大学物理振动和波动.pptx

第四篇振动和波动振动振动：某一：某一物理量物理量在某一定值附近在某一定值附近周期性周期性变化的现象称振动。变化的现象称振动。振动形式的多样性u机械振动机械振动:物体位移物体位移 x 随时间随时间t 的往复变化。的往复变化。（弹簧、钟摆、活塞、心脏、脉搏、耳膜、空气振动等弹簧、钟摆、活塞、心脏、脉搏、耳膜、空气振动等）u电磁振动电磁振动:电场、磁场等电磁量随电场、磁场等电磁量随t 的往复变化。的往复变化。（电场电场 、磁场、磁场 、电流、电流 、电压、电压 ）u微观振动微观振动:如晶格点阵上原子的振动。如晶格点阵上原子的振动。机械振动机械振动是声学、光学、电磁学、固体物理、量子是声学、光学、电磁学、固体物理、量子物理等学科以及机械、电工、无线电、建筑学、地震学物理等学科以及机械、电工、无线电、建筑学、地震学 等学科的基础。等学科的基础。共振共振受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动机械振动的分类（简谐振动）（谐振动）（简谐振动）（谐振动）u简谐振动简谐振动是最简单、最基本的振动是最简单、最基本的振动.简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解振动的理论建立在简谐振动的基础上12-1 简谐振动简谐振动一、简谐振动的特征一、简谐振动的特征典型例子典型例子：弹簧弹性系数：弹簧弹性系数k,k,物体物体(质量为质量为 m)在弹簧原长附近在弹簧原长附近的运动。的运动。弹簧振子的振动即为弹簧振子的振动即为简谐振动简谐振动.解微分方程解微分方程1.简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程2.简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程令令整理得整理得简谐振动运动学方程简谐振动运动学方程弹性力弹性力牛顿运动方程牛顿运动方程解为：解为：线性回复力线性回复力线性回复力、动力学方程、运动学方程线性回复力、动力学方程、运动学方程都可作为都可作为简谐振动简谐振动的判据的判据二、简谐振动的振幅、频率、相位二、简谐振动的振幅、频率、相位1.振幅振幅 物体离开平衡位置的最大位移的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值绝对值 A，由初始条件决定，描述振动的空间范围。，由初始条件决定，描述振动的空间范围。2.周期周期 振动状态重复一次所需要的时间振动状态重复一次所需要的时间,描述振描述振动的快慢动的快慢.物体在单位时间内发生完全振动的次物体在单位时间内发生完全振动的次数，称数，称振动的频率振动的频率.反映了系统的反映了系统的固有特性固有特性，分别称为谐振子，分别称为谐振子系统的固有圆频率、固有周期和固有频率系统的固有圆频率、固有周期和固有频率.称称圆频率（角频率）圆频率（角频率）.3.相位相位 当当A和和 已知时，已知时，可以可以决定决定t 时刻时刻物物体的位移、速度和加速度，即确定物体的振动状态体的位移、速度和加速度，即确定物体的振动状态.称称t 时刻物体的振动相位时刻物体的振动相位.比较比较a、b两点：位移相同，速度不同，相位不同两点：位移相同，速度不同，相位不同.比较比较a、c两点：位移相同，速度相同，相位不同两点：位移相同，速度相同，相位不同.结论：结论：用相位描述物体振动，能反映出时间上的用相位描述物体振动，能反映出时间上的周期性周期性，而（，而（x，v）则不能。）则不能。反映反映t=0时刻的振动状态，称时刻的振动状态，称初相位初相位.反映反映t=0时刻的振动状态，称时刻的振动状态，称初相位初相位.反映反映t=0时刻的振动状态，称时刻的振动状态，称初相位初相位.反映反映t=0时刻的振动状态，称时刻的振动状态，称初相位初相位.反映反映t=0时刻的振动状态，称时刻的振动状态，称初相位初相位.三、三、相位差相位差1.1.对于同一简谐运动对于同一简谐运动wD=-=D12ttt对于简谐运动对于简谐运动t1时刻相位时刻相位t2时刻相位时刻相位相位差相位差相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间wD=-=D12ttt2.2.对不同简谐运动对不同简谐运动设两个同频率的简谐振动设两个同频率的简谐振动相位差相位差1）同相位和反相位）同相位和反相位两振动步调完全一致，称两个振动两振动步调完全一致，称两个振动同相位同相位。第二个简谐振动第二个简谐振动 比第一个比第一个 超前超前第二个简谐振动第二个简谐振动 比第一个比第一个 落后落后两振动步调完全相反，称两个振动两振动步调完全相反，称两个振动反相位反相位。2）超前和落后）超前和落后两个振动在相位上相差两个振动在相位上相差 时，相对应的时时，相对应的时间上相差为间上相差为以以来判断。来判断。同相位同相位反相位反相位四、四、简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法1.解析法解析法u物体作简谐振动时的物体作简谐振动时的速度速度u物体作简谐振动时的物体作简谐振动时的加速度加速度 (2)振幅关系：振幅关系：(3)相位关系：相位关系：v比比x超前超前/2,a比比v超前超前/2。均是作均是作谐振动谐振动的物理量的物理量,有有(1)频率关系：频率关系：频率相同频率相同,均为均为t=0=0时时可得可得在t=0时刻，物体相对于平衡位置的位移为x0，速度是v0kxtT/2ToA-AtvoA-Atoa2A-2A2.曲线法曲线法用用振动曲线振动曲线描述简谐振动描述简谐振动3.旋转矢量法（采用几何的方法描述简谐振动）旋转矢量法（采用几何的方法描述简谐振动）矢量矢量 作作匀速圆周运动匀速圆周运动 ,在任意直径方向的分运动为在任意直径方向的分运动为简谐振动简谐振动（4 4）t t=0=0时刻，矢量与时刻，矢量与x x 轴的轴的夹角夹角 0 0为初相位为初相位（5）在任意在任意t时刻，矢量与时刻，矢量与x 轴轴的的夹角夹角t+0为为t时刻的相位时刻的相位（3）矢量矢量 的端点在的端点在x 轴上的轴上的投影投影为简谐振动方程为简谐振动方程旋转矢量在旋转矢量在x 轴轴的投影为简谐振动轴轴的投影为简谐振动（1）矢量矢量 的长度为振幅的长度为振幅（2）矢量矢量 的转动角速度的转动角速度 是振动圆频率是振动圆频率（1）相位显示直观）相位显示直观旋转矢量用图代替了文字的叙述。旋转矢量用图代替了文字的叙述。旋转矢量法表示的优点：旋转矢量法表示的优点：t=0时刻时刻时刻时刻由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度（2）比较相位方便比较相位方便(3)计算时间简便：计算时间简便：用熟悉的圆周运动代替三角函数用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算。的运算。2)振动方程振动方程3)微分方程微分方程 简谐振动的三个判据简谐振动的三个判据1)受力特征受力特征k 劲度系数劲度系数f 恢复力恢复力 以上以上1、2、3中中任一条任一条成立即可判定为成立即可判定为简谐振动。简谐振动。小结小结简谐振动的三种表示方法简谐振动的三种表示方法旋转矢量法：旋转矢量法：解析法：解析法：曲线法：曲线法：xt 曲线曲线旋转矢量旋转矢量角速度角速度圆频率圆频率 长度振幅长度振幅A初始角初始角初相初相 0 0旋转矢量图与简谐运动的旋转矢量图与简谐运动的x-t图的对应关系图的对应关系简谐振动的三个特征量简谐振动的三个特征量圆频率圆频率由系统决定，与初始条件无关由系统决定，与初始条件无关振幅振幅 反映振动的强弱，反映振动的强弱，由初始条件决定由初始条件决定.t=0时时由由可得可得初相位初相位已知初始振动状态，用旋转矢量确定已知初始振动状态，用旋转矢量确定oxx00v00v00 x0=0v00 x0=Av0=0 x0=-Av 0=0 x00 x00v00例例1 质量为质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧组成的弹簧谐振子，的弹簧谐振子，t=0时，质点过平衡位置且向正时，质点过平衡位置且向正方向运动。求物体运动到负二分之一振幅处所用方向运动。求物体运动到负二分之一振幅处所用的最短时间。的最短时间。解：解：设设 t 时刻到达末态，由已知条件画出时刻到达末态，由已知条件画出t=0 时时刻和刻和t时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。振动状态振动状态时刻振动状态时刻振动状态振动状态振动状态用时最短用时最短两个状态的相位差两个状态的相位差时刻振动状态时刻振动状态例例2 利用旋转矢量法确定质点在不同运动状态利用旋转矢量法确定质点在不同运动状态时的相位。时的相位。由旋转矢量图可以得出，旋转矢量与由旋转矢量图可以得出，旋转矢量与x轴的夹角为轴的夹角为零，故得零，故得（2）质点经二分之一振幅处）质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动（1）t 时刻质点时刻质点在正最大位移处在正最大位移处(3)当质点过平衡位置向负方向运动当质点过平衡位置向负方向运动同样同样质点向负方向运动质点向负方向运动注意到：注意到：（4）质点向正方向运动）质点向正方向运动 0 0 0 向正向运动向正向运动或或6 7 8例例3 3 一轻弹簧的右端连着一物体一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数 k=0.72N/m,物体的质量物体的质量m=20g.求：求：(1)把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m 处停下后再处停下后再释放释放,求简谐运动方程求简谐运动方程;解解（1）先求三个特征量：圆频率先求三个特征量：圆频率 、振幅振幅A、初相位初相位 0(2)求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率处时的速率;解解（2）x=A/2时，速度方向为时，速度方向为x轴负方向轴负方向o由旋转矢量图知由旋转矢量图知相位相位At=0时刻时刻ox由旋转矢量图知由旋转矢量图知 0=0所以运动方程为：所以运动方程为：AAA/2t时刻时刻因因x0=0.05m,v0=0.3m/s解解（3）设）设 x=A cos(6 t+0)t=0 时时x0=0.05m又又 v0 0所以所以(3)如果物体在如果物体在x=0.05m处时速度不等于零处时速度不等于零,而是具有而是具有向右的初速度向右的初速度v0=0.30m/s,求其运动方程求其运动方程.oxA 例例4 4 一质量为一质量为0.01kg的物体作简谐运动的物体作简谐运动,其振幅为其振幅为0.08m,周期为周期为4s，起始时刻在，起始时刻在x=0.04m处处,向向ox轴负方轴负方向运动向运动.试求试求:(1)t=1.0s时时,物体所处的位置和所受的力。物体所处的位置和所受的力。解解（1）已知）已知 A=0.08m 在在 t=0时有时有:x=A/2,v00oxAA/2 /3(2)由起始位置运动到由起始位置运动到x=0.04m处所需要的最短时间处所需要的最短时间.t=1.0s时时,由上式解得由上式解得x=0.069mf=kx=m 2x=1.70103N受力为受力为oxA/2-A/2t=0时刻时刻t时刻时刻解解（2）t时刻运动到时刻运动到x=0.04m处处例例5 5 两个两个同频率同频率简谐振动曲线如图所示，比较它简谐振动曲线如图所示，比较它们的位相差关系。们的位相差关系。A1x2Txto oA2-A2-A1x1 选选正最大位移，正最大位移，x2 比比x1 较早达到正最大位移较早达到正最大位移x2 比比x1时间超前时间超前T/4,相位超前相位超前/2.解：解：选定某一运动状态，谁先到达谁超前选定某一运动状态，谁先到达谁超前.例例6 6 某简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程。某简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程。x(cm)t(s)t(s)-1-1-2-2O O1 1解：解：设振动方程为设振动方程为则由振动曲线：则由振动曲线：A=2 cmt=0时刻时刻又又 v00所以所以故选故选v(m/s)t(s)OG1.单摆单摆 忽略空气阻力，质点在平衡点附近往复运动忽略空气阻力，质点在平衡点附近往复运动.mAlO重力矩重力矩：M=mgl sin根据转动定律：根据转动定律：五、几种常见的简谐振动五、几种常见的简谐振动T在小角度条件下在小角度条件下 sin (0由旋转矢量法由旋转矢量法 0=-/2x=9.810-2cos(10 t-/2)m对同一谐振动对同一谐振动,取不同的计时起点取不同的计时起点,0不同，但不同，但 和和 A 不变不变.（2）若取）若取x0=0，v0 0为计时零点为计时零点,写出振动方程。写出振动方程。xOmx l2-以弹簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点考虑一水平弹簧振子考虑一水平弹簧振子k六、简谐振动的能量六、简谐振动的能量振动能量和时间的关系振动能量和时间的关系(设初相位设初相位为零为零)tEoTEk和和Ep周期是振动周期的一半周期是振动周期的一半1)2)时间平均值时间平均值3)由简谐振动能量求振幅由简谐振动能量求振幅具有普遍适用性具有普遍适用性讨论讨论简谐振动的各特征量的性质简谐振动的各特征量的性质 振幅振幅A 由系统的由系统的振动能量振动能量决定；决定；角频率角频率 由系统的由系统的内在性质内在性质决定；决定；初相初相 0 由由时间零点时间零点的选取决定。的选取决定。例例 弹簧振子总能量为弹簧振子总能量为E1 1，若其振幅增为原来的，若其振幅增为原来的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能量为原来的几倍？量为原来的几倍？解：解：振子总能量为原来的振子总能量为原来的4 4倍倍.例例 系统作谐振动，周期为系统作谐振动，周期为T T，以余弦函数表达，以余弦函数表达振动时，初相为零，则在振动时，初相为零，则在0 t T/2范围内，系范围内，系统在什么时刻动能和势能相等。统在什么时刻动能和势能相等。解：解：按题意按题意动能和势能相等的位置在动能和势能相等的位置在因此因此3/4/4X旋矢图：旋矢图：第十二章第十二章 机械振动机械振动 一、简谐振动的三个判据一、简谐振动的三个判据振动方程振动方程微分方程微分方程受力特征受力特征二、简谐振动的特征二、简谐振动的特征二、简谐振动的特征二、简谐振动的特征频率频率周期周期圆频率圆频率相位相位初相位初相位振幅振幅三、基本物理量三、基本物理量四、四、四、四、简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法解析法：解析法：曲线法：曲线法：x t 曲线曲线xt旋转矢量法旋转矢量法旋转矢量法旋转矢量法(重点掌握）重点掌握）重点掌握）重点掌握）五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量六、六、简谐振动的合成简谐振动的合成初相位差为初相位差为振幅大的振动初相位振幅大的振动初相位七、由两个同频率简谐振动曲线比较位相差：通过旋转矢量法旋转矢量法n振动方程、振动曲线、旋转矢量互相转换振动方程、振动曲线、旋转矢量互相转换n已知两个振动曲线，进行已知两个振动曲线，进行相位比较相位比较(旋转矢量）旋转矢量）n用用旋转矢量旋转矢量描述振动及确定描述振动及确定初位相初位相n同方向、频率谐振动合成的同方向、频率谐振动合成的两个特例两个特例（矢量合成）（矢量合成）