的无偏点估计。总体比率的体比率的标准差的估准差的估计值为因此，因此，总体比率的近似体比率的近似95的置信区的置信区间的表达式如下：的表达式如下：7.4.2 7.4.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样例如，在大宇国例如，在大宇国际咨咨询公司的抽公司的抽样调查中，大宇国中，大宇国际咨咨询公司也想估公司也想估计在它服在它服务范范围内的内的500所学校中所学校中，使用天然气作，使用天然气作为取暖燃料的学校比率。如果在抽取暖燃料的学校比率。如果在抽出的出的50所学校中，有所学校中，有35所学校使用天然气作所学校使用天然气作为取暖取暖燃料，燃料，则总体体500所学校中使用天然气比率的点估所学校中使用天然气比率的点估计值。比率的。比率的标准差的估准差的估计值为因此，因此，总体比率的近似体比率的近似95置信区置信区间为即（即（0.5758,0.8242）。）。7.4.2 7.4.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样 回忆前面提到的允许误差为回忆前面提到的允许误差为“点估计的标准差估计值点估计的标准差估计值的的2 2倍倍”，因此，因此:均值的标准差的估计值：均值的标准差的估计值：7.4.3 7.4.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样两步抽样两步抽样用试点调查或事先用试点调查或事先检验的结果估计检验的结果估计s s2 2 估估计计s s2 2的的方方法法根据以往的资料估计根据以往的资料估计s s2 2 由第一步抽取的部分由第一步抽取的部分单位，得到的单位，得到的s s2 2的估计值，将此值代的估计值，将此值代入上式，确定出全部入上式，确定出全部样本容量样本容量n n；然后对第；然后对第一步确定的全部样本一步确定的全部样本容量，再抽取第二步容量，再抽取第二步所需要的其余单位数所需要的其余单位数。7.4.3 7.4.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样例例7.3某大学有某大学有5000名名毕业生，我生，我们想构造想构造宽度在度在1000元之内的近似元之内的近似95的置信区的置信区间。对这样规定的置信区定的置信区间，B500。在确定。在确定n之前，之前，需要估需要估计。假假设根据去年所做的同根据去年所做的同样研究，得知研究，得知s3000元。我元。我们可以用可以用这个个值来估来估计。根据。根据B=500、s3000 及及N5000，则样本容量本容量为7.4.3 7.4.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样在估在估计总体比率体比率时，选择样本容量的公式，与估本容量的公式，与估计总体体均均值的公式的公式类似。我似。我们只需要将估只需要将估计总体均体均值的公式中的公式中替替换为，即，即使用上式使用上式时，我，我们必必须规定允定允许误差差B和和给出出的一个估的一个估计值。如果没有合适的估。如果没有合适的估计值，我，我们可以使可以使用用代替，代替，这样将保将保证近似置信区近似置信区间的允的允许误差比希望的差比希望的要小的多。要小的多。7.4.3 7.4.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样将总体划分将总体划分H H组组从第从第h h层中抽取一个容量层中抽取一个容量为为n nh h的简单随机样本的简单随机样本 由这由这H H个简单随个简单随机样本的联合资机样本的联合资料，可得出诸如料，可得出诸如总体均值、总体总体均值、总体总量及总体比率总量及总体比率等各种总体参数等各种总体参数的估计。的估计。分层简单随机抽样的步骤：分层简单随机抽样的步骤：也称为层也称为层7.5 7.5 分层简单随机抽样分层简单随机抽样第七章统计抽样第七章统计抽样如果各如果各层内的差异比内的差异比层间的差异小，的差异小，则分分层简单随机随机样本可得到更大的精度（本可得到更大的精度（总体参数的区体参数的区间估估计将更窄将更窄）。）。各各层的划分的划分应依据依据样本本设计者的判断。者的判断。根据根据应用，用，总体可按部体可按部门、地区、年、地区、年龄、产品品类型、型、销售水平等分售水平等分层。7.5 7.5 分层简单随机抽样分层简单随机抽样第七章统计抽样第七章统计抽样例例7.4某大学管理学院想某大学管理学院想对今年的今年的毕业生生进行一次行一次调查，以便了解他，以便了解他们开始工作开始工作时的年薪。的年薪。7.5 7.5 分层简单随机抽样分层简单随机抽样第七章统计抽样第七章统计抽样在分在分层抽抽样中，中，总体均体均值的无偏估的无偏估计是各是各层样本均本均值的加的加权平均数，所用平均数，所用权数数为总体在各体在各层的比重。用的比重。用 表示表示总体均体均值的点估的点估计，其定，其定义如下：如下：式中：式中：H-层数；数；-第第h层的的样本均本均值；Nh-第第h层的的单位数；位数；N-总体体单位数；位数；对分分层简单随机随机样本，本，计算平均算平均值的的标准差的估准差的估计公式公式为7.5.1 7.5.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样某大学管理学院的某大学管理学院的180名名毕业生的生的样本本调查结果果 7.5.1 7.5.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样各各专业（层）的）的样本均本均值分分别为：因此，因此，总体均体均值的点估的点估计为7.5.1 7.5.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样抽抽样调查中估中估计均均值的的标准差所需要的部分准差所需要的部分计算算结果果 7.5.1 7.5.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样上表中上表中因此，因此，总体的近似体的近似95的置信区的置信区间为即（即（29074，29626）。）。7.5.1 7.5.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样对分分层简单随机抽随机抽样，总体比率体比率p的无偏估的无偏估计是各是各层比率的加比率的加权平均数，所用平均数，所用权数数为总体在各体在各层的比重的比重。总体比率的点估体比率的点估计定定义如下：如下：式中：式中：H-层数；数；-第第h层的的样本比率；本比率；Nh第第h层的的单位数；位数；N总体体单位数；位数；7.5.2 7.5.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样的的标准差的估准差的估计值为总体比率的近似体比率的近似95的置信区的置信区间的表达式的表达式为7.5.2 7.5.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样 例例7.5 在某大学的在某大学的调查中，大学想了解中，大学想了解毕业生开始工作生开始工作时的年薪不低于的年薪不低于36 000元的比率。元的比率。180名名毕业生的抽生的抽样调查结果果显示，示，有有20名名毕业生开始工作生开始工作时的年薪不低于的年薪不低于36000元，元，其中会其中会计专业4名，金融名，金融专业2名，信息系名，信息系统专业7名名，市，市场营销专业1名，名，经营管理管理专业6名。名。7.5.2 7.5.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样根据根据总体比率的近似体比率的近似95的置信区的置信区间的公式，开始的公式，开始工作工作时的年薪不低于的年薪不低于36000元的比率的点估元的比率的点估计为：故故毕业生开始生开始时的年薪不低于的年薪不低于36000元的比率近似元的比率近似95%置信区置信区间为（0.0575，0.1387）7.5.2 7.5.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样对分分层简单随机抽随机抽样，我，我们可用两可用两阶段段过程来程来选择样本容量。本容量。既然人既然人们想估想估计各各层的均的均值、总量及比率，量及比率，这两种两种组合方法都合方法都经常使用。常使用。确定总样本容量确定总样本容量n n 决定各层应分配的决定各层应分配的样本单位数样本单位数 决定每层应选择的决定每层应选择的样本单位数样本单位数 加总得到总样本容量加总得到总样本容量 或或者者7.5.3 7.5.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样确定确定总样本容量本容量n及其分配，可及其分配，可对所有要研究的所有要研究的总体参体参数提供必要的精度。数提供必要的精度。分配工作就是决定分配工作就是决定总样本被分配到各本被分配到各层的部分，的部分，这些些部分将确定各部分将确定各层的的简单随机随机样本的容量。本的容量。各层的单位数各层的单位数 各层内的方差各层内的方差 考考虑虑的的因因素素各层选择单位的费用各层选择单位的费用 7.5.3 7.5.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样一般地，一般地，单位数位数较多的多的层和方差和方差较大的大的层应分配分配较多的多的样本数目。本数目。相反地，相反地，对于于给定的定的费用，用，为了了获得更多的信息，得更多的信息，则抽抽样单位成本位成本较大的大的层应分配分配较少的少的样本数目。本数目。7.5.3 7.5.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样 整群抽样需要将总体各个个体分为整群抽样需要将总体各个个体分为N N组（也称作群组（也称作群），使总体中每个个体只属于一群。），使总体中每个个体只属于一群。总体体组1 1组2 2个体个体4 4个体个体5 5个体个体1 1个体个体6 6个体个体2 2个体个体3 37.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样 例如，我们想调查某省的登记选民。则有两种方法：例如，我们想调查某省的登记选民。则有两种方法：调查某省调查某省的登记选民的登记选民。有两种方。有两种方法：法：第一种方法是建立包含该省所有登第一种方法是建立包含该省所有登记选民的抽样框，然后根据抽样框，记选民的抽样框，然后根据抽样框，选择选民的一个简单随机样本。选择选民的一个简单随机样本。第二种方法是整群抽样，我们选择用该第二种方法是整群抽样，我们选择用该省各县的清单作抽样框。在这个方法中，省各县的清单作抽样框。在这个方法中，每个县（或群）包含一组登记选民，而该每个县（或群）包含一组登记选民，而该省的每个登记选民只属于一群。省的每个登记选民只属于一群。7.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样分层抽样分层抽样和整群抽样和整群抽样都将总体划都将总体划分为组，因分为组，因此这两种抽此这两种抽样过程感觉样过程感觉上是相似的上是相似的。选择整群抽样与选择整群抽样与分层抽样的原因是分层抽样的原因是不同的。不同的。当群内的个体存在当群内的个体存在差异时，整群抽样可差异时，整群抽样可提供较好的结果提供较好的结果。理想情形是每一群是整个理想情形是每一群是整个总体的一个缩影，这时，抽总体的一个缩影，这时，抽取很少的群就可以提供关于取很少的群就可以提供关于整个总体特征的信息整个总体特征的信息。整群抽样整群抽样 与与分层抽样分层抽样 的的 比较比较7.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样 例例7.67.6 某省拥有某省拥有1200012000名执业注册会计师的注册会计师协会进名执业注册会计师的注册会计师协会进行了一项调查。作为调查的一部分，注册会计师协会行了一项调查。作为调查的一部分，注册会计师协会收集与收入、性别和与注册会计师生活方式有关的因收集与收入、性别和与注册会计师生活方式有关的因素的信息。因为用个人采访法去搜集所需要的信息，素的信息。因为用个人采访法去搜集所需要的信息，因此注册会计师协会采用整群抽样，以使总的差旅费因此注册会计师协会采用整群抽样，以使总的差旅费和采访费用达到最小。抽样框中包含所有在该省登记和采访费用达到最小。抽样框中包含所有在该省登记注册的执业会计师事务所。注册的执业会计师事务所。7.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样 假设有假设有10001000群，即在该省登记注册的从事会计活动群，即在该省登记注册的从事会计活动的会计师事务所有的会计师事务所有10001000个，选择个，选择1010个会计师事务所个会计师事务所为一个简单随机样本。为一个简单随机样本。例例7.67.6（续）（续）7.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样 为了介绍在整群抽样中，构造总体均值、总体总量和为了介绍在整群抽样中，构造总体均值、总体总量和总体比率的近似总体比率的近似9595置信区间需要的公式，我们使用置信区间需要的公式，我们使用如下的记号：如下的记号：N N总体的群数；总体的群数；n n样本中选出的群数；样本中选出的群数；MiMii i群的单位数；群的单位数；M M总体单位数；总体单位数；M MM M1 1M M2 2十十M MN N；每一群的平均单位数。每一群的平均单位数。X Xi i第第i i群所有观察值的总量；群所有观察值的总量；a ai i第第i i群具有某特征的观察值的数量群具有某特征的观察值的数量;7.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样对注册会计师协会的抽样调查，我们有如下资料：对注册会计师协会的抽样调查，我们有如下资料：N N1000 1000 n n1010M M1200012000 下表下表7-47-4为每个中选群的为每个中选群的M Mi i和和x xi i的值，以及中选事务所中女注册会计师的数量的值，以及中选事务所中女注册会计师的数量（a ai i）的资料。）的资料。例例7.67.6（续）（续）7.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样7.6 7.6 整群抽样整群抽样第七章统计抽样第七章统计抽样 由整群抽样得到的总体均值的点估计的公式由整群抽样得到的总体均值的点估计的公式如下：如下：（7-257-25）7.6.1 7.6.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样该点估计量的标准差的估计为：该点估计量的标准差的估计为：（7-267-26）总体均值的近似总体均值的近似9595的置信区间为：的置信区间为：7.6.1 7.6.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样 根据表根据表7-7-4 4的资料，我们可以得到执业注册会计师平均年薪的的资料，我们可以得到执业注册会计师平均年薪的点估计为点估计为 例例7.67.6（续）（续）7.6.1 7.6.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样 由于表由于表7 74 4中的年薪资料是以千元计量的，因此，中的年薪资料是以千元计量的，因此，执业注册会计师的平均年薪的估计值为执业注册会计师的平均年薪的估计值为4253142531元。元。而而:因此因此:例例7.67.6（续）（续）7.6.1 7.6.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样 因此标准差为因此标准差为1.7301.730。我们得到平均年薪的近似。我们得到平均年薪的近似9 95 5置信区间置信区间:即即 （39.07139.071，45.99145.991）。）。例例7.67.6（续）（续）7.6.1 7.6.1 总体均值总体均值第七章统计抽样第七章统计抽样整群抽样的总体比率的点估计如下：整群抽样的总体比率的点估计如下：（7-307-30）式中式中a ai i第第i i群中具有某种感兴趣特征的个体的数量。群中具有某种感兴趣特征的个体的数量。7.6.2 7.6.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样该点估计量的标准误差的估计为：该点估计量的标准误差的估计为：（7-317-31）总体比率的近似总体比率的近似9595的置信区间的置信区间 （7-327-32）7.6.2 7.6.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样 对注册会计师抽样调查，可以得到女性执业注册会对注册会计师抽样调查，可以得到女性执业注册会计师的比率的估计为：计师的比率的估计为：例例7.67.6（续）（续）7.6.2 7.6.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样并且：并且：因此：因此：例例7.67.6（续）（续）7.6.2 7.6.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样 因此，女性执业注册会计师比率的近似因此，女性执业注册会计师比率的近似95%95%置信区置信区间为间为 即（即（0.2052,0.34160.2052,0.3416）。）。例例7.67.6（续）（续）7.6.2 7.6.2 总体比率总体比率第七章统计抽样第七章统计抽样先通过选择先通过选择（即允许误差）的值即允许误差）的值，规定可接受的精，规定可接受的精度水平度水平建立满足所需要的建立满足所需要的精度的精度的n n值的计算公式值的计算公式每群平均个体的数量和群每群平均个体的数量和群间方差是决定样本中包含群间方差是决定样本中包含群数多少的关键因素。如果各数多少的关键因素。如果各群相似，则群间方差小，因群相似，则群间方差小，因此中选群数就比较少。此中选群数就比较少。如果每群平均个体数量较大，如果每群平均个体数量较大，则中选群数也会比较少。则中选群数也会比较少。整群抽样的过程同其他抽样方法整体上是类似的整群抽样的过程同其他抽样方法整体上是类似的7.6.3 7.6.3 样本容量的确定样本容量的确定第七章统计抽样第七章统计抽样 例如，需要从容量为例如，需要从容量为50005000的总体中抽取一个容量为的总体中抽取一个容量为5 50 0的样本，我们可以从总体中随机选择一个，然后在的样本，我们可以从总体中随机选择一个，然后在其后面的抽样框中，每隔其后面的抽样框中，每隔100100个个体选择一个，可得个个体选择一个，可得到样本中其余的个体。到样本中其余的个体。7.7 7.7 系统抽样系统抽样 因为第一个个体的选择是随机的，因此系统样本常因为第一个个体的选择是随机的，因此系统样本常常假定具有简单随机样本的性质。当抽样框是由总常假定具有简单随机样本的性质。当抽样框是由总体中的个体随机排列而形成时，这种假定通常是合体中的个体随机排列而形成时，这种假定通常是合适的。适的。