1、利用“先二后一”计算.2.计算椭球体的体积 V.解法解法1解法解法2利用三重积分换元法.令则 3 .求三重积分解解 4.计算其中L为圆周 解解 参数方程计算,则 第二型曲线积分的计算 1.直接计算法 2.利用格林公式化为二重积分计算格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+则 3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径 D：单连域，P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且5.计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)则添加辅助线段计算其中L为上半圆周沿逆时针方向
2、.6.第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算曲面曲面上侧上侧,下侧下侧（上侧正下侧负）上侧正下侧负）曲面曲面前侧前侧,后侧后侧(前侧正后侧负前侧正后侧负)右侧右侧,左侧左侧曲面曲面光滑曲面光滑曲面（上侧正下侧负）上侧正下侧负）(前侧正后侧负前侧正后侧负)光滑曲面光滑曲面 前侧前侧后侧后侧（单值）（单值）（单值）（单值）小结小结:光滑曲面光滑曲面 右侧右侧左侧左侧(右侧正左侧负右侧正左侧负)7.求求 其中其中S为上半球面为上半球面 的上侧的上侧.解解 这里P=0，Q=yz，R=zx,于是于是注意：注意：.2所围成的立体表面外侧及=z解解xyz代入初始条件f(1)=1,得11.的通解.解解:特征
3、方程特征根:因此原方程通解为14.解解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解该曲线的方程.解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:由 得由 得 C=2,因此所求曲线方程为线性常系数非齐次微分方程线性常系数非齐次微分方程根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程非齐次方程特解特解齐次方程齐次方程通解通解求特解的方法求特解的方法 待定系数法待定系数法结论：结论：在（在（1）中，若）中，若则（则（1）具有形如）具有形如的特解，其中的特解，其中 与与 同次，同次，k按按 不是特征根、是不是特征根、是特征单根、是特征重根依次取特征单根、是特征重根依次取
4、0、1或或2.特别是特解 解解再求导，得再求导，得初始条件为初始条件为 特征方程与特征根为:对积分方程两边求导，得14:设提示提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.15.判别下列级数的敛散性:解解利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数再由比较法可知原级数收敛.收敛,用比值判别法可知:时收敛;时,与 p 级数比较可知时收敛;时发散.时发散.16下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:原级数发散原级数发散.故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛.因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Lei
5、bniz判别法知级数收敛;因所以原级数绝对收敛.求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.17.求下列级数的敛散区间:解解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为解解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;18.求幂级数解解先求出收敛区间则设和函数为19.求级数和函数，并求解解 级数缺少偶次幂的项，级数收敛.级数发散.收敛半径因而级数发散.于是级数的收敛域为则将上式两边求导得故1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数
6、的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当 m=1 时20.将函数展开成 x 的幂级数.解解:解解不必应用泰勒公式求，而是应用sinx,cosx的马氏展式求解解:周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数(1)对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里里叶级数为(2)周期为2的偶函数 f(x),其傅里里叶级数为余弦级数,它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为22 设的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解解:若不计周期为 2 的奇函数,因此n1根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f(x)的情况见右图.n5机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束 广义积分的判别法广义积分的判别法1.几个特殊的积分几个特殊的积分 2.广义积分的比较判别法广义积分的比较判别法(4)比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式瑕积分与无穷积分有类似的比较判别法瑕积分与无穷积分有类似的比较判别法.狄利克雷判别法；阿贝尔判别法狄利克雷判别法；阿贝尔判别法.18.计算反常积分解解:23.判别无穷积分解解:的敛散性.由比较判别法 可知原积分收敛.24 讨论反常积分的敛散性.提示提示:当 x1 时,利用 可知原积分发散.25.判别瑕积分的敛散性.解解:由比较判别法 可知原积分收敛.26 判别无穷积分解解:根据极限判别法 ,该积分收敛.27.判别无穷积分的敛散性.解解:根据极限判别法,该积分发散.28.判别瑕积分解解:利用洛必达法则得根据极限判别法,所给积分发散.(极限审敛法）则有:1)当2)当解解解解洛必达法则洛必达法则根据极限判别法,积分 收敛.解解因为 31.证明当 ，积分在 内一致收敛.32.证明积分解解被积函数虽然在 处无定义，但对任意因而函数在任意即由阿贝尔判别法故一致收敛积分具有如下性质：一致收敛积分具有如下性质：
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