正弦和余弦转换.docx

正弦与余弦转换公式一:设为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:sin(2k)sincos(2k)costan(2k)tancot(2k)cot公式二:设为任意角,+得三角函数值与得三角函数值之间得关系:sin()sincos()costan()tancot()cot公式三:任意角与 -得三角函数值之间得关系:sin()sincos()costan()tancot()cot公式四:利用公式二与公式三可以得到-与得三角函数值之间得关系:sin()sincos()costan()tancot()cot公式五:利用公式一与公式三可以得到2-与得三角函数值之间得关系:sin(2)sincos(2)costan(2)tancot(2)cot公式六:/2与得三角函数值之间得关系:sin(/2)coscos(/2)sintan(/2)cotcot(/2)tansin(/2)coscos(/2)sintan(/2)cotcot(/2)tan诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为:对于k/2(kZ)得个三角函数值,当k就是偶数时,得到得同名函数值,即函数名不改变;当k就是奇数时,得到相应得余函数值,即sincos;cossin;tancot,cottan、(奇变偶不变)然后在前面加上把瞧成锐角时原函数值得符号。(符号瞧象限)例如:sin(2)sin(4/2),k4为偶数,所以取sin。当就是锐角时,2(270,360),sin(2)0,符号为“”。所以sin(2)sin上述得记忆口诀就是:奇变偶不变,符号瞧象限。公式右边得符号为把视为锐角时,角k360+(kZ),-、180,360-所在象限得原三角函数值得符号可记忆水平诱导名不变;符号瞧象限。各种三角函数在四个象限得符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”.这十二字口诀得意思就就是说:第一象限内任何一个角得四种三角函数值都就是“”;第二象限内只有正弦就是“”,其余全部就是“”;第三象限内只有正切就是“”,其余全部就是“”;第四象限内只有余弦就是“”,其余全部就是“”.上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦其她三角函数知识:同角三角函数基本关系同角三角函数得基本关系式倒数关系:tan cot1sin csc1cos sec1商得关系:sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方关系:sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法:(参瞧图片或参考资料链接)构造以上弦、中切、下割;左正、右余、中间1得正六边形为模型。(1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数;(2)商数关系:六边形任意一顶点上得函数值等于与它相邻得两个顶点上函数值得乘积。(主要就是两条虚线两端得三角函数值得乘积)。由此,可得商数关系式。(3)平方关系:在带有阴影线得三角形中,上面两个顶点上得三角函数值得平方与等于下面顶点上得三角函数值得平方。两角与差公式两角与与差得三角函数公式sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintan()(tantan )/(1tan tan)tan()(tantan)/(1tan tan)倍角公式二倍角得正弦、余弦与正切公式(升幂缩角公式)sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()tan22tan/(1tan2()半角公式半角得正弦、余弦与正切公式(降幂扩角公式)sin2(/2)(1cos)/2cos2(/2)(1cos)/2tan2(/2)(1cos)/(1cos)万能公式万能公式sin2tan(/2)/(1tan2(/2)cos(1tan2(/2)/(1tan2(/2)tan(2tan(/2)/(1tan2(/2)万能公式推导附推导:sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2()、*,(因为cos2()+sin2()=1)再把*分式上下同除cos2(),可得sin22tan/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推导余弦得万能公式。正切得万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角得正弦、余弦与正切公式sin33sin4sin3()cos34cos3()3costan3(3tantan3()/(13tan2()三倍角公式推导附推导:tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3(),得:tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos即sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos三倍角公式联想记忆记忆方法:谐音、联想正弦三倍角:3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)余弦三倍角:4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)注意函数名,即正弦得三倍角都用正弦表示,余弦得三倍角都用余弦表示。与差化积公式三角函数得与差化积公式sinsin2sin()/2) cos()/2)sinsin2cos()/2) sin()/2)coscos2cos()/2)cos()/2)coscos2sin()/2)sin()/2)积化与差公式三角函数得积化与差公式sin cos0、5sin()sin()cos sin0、5sin()sin()cos cos0、5cos()cos()sin sin 0、5cos()cos()与差化积公式推导附推导:首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样得,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化与差得四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化与差得四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到与差化积得四个公式、我们把上述四个公式中得a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到与差化积得四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)