35线性系统稳定性分析.pptx

如小球如小球平衡位置平衡位置b b点点,受外界扰动作用受外界扰动作用,从从b b点到点到 b b点，点，外力作用去掉后外力作用去掉后,小球围绕小球围绕b b点作几次反复振荡点作几次反复振荡,最后最后又回到又回到b b点点,这时小球的运动是这时小球的运动是稳定稳定的。的。如小球的位置在如小球的位置在a a或或c c点点,在微小扰动下在微小扰动下,一旦偏离平一旦偏离平衡位置衡位置,则无论怎样则无论怎样,小球再也回不到原来位置小球再也回不到原来位置,则则是是不稳定不稳定的。的。一、一、稳定性的基本概念稳定性的基本概念定义：定义：系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态，当系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统扰动消失后，系统能恢复到原来的平衡状态能恢复到原来的平衡状态，则称系，则称系统稳定；否则系统不稳定。统稳定；否则系统不稳定。系系统统的的稳稳定定性性又又分分为为两两种种:一一是是大大范范围围的的稳稳定定,即即初初始始偏偏差差可可以以很很大大,但但系系统统仍仍稳稳定定;另另一一种种是是小小范范围围的的稳稳定定,即即初初始始偏偏差差必必须须在在一一定定限限度度内内系系统统才才稳稳定定,超超出出了了这这个个限限定定值值则则不不稳稳定定。对对于于线线性性系系统统,如如果果小小范范围围内内是是稳稳定定的的,则则它它一一定定也也是是大大范范围围稳稳定定的的。而非线性系统不存在类似结论。而非线性系统不存在类似结论。对线性定常系统，若其脉冲响应收敛，则系统稳定，对线性定常系统，若其脉冲响应收敛，则系统稳定，否则不稳定。线性系统的稳定性否则不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统本身的只取决于系统本身的结构参数结构参数,而与外作用及初始条件无关而与外作用及初始条件无关,是系统的固有是系统的固有特性。特性。通常而言通常而言,线性定常系统的稳定性表现为其时域响应线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。控制系统的时域响应可分为稳态分量和暂的收敛性。控制系统的时域响应可分为稳态分量和暂态分量态分量,若随着时间的推移若随着时间的推移,其其暂态分量逐渐衰减到暂态分量逐渐衰减到零零,系统的响应最终收敛到稳态分量系统的响应最终收敛到稳态分量,则称该控制则称该控制系系统是稳定的统是稳定的;而如果过渡过程是发散的而如果过渡过程是发散的,则该系统就则该系统就是不稳定的。是不稳定的。二、线性系统稳定的充要条件二、线性系统稳定的充要条件欲满足欲满足 ,则必须各个分量都趋于零。即只则必须各个分量都趋于零。即只有当系统的全部闭环特征根都具有负实部才满足。有当系统的全部闭环特征根都具有负实部才满足。线性系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充要条件：闭环极点严格位于闭环极点严格位于s s左半左半平面（或闭环极点都具有负实部）。平面（或闭环极点都具有负实部）。对对于于复复平平面面右右半半平平面面没没有有极极点点,但但虚虚轴轴上上存存在在极极点点的的线线性性定定常常系系统统,称称之之为为临临界界稳稳定定的的,该该系系统统在在扰扰动动消消除除后后的的响响应应通通常常是是等等幅幅振振荡荡的的。在在工工程程上上,临界稳定属于不稳定。临界稳定属于不稳定。j 0稳定区域稳定区域不稳定区域不稳定区域S平面平面线性系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充要条件：闭环极点严格位于闭环极点严格位于s s左半左半平面（或闭环极点都具有负实部）。平面（或闭环极点都具有负实部）。三、劳斯三、劳斯-赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据 高阶方程求解不易，用求特征根方法判定稳定性不现实。高阶方程求解不易，用求特征根方法判定稳定性不现实。设系统特征方程为：设系统特征方程为：根据特征方程系数判定系统稳定性根据特征方程系数判定系统稳定性1 1、赫尔维茨稳定判据、赫尔维茨稳定判据（1 1）必要条件必要条件：ai0（不缺项，不缺项，不缺项，不缺项，系数同号系数同号系数同号系数同号）。）。）。）。若不满若不满足足ai0，则系统是不稳定的。若满足，则需进一步判断。则系统是不稳定的。若满足，则需进一步判断。不稳定不稳定不稳定不稳定（缺（缺3 3次项）次项）可能稳定可能稳定,需进一步判断需进一步判断 判定以下系统的稳定性判定以下系统的稳定性（2 2）线性系统稳定的充分必要条件）线性系统稳定的充分必要条件:特征方程各项系数均大于零特征方程各项系数均大于零,即即ai00 下列行列式和各阶顺序主子式全部为正。下列行列式和各阶顺序主子式全部为正。q已经证明，已经证明，在特征方程各项系数均大于在特征方程各项系数均大于零时，赫尔维茨奇次行列式全为正，则赫零时，赫尔维茨奇次行列式全为正，则赫尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。例题：例题：，判定系统判定系统稳定性。稳定性。解：解：所有系数均大于零，故有所有系数均大于零，故有系统不稳定系统不稳定2 2 2 2、劳斯稳定判据、劳斯稳定判据、劳斯稳定判据、劳斯稳定判据(1)(1)(1)(1)系统稳定的系统稳定的系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件必要条件必要条件是特征方程的所有系数是特征方程的所有系数是特征方程的所有系数是特征方程的所有系数ai0均大于零。均大于零。均大于零。均大于零。不缺项不缺项不缺项不缺项。系数同号。系数同号。系数同号。系数同号。它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。(2)(2)(2)(2)劳斯判据：劳斯判据：劳斯判据：劳斯判据：线性系统稳定的线性系统稳定的线性系统稳定的线性系统稳定的充要条件充要条件充要条件充要条件是是是是劳斯劳斯劳斯劳斯表中第一列所有项系数均大于零，第一列系数变表中第一列所有项系数均大于零，第一列系数变表中第一列所有项系数均大于零，第一列系数变表中第一列所有项系数均大于零，第一列系数变号次数为闭环极点在号次数为闭环极点在号次数为闭环极点在号次数为闭环极点在s s s s右半平面的个数。右半平面的个数。右半平面的个数。右半平面的个数。例题：例题：，判定稳定性及在右半平面判定稳定性及在右半平面闭环极点个数闭环极点个数 系统不稳定，第一列系数变号两次，有两个闭环极点系统不稳定，第一列系数变号两次，有两个闭环极点在在s s右半平面。右半平面。50-651042531s0s1s2s3s4 四、劳斯判据特殊情况四、劳斯判据特殊情况1 1、某行第一列元素为某行第一列元素为0 0，该行元素不全为，该行元素不全为0 0时时 ：用因：用因子子(s+a)s+a)乘以原特征方程，乘以原特征方程，a a为任意正数，对新特征为任意正数，对新特征方程采用劳斯判据。方程采用劳斯判据。例题：例题：，判定，判定s s右半平面中闭环右半平面中闭环根的个数。根的个数。s31-3s202s1以（以（s+3)s+3)乘以原来方程得到乘以原来方程得到6-7-3-2/3036 1s2s1s0s3s4第一列系数变号两次，有第一列系数变号两次，有两个正实部根两个正实部根，实际，实际上上 2062 2 2 2、在在在在劳劳劳劳斯斯斯斯阵阵阵阵列列列列表表表表中中中中，如如如如果果果果某某某某一一一一行行行行中中中中的的的的所所所所有有有有元元元元素素素素都都都都等等等等于于于于零零零零，则则则则表表表表明明明明在在在在s s s s平平平平面面面面内内内内存存存存在在在在绝绝绝绝对对对对值值值值相相相相等等等等符符符符号号号号相相相相异异异异的的的的特特特特征征征征根根根根：两两两两个个个个大大大大小小小小相相相相等等等等符符符符号号号号相相相相反反反反的的的的实实实实根根根根或或或或一一一一对对对对共共共共轭轭轭轭纯纯纯纯虚虚虚虚根根根根或或或或对对对对称称称称于于于于实实实实轴轴轴轴的的的的两两两两对对对对共共共共轭轭轭轭复复复复根根根根,系系系系统统统统处处处处在在在在临临临临界界界界稳稳稳稳定状态或不稳定状态。定状态或不稳定状态。定状态或不稳定状态。定状态或不稳定状态。在在在在这这这这种种种种情情情情况况况况下下下下，利利利利用用用用全全全全为为为为零零零零行行行行的的的的上上上上一一一一行行行行的的的的系系系系数数数数，可可可可组组组组成成成成一一一一个个个个辅辅辅辅助助助助方方方方程程程程，并并并并用用用用这这这这个个个个辅辅辅辅助助助助方方方方程程程程导导导导数数数数的的的的系系系系数数数数取取取取代代代代全全全全零零零零行行行行各各各各项项项项，最最最最后后后后用用用用劳劳劳劳斯斯斯斯判判判判据据据据加加加加以以以以判判判判断断断断。由由由由辅辅辅辅助助助助方方方方程可以求出绝对值相等符号相异的特征根。程可以求出绝对值相等符号相异的特征根。程可以求出绝对值相等符号相异的特征根。程可以求出绝对值相等符号相异的特征根。例题：例题：一个控制系统的特征方程为一个控制系统的特征方程为 列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。五、劳斯判据应用五、劳斯判据应用判定稳定性，确定正实部根的个数判定稳定性，确定正实部根的个数确定使系统稳定的参数取值范围确定使系统稳定的参数取值范围 例题：例题：考虑图示的系统考虑图示的系统,确定使系统稳定的确定使系统稳定的K的取值范围。的取值范围。解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为 列劳斯表如下列劳斯表如下:根据劳斯判据根据劳斯判据,系统稳定必须满足：系统稳定必须满足：因此因此,使系统闭环稳定的使系统闭环稳定的K的取值范围为的取值范围为 当当K=14/9时时,系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。K237/303K 1s2s1s0s3s4K9K72-实际系统希望实际系统希望s s左半平面上的特征根距离虚左半平面上的特征根距离虚轴有一定的距离。轴有一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线方程中是否有根位于垂线代入原方程式中，得到以代入原方程式中，得到以 解决的办法 设设右侧。右侧。检验稳定裕量检验稳定裕量s-as10例题：系统如图，例题：系统如图，=2,=2,确定使系统确定使系统闭环极点全部落在闭环极点全部落在s=-1左边时左边时Ka的范围的范围 。s-1s10Ka-61372301s12s11s10s13912 Ka37Ka-61练习练习P136 3-12(1)小结小结稳定性概念稳定性概念线性系统稳定的充分必要条件线性系统稳定的充分必要条件劳斯稳定判据的应用劳斯稳定判据的应用作业作业P142 3-29