大学物理振动与光学.pptx

受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动(简谐振动简谐振动)振振动动分分类类最简单的振动形式最简单的振动形式本章主要内容：本章主要内容：简谐振动运动学简谐振动运动学简谐振动动力学简谐振动动力学简谐振动的叠加简谐振动的叠加1.1 简谐振动运动学简谐振动运动学(Kinematics of Simple Harmonic Motion)简谐振动的描述简谐振动的描述定义定义简谐振动表达式简谐振动表达式 or振动方程振动方程 0=/2oA-AtxTx位移位移(或其它物理量或其它物理量)t时间时间e.g.参量参量 角频率角频率(angular frequency)SI单位：单位：rad/s or s-1Note:仅依赖于系统本身的性质，与初始仅依赖于系统本身的性质，与初始条件无关。条件无关。e.g.弹簧振子：弹簧振子：单单 摆：摆：A振幅振幅(amplitude)SI单位：单位：mNotes:A依赖于振动的初始条件。依赖于振动的初始条件。A与振动的能量有关。与振动的能量有关。e.g.弹簧振子：弹簧振子：0初相初相(initial phase)单位：单位：radNotes:0依赖于振动的初始条件。依赖于振动的初始条件。通常取通常取 =t+0相相(phase)单位：单位：radNotes:对应于对应于t时刻振动的状态。时刻振动的状态。对于给定的简谐对于给定的简谐振动，振动，A、已知已知 可用来比较两个同频率简谐振动的步调。可用来比较两个同频率简谐振动的步调。若若 2-1=其它值，则其它值，则取取(k为整数为整数)同相同相(k为整数为整数)反相反相当当 时，称振动时，称振动2超前于振动超前于振动1当当 时，称振动时，称振动2滞后于振动滞后于振动1旋转矢量图旋转矢量图(phasor diagram)0 OX旋转矢量旋转矢量长度长度A角速度角速度-圆频率圆频率初始角初始角 0初初相位相位在在t时刻时刻以上矢量在以上矢量在X轴上的投影：轴上的投影：振动中质点的位移振动中质点的位移质点的速度质点的速度加速度加速度例例1-1某简谐振动的振动曲线如图，则振动某简谐振动的振动曲线如图，则振动方程为方程为 。解：解：设振动方程为设振动方程为则由振动曲线：则由振动曲线：A=2 cm令令t=0,有有x(cm)t(s)-1-2O1旋转矢量图：旋转矢量图：X2/3-2/3按题意，按题意，t0，负向位，负向位移增大，故应有移增大，故应有由由 =t+0 得得又按题意，又按题意，t=1s,x=A,由由旋矢图旋矢图此时此时 =2 .综上，得综上，得例例1-2 质点的振动规律用余弦函数描述，其质点的振动规律用余弦函数描述，其速度时间曲线如图，则其初位相应为速度时间曲线如图，则其初位相应为 。v(m/s)t(s)vmvm/2O解：解：令令t=0,按题意，有按题意，有旋转矢量图：旋转矢量图：按题意，按题意，t0时，正向速度增大，故应有时，正向速度增大，故应有XO1.2 简谐振动动力学简谐振动动力学(Dynamics of Simple Harmonic Motion)作用力、能量和动力学方程作用力、能量和动力学方程作用力作用力(沿振动方向的合力沿振动方向的合力)由由特点特点：是保守力。是保守力。证：证：Xx1x2对任意闭合路径对任意闭合路径L:x1x2x1，有，有 方向：与位移方向相反方向：与位移方向相反 大小：与位移大小成正比大小：与位移大小成正比能量能量于是于是守恒守恒设设x=0处处,Ep=0,则有则有又又例例1-3 弹簧振子总能量为弹簧振子总能量为E1，若其振幅增为，若其振幅增为原来的两倍，重物质量增为原来的四原来的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能量变为倍，则振子总能量变为 。解：解：弹簧振子：弹簧振子：2=k/m例例1-4 系统作谐振动，周期为系统作谐振动，周期为T，以余弦函，以余弦函数表达振动时，初位相为零，则在数表达振动时，初位相为零，则在0 t T/2范围内，系统在范围内，系统在t=时刻动能和势能相等。时刻动能和势能相等。解：解：按题意按题意因此因此动力学方程动力学方程简谐振动：简谐振动：牛牛简谐振动的简谐振动的 动力学方程动力学方程e.g.i)弹簧振子弹簧振子水平水平：oxX原长位置原长位置竖直竖直：oxX原长位置原长位置平衡位置平衡位置x0平衡条件：平衡条件：斜置斜置：oxXx0原长位置原长位置平衡位置平衡位置 平衡条件：平衡条件：可见：弹簧振子无论水平、竖直还是斜置，可见：弹簧振子无论水平、竖直还是斜置，振动频率都相同。振动频率都相同。例例1-5 竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的伸长量为伸长量为x0，则此振子自由振动的周期，则此振子自由振动的周期T=.解：解：平衡条件：平衡条件：1.3 简谐振动的叠加简谐振动的叠加(Addition of Simple Harmonic Motions)运动的合成。运动的合成。同一直线上同频率简谐振动的合成同一直线上同频率简谐振动的合成两个振动的合成两个振动的合成 0 OX旋转矢量图：旋转矢量图：Notes:若若 20-10=2k (k=0,1,2,)则则A=A1+A2 max.若若 20-10=(2k+1)(k=0,1,2,)则则A=A1-A2 min.多个振动的合成多个振动的合成旋转矢量图：旋转矢量图：0 OX RNotes:若若=2k (k=0,1,2,)则则A=na max.旋矢图：直线旋矢图：直线XOe.g.n=4,=0若若2k (k=0,1,2,)则则A=0 min.但但n=2k (k 为整数为整数)旋矢图：闭合折线旋矢图：闭合折线XOi)n=4,=/2e.g.ii)n=4,=OXiii)n=4,=3/2XO例例1-7 两个简谐振动的振动曲线如图，则它两个简谐振动的振动曲线如图，则它们合成的余弦振动的初相为们合成的余弦振动的初相为 。oA-A/2tx42x1x2解：解：旋矢图：旋矢图：XO可见：合振动可见：合振动 0=-/2例例1-8两个同方向同频率的简谐振动合成两个同方向同频率的简谐振动合成,合合振动振幅为振动振幅为20cm，它与振动，它与振动1的位相的位相差为差为-1=/6,若振动若振动1的振幅为的振幅为 cm,则振动则振动2的振幅为的振幅为 cm，振动，振动1与振动与振动2的位相差为的位相差为 1-2=。解：解：旋矢图：旋矢图：OX 1 又又由三角关系得由三角关系得SUMMARY简谐振动表达式简谐振动表达式(振动方程振动方程)振动参量振动参量依赖于系统本身的性质依赖于系统本身的性质依赖于振动的依赖于振动的初始条件初始条件旋转矢量图旋转矢量图=t+0 对应于对应于t时刻振动的状态时刻振动的状态 0 OX振动中的作用力振动中的作用力保守力保守力振动系统的能量振动系统的能量守恒守恒动力学方程动力学方程同一直线上同频率简谐振动的叠加同一直线上同频率简谐振动的叠加简简谐振动谐振动 0 OX 20-10=2k Amax=A1+A2 20-10=(2k+1)Amin=A1-A2 0 OX R=2k Amax=na2k,但但n=2k Amin=0 EXERCISES质点沿质点沿X轴以轴以x=0为平衡位置作谐振动，频为平衡位置作谐振动，频率为率为0.25Hz，t=0时，时，x=-0.37cm，v=0，则振，则振幅为幅为 ，振动的数值表达式为，振动的数值表达式为 .解：解：旋矢图：旋矢图：XO可见：可见：又：又：故故思考思考 若题中若题中x=0.37cm，结果，结果？若题中若题中x=0，v=1.57cm/s，结果，结果？解：解：两个谐振动的振动曲线如图所示，则两个谐振动的振动曲线如图所示，则x1的的位相比位相比x2的位相超前的位相超前 .由图可见，由图可见，x1比比x2在时间上超前在时间上超前3T/8.ox2x1tx因此，因此，x1比比x2在位相上超前在位相上超前思考思考 若两振动频率不同，则若两振动频率不同，则“位相超前位相超前”有无意义有无意义？质量质量m=10g的小球与轻弹簧组成的振动系的小球与轻弹簧组成的振动系统，按统，按x=0.5cos(8 t+/3)的规律作自由振动，的规律作自由振动，式中式中t以秒作单位，以秒作单位，x以厘米作单位，求以厘米作单位，求振动的圆频率、周期、振幅和初相振动的圆频率、周期、振幅和初相振动的速度、加速度的数值表达式振动的速度、加速度的数值表达式振动的能量振动的能量平均动能和平均势能平均动能和平均势能解：解：由由x=0.005cos(8 t+/3)(SI)知：知：8 s-1T=2/=0.25 sA=0.005 m 0=/3 v=dx/dt=-0.126sin(8 t+/3)(SI)a=d2x/dt2=-3.16cos(8 t+/3)(SI)于是于是解：解：单摆的悬线长单摆的悬线长l=1.5 m，在顶，在顶端固定点的下方端固定点的下方0.45 m处有一处有一小钉，如图示小钉，如图示.设两方摆动均较设两方摆动均较小，则单摆的左右两方振幅之小，则单摆的左右两方振幅之比比A1/A2的近似值为的近似值为 .l1l2摆动过程中机械能守恒，有摆动过程中机械能守恒，有于是于是思考思考“两方摆动均较小两方摆动均较小”意味着什么意味着什么？两方最大摆角之比两方最大摆角之比 1m/2m=？摆球在两方上升的最大高度是否相摆球在两方上升的最大高度是否相同同？质量为质量为m的质点与倔强系数为的质点与倔强系数为k的轻弹簧构的轻弹簧构成一个弹簧振子竖直悬挂，成一个弹簧振子竖直悬挂，“零势能零势能”参考参考点选在质点平衡位置处，则振动势能点选在质点平衡位置处，则振动势能kx2/2(x从平衡位置算起从平衡位置算起)是是(A)物体重力势能和弹性势能之和物体重力势能和弹性势能之和.(B)物体重力势能和弹性势能之差物体重力势能和弹性势能之差.(C)弹簧的弹性势能弹簧的弹性势能.(D)物体的重力势能物体的重力势能.答案：答案：A验证：验证：设平衡时有设平衡时有mg-kx0=0，则，则思考思考若将势能零点选在弹簧原长处若将势能零点选在弹簧原长处,答案答案?如图，在一铅直悬挂的弹簧下系一质量为如图，在一铅直悬挂的弹簧下系一质量为 m的物体，再用此弹簧改系一质量为的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧,并并联后悬挂质量为联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的的物体，则这三个系统的周期值之比为周期值之比为(A)(B)(C)(D)m4mm解：解：关于弹簧，有如下一些结果：关于弹簧，有如下一些结果：并联：并联：串联：串联：长：长：易知易知思考思考怎样导出弹簧串、并联以及截断后的怎样导出弹簧串、并联以及截断后的k?一质点同时参与了三个简谐振动，它们的一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为振动方程分别为其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为x=.解：解：旋矢图：旋矢图：XO三个等长的矢三个等长的矢量呈对称分布，量呈对称分布，合矢量为零，合矢量为零，故有故有 x=0设海水的表面密度为设海水的表面密度为 0，海水的密度，海水的密度 随深随深度每增加度每增加1米米即增加即增加 0的的万分之五万分之五；一个密度；一个密度为为 1的刚性小球，初始在海水中悬浮静止，的刚性小球，初始在海水中悬浮静止，此时，若给该小球一个向下的冲击力，使它此时，若给该小球一个向下的冲击力，使它获得向下的初速度获得向下的初速度v0.试从动力学关系证明小球作简谐振动试从动力学关系证明小球作简谐振动(要求要求写出小球的动力学微分方程写出小球的动力学微分方程).已知已知 1=1.5 103kg/m3,0=1.0 103kg/m3,v0=1.0m/s,求小球简谐振动的圆频率求小球简谐振动的圆频率 和振幅和振幅A，并写出小球的振动表达式并写出小球的振动表达式.(取取g=10m/s2)解：解：建立坐标系如图：建立坐标系如图：mgfXxx0OO X 按题意，海水密度为按题意，海水密度为其中其中 k=5 10-4 m-1mg-0(1+kx0)Vg=0 设小球体积为设小球体积为V,则则在在平衡位置平衡位置x=x0处处,有有在小球运动中的任意位置在小球运动中的任意位置x处，有处，有记位移记位移x-x0=x ,则有则有由此可知小球作简谐振动。由此可知小球作简谐振动。由方程由方程得得方程方程的通解为的通解为初始条件：初始条件：旋矢图：旋矢图：XO可见：可见：因此，振动表达式为因此，振动表达式为