大学物理8振动.pptx

广义振动：任何物理量在某定值附近的周期变化。广义振动：任何物理量在某定值附近的周期变化。第 8 8 章 振动机械振动：物体在平衡位置附近来回往复的运动。机械振动：物体在平衡位置附近来回往复的运动。分解分解简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成周期性复杂振动可以表示为周期性复杂振动可以表示为傅里叶（傅里叶（Fourier）级数级数非周期性复杂振动可表示为非周期性复杂振动可表示为傅里叶（傅里叶（Fourier）积分积分一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开 x(t)被分解为（常数项除被分解为（常数项除外）频率外）频率为为 的一系列简谐振动的一系列简谐振动 构成离散的构成离散的傅里叶傅里叶频谱频谱A0，An ，Bn 为相应简谐振动的振幅为相应简谐振动的振幅 方波方波锯齿波锯齿波 弹簧振子弹簧振子8.1 8.1 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程令令 单摆单摆 令令 较小时较小时不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。8.2 8.2 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 1.1.振幅振幅2.2.周期、频率、圆频率周期、频率、圆频率周周 期期频频 率率圆频率圆频率3.3.称相位，是描述状态的物理量。称相位，是描述状态的物理量。称称初相位。初相位。相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。4.4.周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。，写出其振动方程式。写出其振动方程式。例：已知简谐振动例：已知简谐振动解：解：设振动方程为设振动方程为 当当 t=1时时,有有由图，由图，A=2m。当当 t=0 时有：时有：例：例：某质点作简谐运动，振动曲线如图所示。试根据图中数据某质点作简谐运动，振动曲线如图所示。试根据图中数据 写出振动表达式。写出振动表达式。解得：解得：O2-2t(s)x(m)1旋转矢量旋转矢量 的端点在的端点在 轴上轴上的投影点的运动为简谐运动。的投影点的运动为简谐运动。8.3 8.3 旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动旋转矢量旋转矢量振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率模模初始夹角初始夹角夹角夹角角速度角速度物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较R Rk kMM m m例例:定定滑滑轮轮质质量量为为M,半半径径为为R。跨跨过过滑滑轮轮的的轻轻绳绳分分别别与与重重物物(m)和和弹弹簧簧(k)相相连连，弹弹簧簧它它端端固固定定。求求系系统统的的振振动动周周期期；托托住住重重物物使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放,写出重物的振动方程。写出重物的振动方程。解：解：O Ox x x x O O x xmgR Rk kMM m mx x例：例：半径为半径为 r 的均匀小球，可以在一半径的均匀小球，可以在一半径 R 为的球形碗底部作纯为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。解：解：建立图示坐标系，以小球为研究对象。建立图示坐标系，以小球为研究对象。质心沿圆周切向方程：质心沿圆周切向方程：小球绕质心转动方程：小球绕质心转动方程：接触点纯滚动：接触点纯滚动：小幅度振动条件：小幅度振动条件：联立解得：联立解得：周期周期 小球作平面平行运动可分解为质心的运动小球作平面平行运动可分解为质心的运动+绕质心的转动绕质心的转动例：例：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在此在此 隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。解：解：满足简谐振动方程，故为简谐振动。满足简谐振动方程，故为简谐振动。周期：周期：oxrRo8.4 8.4 简谐振动的能量简谐振动的能量 可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期例：例：U 形管截面面积形管截面面积 S，管中流体的质量，管中流体的质量 m、密度密度，求求 液体振荡周期液体振荡周期 T。解：解：设偏离平衡位置的液柱高度设偏离平衡位置的液柱高度为为y液柱作简谐振动。液柱作简谐振动。机械能守恒机械能守恒两边求导两边求导分析受力分析受力微分方程微分方程振动周期振动周期平衡位置平衡位置质心位置上升了质心位置上升了 y例例：半半径径为为 r 的的小小球球在在半半径径为为R 的的半半球球形形大大碗碗内内作作纯纯滚滚动动，这这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。机械能守恒机械能守恒将上三式代入后，对时间求导数将上三式代入后，对时间求导数其中其中小角度振动时的周期小角度振动时的周期解：解：设小球质心速度设小球质心速度，角速度角速度例例：劲劲度度系系数数为为K的的轻轻弹弹簧簧一一端端固固定定，另另一一端端连连接接在在圆圆柱柱体体的的转转轴轴上上。圆圆柱柱体体的的质质量量和和半半径径为为m和和R，并并可可绕绕其其转转轴轴在在平平面面上上作作纯纯滚滚动。试动。试求该系统的振动周期。求该系统的振动周期。解：解：由质心运动定理由质心运动定理相对质心的转动定理相对质心的转动定理由纯滚动条件由纯滚动条件另解：另解：由系统的机械能守恒由系统的机械能守恒由纯滚动条件由纯滚动条件消去消去 可得：可得：对上式求导对上式求导8.5 8.5 简谐振动的合成简谐振动的合成1.1.方向相同、频率相同方向相同、频率相同合振动与分振动同方向，且频率相同。合振动与分振动同方向，且频率相同。【矢量合成方法矢量合成方法】由几何关系直接写出：由几何关系直接写出：设设 t=0 时时刻刻对对应应两两振振动动的的旋旋转转矢矢量量 A1 和和 A2 与与 x 轴轴的的夹夹角角分分别别为为 、。由由于于两两旋旋转转矢矢量量以以相相同同的的角角速速度度旋旋转转因因此此它它们们的的合合矢矢量量也也以以相相同同的的角角速速度度旋旋转转。合合矢矢量量A在在 方方向向的的投投影影也也代代表表一一个个简简谐谐振振动动,且且 ,表表明明合合矢矢量量的的模模就就是合成振动的振幅。是合成振动的振幅。两个同方向、同频率简谐振动的合成：两个同方向、同频率简谐振动的合成：A2A1x0AA2A1x0Ax2x1x四边形四边形 三角形三角形 多边形多边形 讨论：讨论：相位差对合成振动的影响相位差对合成振动的影响 两振动同相位，合成振幅最大两振动同相位，合成振幅最大 两振动反相位，合成振幅最小两振动反相位，合成振幅最小 一般情况下，合振幅在下述范围之间：一般情况下，合振幅在下述范围之间：为简单起见为简单起见，设两个振动的振幅相同设两个振动的振幅相同，初相位相同并为零。初相位相同并为零。2.2.方向相同、频率相近方向相同、频率相近拍拍频频：单单位位时时间间内内合合振振动动振振幅幅强强弱弱变变化化的的次次数数.拍拍频频是是“振振幅幅”频频率率的的两两倍倍.电子测频电子测频 差拍振荡差拍振荡 同步锁模同步锁模 音调校准音调校准3.3.方向垂直、频率相同方向垂直、频率相同椭圆方程：椭圆方程：4.4.方向垂直、频率不同方向垂直、频率不同 如果两个互相垂直如果两个互相垂直的振动频率成整数比的振动频率成整数比,合成运动具有周期性合成运动具有周期性,运动轨道是封闭曲线运动轨道是封闭曲线,称为利萨如图形。称为利萨如图形。按阻尼大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，按阻尼大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式。代表了振动物体的三种运动方式。振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。8.6 8.6 阻尼振动阻尼振动其中其中将形如将形如 的解代入微分方程，得特征方程的解代入微分方程，得特征方程其特征根是其特征根是 弱阻尼弱阻尼其中其中:A0 和和 决定于初始条件决定于初始条件v 振幅随时间振幅随时间 作指数衰减作指数衰减v 振动周期大振动周期大 于固有周期于固有周期系统从周期运动变为非周期振动。系统从周期运动变为非周期振动。临界阻尼临界阻尼时时，特征方程有两个相同实根特征方程有两个相同实根，方程的解为方程的解为xto时时,方程的解为方程的解为 过阻尼过阻尼 这这种种过过阻阻尼尼运运动动方方式式是是非非周周期期运运动动,振振动动从从开开始始最最大大位位移移缓慢回到平衡位置缓慢回到平衡位置,不再做往复运动不再做往复运动.弱弱 阻阻 尼尼临界阻尼临界阻尼过过 阻阻 尼尼时时,特征方程有两个不同的实根，方程的解为特征方程有两个不同的实根，方程的解为系统在周期性外力持续作用下所发生的振动称为受迫振动。系统在周期性外力持续作用下所发生的振动称为受迫振动。强迫力强迫力:阻尼力阻尼力:恢复力恢复力:1.1.方程与解方程与解8.7 8.7 受迫振动受迫振动稳态解稳态解暂态解暂态解把稳态解代入原方程把稳态解代入原方程，通过比较系数确定振幅和相位：通过比较系数确定振幅和相位：驱动力的圆频率为某定值时驱动力的圆频率为某定值时,受迫振动的振幅达到极大。受迫振动的振幅达到极大。共振振幅共振振幅共振圆频率共振圆频率大阻尼大阻尼弱阻尼弱阻尼无阻尼无阻尼 越小，越小，；越大越大越接近于越接近于 为零时，为零时，；电磁共振选台电磁共振选台 提高音响效果提高音响效果v 改变固有频率改变固有频率v 增大阻尼系数增大阻尼系数避免共振避免共振利用共振利用共振 据说据说,160,160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口令令,队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时,轰隆一声巨响轰隆一声巨响,大桥坍塌大桥坍塌,士兵、军官纷纷坠水。几十年后士兵、军官纷纷坠水。几十年后,圣彼得堡卡但卡圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相过。一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相近近,发生共振所致。发生共振所致。1940 1940年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一场不算年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，这难道也是太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性的效果，君不见节共振所致？其实，风有时也能产生周期性的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？日的彩旗迎风飘扬吗？随后在大风中因随后在大风中因产生共振而断塌产生共振而断塌 1940年年华盛顿的塔科曼华盛顿的塔科曼大桥大桥在大风中产生振动在大风中产生振动解：解：代入简谐振动表达式，则有代入简谐振动表达式，则有例：一放置在水平桌面上的弹簧振子例：一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为周期为0.50.5 s s。当。当t=0t=0时，时，求求 运动方程运动方程例：例：木板质量为木板质量为M，水平放在两相同的柱体水平放在两相同的柱体（质量为质量为m，半径为，半径为r）上上，板两端用两个弹性系数为板两端用两个弹性系数为 k 的轻弹簧连接的轻弹簧连接，弹簧水平地挂在两固定点上弹簧水平地挂在两固定点上。当系统作振动时当系统作振动时,柱与板以及柱与地面间均作纯滚动柱与板以及柱与地面间均作纯滚动。问问：系统是否作系统是否作简谐振动简谐振动?如果是，求振动周期。如果是，求振动周期。解：解：以板为研究对象，由牛顿第二定律有：以板为研究对象，由牛顿第二定律有：因圆柱体作平面平行运动，则因圆柱体作平面平行运动，则质心运动定理：质心运动定理：绕质心转动定理：绕质心转动定理：圆柱与木板接触点纯滚动：圆柱与木板接触点纯滚动：圆柱与地面接触点纯滚动：圆柱与地面接触点纯滚动：联立可得：联立可得：木板作简谐振动：木板作简谐振动：例：例：半径为半径为 r 的均匀小球，可以在一半径的均匀小球，可以在一半径 R 为的球形碗底部作纯为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。解：解：建立图示坐标系，以小球为研究对象。建立图示坐标系，以小球为研究对象。质心沿圆周切向方程：质心沿圆周切向方程：小球绕质心转动方程：小球绕质心转动方程：接触点纯滚动：接触点纯滚动：小幅度振动条件：小幅度振动条件：联立解得：联立解得：周期周期 小球作平面平行运动可分解为质心的运动小球作平面平行运动可分解为质心的运动+绕质心的转动绕质心的转动例：例：一弹簧振子由倔强系数为一弹簧振子由倔强系数为 的弹簧和质量为的弹簧和质量为 的物块组成，将的物块组成，将弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为一颗质量为 ，速度为，速度为 的子弹由下而上射入物块，并停留在物块中。的子弹由下而上射入物块，并停留在物块中。系统碰撞前后动量守恒：系统碰撞前后动量守恒：物块碰撞前振子的平衡位置物块碰撞前振子的平衡位置：物块和子弹碰撞后的新平衡位置物块和子弹碰撞后的新平衡位置：碰后系统动力学方程：碰后系统动力学方程：解：解：以物块和子弹为对象，以系统碰撞后的平衡位置为以物块和子弹为对象，以系统碰撞后的平衡位置为坐标原点，向下为正方向。设物块碰前，物块相对弹簧坐标原点，向下为正方向。设物块碰前，物块相对弹簧原长的平衡位置为原长的平衡位置为 ，碰后，物块和子弹构成系统的平，碰后，物块和子弹构成系统的平衡位置相对弹簧原长为衡位置相对弹簧原长为 ，忽略碰撞期间子弹的重力忽略碰撞期间子弹的重力。求振子以后的振动振幅求振子以后的振动振幅 与周期与周期 ；求物块从初始位置运动到最高点所需的时间求物块从初始位置运动到最高点所需的时间 。整理得：整理得：，其中其中，系统作简谐振动系统作简谐振动。振动周期：振动周期：运动学方程：运动学方程：初始条件：初始条件：解得：解得：物块达到最高点时：物块达到最高点时：则：则：