2017高中数学立体几何习题课新人教B版必修2.pptx

习题课空间中的平行关系、垂直关系的综合应用【问题思考】1.重要关系的转化(1)平行关系的转化:(2)垂直关系的转化:2.简单几何体的几何度量(1)棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系(2)柱、锥、台体体积公式之间的关系 S上=0时,棱锥可以看作上底面面积为0的棱台;S上=S下时,棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台.3.常用结论(1)平行平面的传递性,若,则.(2)若两条直线与三个平行平面分别相交,则直线被平行平面截得的线段对应成比例.(3)如果两条平行线有一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(4)若一个四面体各个面的面积分别记为S1,S2,S3,S4,且每个面作为底面时对应的四面体的高分别记为h1,h2,h3,h4,则有S1h1=S2h2=S3h3=S4h4成立,这一结论能有效地解决立体几何中的点到平面的距离问题.4.做一做:已知直线m,n和平面,则能得出的一个条件是()A.mn,m,nB.mn,=m,nC.mn,n,m D.mn,m,n答案:C5.做一做:三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为()解析:由题意可知SBBC,SAAC,则SC是球的直径.答案:C 6做一做:设,是两个不同的平面,l是一条直线,给出下列说法:若l,则l若l,则l若l,则l若l,则l其中说法正确的个数为()A.1B.2C.3D.0解析:对于,若l,则l或l,故错误;对于,若l,则l或l,故错误;对于,若l,则l,故正确;对于,若l,则l或l或l或l与斜交,故错误.答案:A7.做一做:一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案:12 8.做一做:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的对角线的交点,求证:(1)C1O平面AB1D1;(2)A1C平面AB1D1.证明:(1)连接A1C1,设A1C1B1D1=O1,连接AO1.ABCD-A1B1C1D1是正方体,四边形A1ACC1是平行四边形,A1C1AC,且A1C1=AC.又O1,O分别是A1C1,AC的中点,O1C1AO,且O1C1=AO,AOC1O1是平行四边形,C1OAO1,又AO1平面AB1D1,C1O平面AB1D1,C1O平面AB1D1.(2)CC1平面A1B1C1D1,CC1B1D1.又A1C1B1D1,CC1A1C1=C1,B1D1平面A1C1C,A1CB1D1.同理可证A1CAB1,又D1B1AB1=B1,A1C平面AB1D1.探究一探究二探究三探究四探究五探究六简单几何体的面积、体积问题简单几何体的面积、体积问题【例1】(1)正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为()A.64 B.32 C.16D.8(2)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在AA1,CC1上,探究一探究二探究三探究四探究五探究六解析:(1)如图,过正三棱锥P-ABC的顶点P作PM平面ABC于点M,则球心O在PM上,|PM|=6,连接AM,AO,则|OP|=|OA|=R,在RtOAM中,|OM|=6-R,|OA|=R,又|AB|=6,且ABC为等边三角形,则R=4,所以球的表面积S=4R2=64.探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟1.关于简单几何体的面积、体积问题在高考中属于必考内容,考查的角度有单纯性的体积、面积问题,与三视图相交汇的问题,利用几何体间的切接关系命题,体积、面积的考查还经常性出现在解答题中,与平行、垂直性证明问题相交汇.2.对于柱、锥、台、球的面积、体积公式要理解透公式中各个量的含义,并能在具体载体中进行应用.探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练变式训练1一个几何体的三视图如图所示,其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积是.探究一探究二探究三探究四探究五探究六解析:观察三视图可知,该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体,圆锥底面半径为2,四棱锥底面边长分别为3,4,它们的高均探究一探究二探究三探究四探究五探究六立体几何中平行、垂直关系的综合证明立体几何中平行、垂直关系的综合证明【例2】如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.求证:(1)直线EF平面A1CD;(2)平面A1CD平面A1ABB1.探究一探究二探究三探究四探究五探究六证明:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACA1C1,且AC=A1C1.连接DE,在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC,且DEAC,又F为A1C1的中点,所以A1F=DE,且A1FDE,所以四边形A1DEF为平行四边形,所以EFDA1.又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以EF平面A1CD.(2)由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点,故CDAB,因为侧棱A1A底面ABC,CD平面ABC,所以AA1CD,又AA1AB=A,所以CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD平面A1ABB1.探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟证明线面平行的方法有两种:一是寻找线线平行,利用线面平行的判定定理,二是寻找面面平行,利用面面平行的性质;证明面面垂直的一般方法是利用面面垂直的判定定理.探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:(1)直线BC1平面EFPQ;(2)直线AC1平面PQMN.探究一探究二探究三探究四探究五探究六证明:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.探究一探究二探究三探究四探究五探究六立体几何证明中的距离问题立体几何证明中的距离问题【例3】如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离.(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BCAD.因为BC平面PDA,AD平面PDA,所以BC平面PDA.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(2)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BCCD.因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,BC平面ABCD,所以BC平面PDC.因为PD平面PDC,所以BCPD.(3)解:取CD的中点E,连接AE和PE.因为PD=PC,所以PECD.因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.由(2)知BC平面PDC.由(1)知BCAD.探究一探究二探究三探究四探究五探究六所以AD平面PDC.因为PD平面PDC,所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD,探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟用等体积法求点到平面的距离主要是转换的思想,即先用简单的方法求出所给几何体的体积,然后算出所求高对应底面的面积,再根据三棱锥体积公式V=Sh,求得点到平面的距离h.(1)求体积时,可根据条件灵活运用割补的思想和转换顶点的思想.(2)利用等体积法能够从侧面迂回地解决一些从正面较难入手的问题这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时,我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其对应高的底面来.探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练变式训练3如图所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)求证BE平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在RtBFE中,在BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,所以BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1,又BCBB1=B,所以BE平面BB1C1C.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(2)解:连接EB1,则三棱锥E-A1B1C1的体积 探究一探究二探究三探究四探究五探究六立体几何证明中的体积问题立体几何证明中的体积问题【例4】如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(1)证明:由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.因为ABC=,EFBC,所以ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.探究一探究二探究三探究四探究五探究六探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟在历年的高考中,可以说大多情形都在立体几何平行、垂直的证明题中穿插体积的考查,尤其是棱锥的体积,关键是确定好底面和高.如果是关于体积的最值或逆向问题,一般要归结为函数或方程来解决.探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练变式训练4如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF平面ABC1D1;(2)求证:CFB1E;(3)求三棱锥B1-EFC的体积.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(1)证明:连接BD1,在DD1B中,因为E,F分别为D1D,DB的中点,所以EF为DBD1的中位线,所以EFD1B.而D1B平面ABC1D1,EF平面ABC1D1,所以EF平面ABC1D1.(2)证明:连接B1D1,在等腰直角三角形BCD中,F为BD的中点,所以CFBD.又DD1平面ABCD,CF平面ABCD,所以DD1CF.又DD1BD=D,DD1,BD平面BDD1B1,所以CF平面BDD1B1,而B1E平面BDD1B1,所以CFB1E.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(3)解:由(2)可知CF平面BDD1B1,探究一探究二探究三探究四探究五探究六立体几何证明中的折叠问题立体几何证明中的折叠问题【例5】如图,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是线段AB上的两点,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4 ,DE=4.现将ADE,CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.(1)求证:平面DEG平面CFG;(2)求多面体CDEFG的体积.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(1)证明:因为DEEF,CFEF,所以四边形CDEF为矩形.在EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EGGF.又因为CFEF,CFFG,得CF平面EFG,所以CFEG.所以EG平面CFG,即平面DEG平面CFG.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(2)解:在EGF中,过点G作GHEF于点H,因为平面CDEF平面EFG,得GH平面CDEF,VCDEFG=SCDEFGH=16.反思感悟折叠问题是立体几何的一类典型问题,是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前后哪些发生了变化,哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是分析问题和解决问题的依据.探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练变式训练5如图(1),在平面四边形ABCD中,A=90,B=135,C=60,AB=AD,M,N分别是边AD,CD上的点,且2AM=MD,2CN=ND.如图(1),将ABD沿对角线BD折起,使得平面ABD平面BCD,并连接AC,MN(如图(2).(1)证明:MN平面ABC;(2)证明:ADBC;(3)若BC=1,求三棱锥A-BCD的体积.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(1)证明:在ACD中,2AM=MD,2CN=ND,MNAC,又MN平面ABC,AC平面ABC,MN平面ABC.(2)证明:在ABD中,AB=AD,A=90,ABD=45,在平面四边形ABCD中,ABC=135,BCBD.又平面ABD平面BCD,且BC平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面ABD,又AD平面ABD,ADBC.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(3)解:在BCD中,BC=1,CBD=90,BCD=60,探究一探究二探究三探究四探究五探究六立体几何证明中的探究问题立体几何证明中的探究问题【例6】在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思路分析:(1)先利用线面垂直的判定定理证明AA1平面ABC,再证明直线BC平面ACC1A1.(2)由于D,E分别是线段BC,CC1的中点,易猜想M应为线段AB的中点,只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可.(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又由已知,ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交的直线,所以BC平面ACC1A1.探究一探究二探究三探究四探究五探究六(2)解:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟探究性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立,内容涉及异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平行与垂直等方面,对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法来解决.探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练变式训练6(2016四川高考,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.探究一探究二探究三探究四探究五探究六解:(1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:因为ADBC,BC=AD,所以BCAM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)探究一探究二探究三探究四探究五探究六(2)由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BC=AD,所以直线AB与CD相交.所以PA平面ABCD.从而PABD.因为ADBC,BC=AD,所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD,所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.123451.平面平面,直线a,下列四个命题:与内的所有直线平行;与内的无数条直线平行;a与内的任何一条直线都异面;a与无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:C123452.(2016浙江高考,文2)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.ml B.mnC.nlD.mn解析:对于选项A,=l,l,m,m与l可能平行,也可能异面,故选项A不正确;对于选项B,D,m,n,m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D不正确.对于选项C,=l,l.n,nl.故选C.答案:C123453.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为3,则这个球的体积为.123454.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.12345证明:(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DEPA.又因为PA平面DEF,DE平面DEF,所以直线PA平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DEPA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以DEF=90,即DEEF.又PAAC,DEPA,所以DEAC.因为ACEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.123455.如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上,存在点M,使得ACBM,并求 的值.12345(1)解:由题设AB=1,AC=2,BAC=60,(2)证明:在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM.