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湘教版高中公开课数学教案 一、教学目标设计 通过实例理解充分条件、必要条件的意义。 能够在简洁的问题情境中推断条件的充分性、必要性。 二、教学重点及难点 充分条件、必要条件的推断; 充分条件、必要条件的推断方法。 三、教学流程设计 四、教学过程设计 一、概念引入 早在战国时期，墨经中就有这样一段话有之则必定，无之则未必不然，是为大故无之则必不然，有之则未必定，是为小故。 今日，在日常生活中，常听人说：这充分说明，没有这个必要等，在数学中，也讲充分和必要，这节课，我们就来学习教材第一章第五节充分条件与必要条件。 二、概念形成 1、 首先请同学们推断以下命题的真假 (1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。 (2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。 (3)若某个整数能够被4整除，则这个整数必是偶数。 (4) 若ab=0，则a=0。 解答：命题(2)、(3)、(4)为真。命题(4)为假; 2、请同学用推断符号写出上述命题。 解答：(1)两三角形全等 两三角形的面积相等。 (2) 三角形有两个内角相等 三角形是等腰三角形。 (3) 某个整数能够被4整除则这个整数必是偶数; (4)ab=0 a=0。 3、充分条件与必要条件 连续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。 若某个整数能够被4整除则这个整数必是偶数中，我们称某个整数能够被4整除是这个整数必是偶数的充分条件，可以解释为：只要某个整数能够被4整除成立，这个整数必是偶数就肯定成立;而称这个整数必是偶数是某个整数能够被4整除的必要条件，可以解释成假如某个整数能够被4整除 成立，就必需要这个整数必是偶数成立 充分条件：一般地，用、分别表示两件事，假如这件事成立，可以推出这件事也成立，即，那么叫做的充分条件。说明：可以解释为：为了使成立，具备条件就足够了。可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。结合实例解释为： x = 0 是 xy = 0 的充分条件，xy = 0不肯定要 x = 0。) 必要条件：假如，那么叫做的必要条件。 说明：可以解释为若，则叫做的必要条件，是的充分条件。无它不行，有它也不肯定行结合实例解释为：如 xy = 0是 x = 0的必要条件，若xy0，则肯定有 x若xy = 0也不肯定有 x = 0。 答复上述问题(1)、(2)中的条件关系。 (1)中：两三角形全等是两三角形的面积相等的充分条件;两三角形的面积相等是两三角形全等的必要条件。 (2)中：三角形有两个内角相等是三角形是等腰三角形的充分条件;三角形是等腰三角形是三角形有两个内角相等的必要条件。 4、拓广引申 把命题：若某个整数能够被4整除，则这个整数必是偶数中的条件与结论分别记作与，那么，原命题与逆命题的真假同与之间有什么关系呢? 关系可分为四类： (1)充分不必要条件，即，而 (2)必要不充分条件，即，而 (3)既充分又必要条件，即，又有 (4)既不充分也不必要条件，即，又有。 三、典型例题(概念运用) 例1：(1)已知四边形ABCD是凸四边形，那么AC=BD是四边形ABCD是矩形的什么条件?为什么?(课本例题p22例4) (2) 是 的什么条件。 (3)a+b是1，b什么条件。 解：(1)AC=BD是四边形ABCD是矩形的必要不充分条件。 (2)充分不必要条件。 (3)必要不充分条件。 说明假如把命题条件与结论分别记作与，则既要对进展推断，又要对进展推断。要否认条件的充分性、必要性，则只需举一反例即可。 例2：推断以下电路图中p与q的充要关系。其中p：开关闭合;q： 灯亮。(补充例题) 说明图中含有两个开关时，p表示其中一个闭合，另一个状况不确定。加强学科之间的横向沟通，通过图示，深化概念熟悉。 例3、探讨以下生活中名言名句的充要关系。(补充例题) (1)头发长，见识短。 (2)骄兵必败。 (3)有志者事竟成。 (4)春回大地，万物复苏。 (5)不入虎穴、焉得虎子 (6)四肢兴旺，头脑简洁 说明通过本例，充分调动学生生活阅历，使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热忱。 四、稳固练习 1、课本P/22练习1。5(1) 2：填表(补充) p q p是q的 什么条件 q是p的 什么条件 两个角相等 两个角是对顶角 内错角相等 两直线平行 四边形对角线相等 四边形是平行边形 a=b ac=bc 说明通过练习，准时稳固所学新知，反应教学效果。 五、课堂小结 1、本节课主要讨论的内容： 推断符号， 充分条件的意义 命题充分性、必要性的推断。 必要条件的意义 2、 充分条件、必要条件判别步骤： 认清条件和结论。 考察p q和q p的真假。 3、充分条件、必要条件判别技巧： 可先简化命题。 否认一个命题只要举出一个反例即可。 将命题转化为等价的逆否命题后再推断。 六、课后作业 书面作业：课本P/24习题1。51，2，3。 五、教学设计说明 1、充分条件、必要条件以及下节课中充要条件与集合的概念一样涉及到数学的各个分支，用推出关系的形式给出它的定义，对高一学生只要求知道它的意义，并能推断简洁的充分条件与必要条件。 2、由于充要条件与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系严密相关，为此，教学时可以从推断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入充分条件的概念，进而引入必要条件的概念。 3、教材中对充分条件、必要条件的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟识的命题的条件与结论之间的关系来熟悉充分条件的概念，从互为逆否命题的等价性来引出必要条件的概念。 4、由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键。教学中始终要留意以学生为主，结合相关学科及学生生活阅历让学生在自我思索、相互沟通中去给概念下定义，去体会概念的本质属性。 湘教版高中公开课数学教案2 【教学目标】 1. 学问与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义推断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简洁问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培育学生的观看、分析、归纳力量和严密的规律思维的力量，体验从特别到一般，一般到特别的认知规律，提高熟识猜测和归纳的力量，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互沟通和探究活动，培育学生主动探究、用于发觉的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到胜利的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观看、仔细分析、擅长总结的良好习惯。 【教学重点】 等差数列的概念;等差数列的通项公式 【教学难点】 理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大局部学生学问阅历已较为丰富，他们的智力进展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维力量和演绎推理力量，但也有一局部学生的根底较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注意从详细的生活实例动身，注意引导、启发、讨论和探讨以符合这类学生的心理进展特点，从而促进思维力量的进一步进展. 【设计思路】 1.教法 启发引导法：这种方法有利于学生对学问进展主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和乐观性，发挥其制造性. 分组争论法：有利于学生进展沟通，准时发觉问题，解决问题，调动学生的乐观性. 讲练结合法：可以准时稳固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种力量的同学引导熟悉多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课 1.从0开头，将5的倍数按从小到大的挨次排列，得到的数列是什么? 2.水库治理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的方法清理水库中的杂鱼.假如一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开头放水算起，到可以进展清理工作的那天，水库每天的水位(单位：m)组成一个什么数列? 3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息参加本息计算下一期的利息.根据单利计算本利和的公式是：本利和=本金(1+利率存期).按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么根据单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成一个什么数列? 教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数. 学生： 1：0，5，10，15，20，25，. 2：18，15.5，13，10.5，8，5.5. 3:10072，10144，10216，10288，10360. (设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特别到一般，激发学生学习探究学问的自主性，培育学生的归纳力量. 二：观看归纳，形成定义 0，5，10，15，20，25，. 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 10072，10144，10216，10288，10360. 思索1上述数列有什么共同特点? 思索2依据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗? 思索3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗? 教师：引导学生思索这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念. 学生：分组争论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合肯定规律;这些数都是根据肯定挨次排列的只要合理教师就要赐予确定. 教师引导归纳出：等差数列的定义;另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义. (设计意图：通过对肯定数量感性材料的观看、分析，提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开头抓住：“从其次项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的精确表达.) 三：举一反三，稳固定义 1.判定以下数列是否为等差数列?若是，指出公差d. (1)1,1,1,1,1; (2)1,0,1,0,1; (3)2,1,0,-1,-2; (4)4,7,10,13,16. 教师出示题目,学生思索答复.教师订正并强调求公差应留意的问题. 留意：公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 . (设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用). 2思索4:设数列an的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗?为什么? (设计意图：强化等差数列的证明定义法) 四：利用定义，导出通项 1.已知等差数列：8，5，2，求第200项? 2.已知一个等差数列an的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢? 教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展现.依据学生在课堂上的详细状况进展详细评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法. (设计意图：引导学生观看、归纳、猜测，培育学生合理的推理力量.学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决方法，教师要逐一点评，并准时确定、赞扬学生擅长动脑、勇于创新的品质，激发学生的制造意识.鼓舞学生自主解答，培育学生运算力量) 五：应用通项，解决问题 1推断100是不是等差数列2， 9，16，的项?假如是，是第几项? 2在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an. 3求等差数列 3,7,11，的第4项和第10项 教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡察学生答题状况. 学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式 (设计意图：主要是熟识公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步熟悉“根本量法”求解等差数列问题.) 六：反应练习：教材13页练习1 七：归纳总结： 1.一个定义： 等差数列的定义及定义表达式 2.一个公式： 等差数列的通项公式 3.二个应用： 定义和通项公式的应用 教师：让学生思索整理，找几个代表发言，最终教师给出补充 (设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新熟悉和把握根本概念，并敏捷运用根本概念.) 【设计反思】 本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增加学生学习数列的兴趣.在探究的过程中，学生通过分析、观看，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由详细到抽象，由特别到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的力量.本节课教学采纳启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充绽开教学，总结科学合理的学问体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率. 湘教版高中公开课数学教案3 直线的方程 教学目标 (1)把握由一点和斜率导出直线方程的方法，把握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能依据条件娴熟地求出直线的方程. (2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程. (3)把握直线方程各种形式之间的互化. (4)通过直线方程一般式的教学培育学生全面、系统、周密地分析、争论问题的力量. (5)通过直线方程特别式与一般式转化的教学，培育学生敏捷的思维品质和辩证唯物主义观点. (6)进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法. 教学建议 1.教材分析 (1)学问构造 由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式;由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式;再由两点式导出截距式;最终都可以转化归结为直线的一般式;同时一般式也可以转化成特别式. (2)重点、难点分析 本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及依据详细条件求出直线的方程. 解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程;另一个就是用方程讨论曲线.本节内容就是求直线的方程，因此是特别重要的内容，它对以后学习用方程争论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用. 直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特别形式的源头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继学问的学习. 本节的难点是直线方程特别形式的限制条件，直线方程的整体构造，直线与二元一次方程的关系证明. 2.教法建议 (1)教材中求直线方程实行先特别后一般的思路，特别形式的方程几何特征明显，但局限性强;一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各局部学问之间过渡要自然流畅，不生硬. (2)直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分提醒直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为连续学习“曲线方程”打下根底. 直线一般式方程都是字母系数，在提醒这一概念深刻内涵时，还需要进展正反两方面的分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类争论方法，从而培育学生全面、系统、辩证、周密地分析、争论问题的力量，特殊是培育学生规律思维力量，同时培育学生辩证唯物主义观点 (3)在强调几种形式互化时要向学生充分提醒各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解. (4)教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件.两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面对量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式(斜截式和截距式仅是它们的特例)，因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮. 求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程.依据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程. (5)留意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线(也是曲线)与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数;距离是线段的长度，是一个正实数(或非负实数). (6)本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要学问交汇点之一，教学中要适中选择一些有关的问题指导学生练习，培育学生的综合力量. (7)直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用.教学中留意联系实际和其它学科，教师要留意引导，增加学生用数学的意识和力量. (8)本节不少内容可安排学生自学和争论，还要适当增加练习，使学生能更好地把握，而不是仅停留在观念上. 湘教版高中公开课数学教案4 圆的方程 教学目标 (1)把握圆的标准方程，能依据圆心坐标和半径娴熟地写出圆的标准方程，也能依据圆的标准方程娴熟地写出圆的圆心坐标和半径. (2)把握圆的一般方程，了解圆的一般方程的构造特征，娴熟把握圆的标准方程和一般方程之间的互化. (3)了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进展圆的一般方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简洁问题. (4)把握直线和圆的位置关系，会求圆的切线. (5)进一步理解曲线方程的概念、熟识求曲线方程的方法. 教学建议 教材分析 (1)学问构造 (2)重点、难点分析 本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，依据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题. 本节的难点是圆的一般方程的构造特征，以及圆方程的求解和应用. 教法建议 (1)圆是最简洁的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟识曲线和方程的理论，为后继学习做好预备.同时，有关圆的问题，特殊是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的根本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决供应了根本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生的确把握这一单元的学问和方法. (2)在解决有关圆的问题的过程中屡次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结. (3)解决有关圆的问题，要常常用到一元二次方程的理论、平面几何学问和前边学过的解析几何的根本学问，教师在教学中要留意多复习、多运用，培育学生运算力量和简化运算过程的意识. (4)有关圆的内容特别丰富，有许多有价值的问题.建议适中选择一些内容供学生讨论.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题. 教学设计例如 圆的一般方程 教学目标： (1)把握圆的一般方程及其特点. (2)能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径. (3)能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程. (4)通过本节课学习，进一步把握配方法和待定系数法. 教学重点：(1)用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径. (2)用待定系数法求圆的方程. 教学难点：圆的一般方程特点的讨论. 教学用具：计算机. 教学方法：启发引导法，争论法. 教学过程： 【引入】 前边已经学过了圆的标准方程 把它绽开得 任何圆的方程都可以通过绽开化成形如 的方程 【问题1】 形如的方程的曲线是否都是圆? 师生共同争论分析： 假如表示圆，那么它肯定是某个圆的标准方程绽开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法，得 明显是不是圆方程与 是什么样的数亲密相关，详细如下： (1)当 时，表示以 为圆心、以 为半径的圆; (2)当 时，表示一个点 ; (3)当 时，不表示任何曲线. 总结：任意形如的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示. 圆的一般方程的定义： 当 时，表示以 为圆心、以 为半径的圆， 此时称作圆的一般方程. 即称形如 的方程为圆的一般方程. 【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同. (1) 和 的系数一样，都不为0. (2)没有形如 的二次项. 圆的一般方程与一般的二元二次方程 相比拟，上述(1)、(2)两个条件仅是表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件. 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： (1)圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然. (2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与构造，更适合方程理论的运用. 【实例分析】 例1：以下方程各表示什么图形. (1) ; (2) ; (3) . 学生演算并答复 (1)表示点(0，0); (2)配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆; (3)配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点(0，0);当 、 不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆. 例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径. 分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么此题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解. 解：设圆的方程为 由于 、 、 三点在圆上，则有 解得： ， ， 所求圆的方程为 可化为 圆心为 ，半径为5. 请同学们再用标准方程求解，比拟两种解法的区分. 【概括总结】通过学生争论，师生共同总结： (1)求圆的方程多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程(标准方程或一般方程);依据条件列出关于待定系数的方程组;解方程组求出系数，写出方程. (2)如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程;假如给出圆上已知点，可选用一般方程. 下面再看一个问题： 例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹. 解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2.设 是轨迹上任意一点. 即 化简得 点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧. 【练习稳固】 (1)方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆.求 、 、 的值.(结果为4，-6，-3) (2)求经过三点 、 、 的圆的方程. 分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为 . (3)课本第79页练习1，2. 【小结】师生共同总结： (1)圆的一般方程及其特点. (2)用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径. (3)用待定系数法求圆的方程. 【作业】课本第82页5，6，7，8. 湘教版高中公开课数学教案5 排列 教学目标 (1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简洁问题的全部排列; (2)了解排列和排列数的意义，能依据详细的问题，写出符合要求的排列; (3)会分析与数字有关的排列问题，培育学生的抽象力量和规律思维力量; 教学重点难点 重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。 难点是解有关排列的应用题。 教学过程设计 一、 复习引入 上节课我们学习了两个根本原理，请大家完成以下两题的练习(用投影仪出示)： 1.书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书. (1)从中任取1本，有多少种取法? (2)从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法? 2.某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，规划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进展引种试验，问共需安排多少个试验小区? 找一同学谈解答并说明怎样思索的的过程 第1(1)小题从书架上任取1本书，有两类方法，第一类方法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法;其次类方法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法.依据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90.第(2)小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本(共取出2本)，可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，其次步取一本自然科学书，依据乘法原理，得到不同的取法种数是： 5040=2022. 第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上试验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区所以共需35=15个试验小区. 二、 讲授新课 学习了两个根本原理之后，现在我们连续学习排列问题，这是我们本节争论的重点.先从实例入手： 1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要预备多少种不同飞机票? 由学生设计好方案并答复. (1)用加法原理设计方案. 首先确定起点站，假如北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票;若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票. (2)用乘法原理设计方案. 首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法.即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，中选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选.那么，依据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的挨次排列不同方法共有32=6种. 依据以上分析由学生(板演)写出全部种飞机票 再看一个实例. 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按肯定挨次同时升起表示肯定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号? 找学生谈自己对这个问题的想法. 事实上，红、黄、绿三面旗子按肯定挨次的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的全部不同挨次的排法总数. 首先，先确定位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法; 其次，确定中间位置的旗子，当位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法.剩下那面旗子，放在最低位置. 依据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出全部信号种数是：321=6(种). 依据学生的分析，由另外的同学(板演)写出三面旗子同时升起表示信号的全部状况.(包括每个位置状况) 第三个实例，让全体学生都参与设计，把全部状况(包括每个位置状况)写出来. 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些全部的三位数. 依据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有432=24(个). 请板演的学生谈谈怎样想的? 第一步，先确定百位上的数字.在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法. 其次步，确定十位上的数字.当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法. 第三步，确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法. 依据乘法原理，所以共有432=24种. 下面由教师提问，学生答复以下问题 (1)以上我们争论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方? 都是从一些讨论的对象之中取出某些讨论的对象. (2)取出的这些讨论对象又做些什么? 实质上按着挨次排成一排，交换不同的位置就是不同的状况. (3)请大家看书，第页、第行. 我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素. 上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按肯定挨次排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出全部排法. 其次个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按肯定挨次排成一列，求一共有多少排法和写出全部排法. 第三个问题呢? 从4个不同的元素中，任取3个，然后按肯定的挨次排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出全部的排法. 给出排列定义 请看课本，第页，第行.一般地说，从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素(本章只讨论被取出的元素各不一样的状况)，按着肯定的挨次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 下面由教师提问，学生答复以下问题 (1)按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是一样的排列?什么是不同的排列? 从排列的定义知道，假如两个排列一样，不仅这两个排列的元素必需完全一样，而且排列的挨次(即元素所在的位置)也必需一样.两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列. 如第一个问题中，北京广州，上海广州是两个排列，第三个问题中，213与423也是两个排列. 再如第一个问题中，北京广州，广州北京;其次个问题中，红黄绿与红绿黄;第三个问题中231和213虽然元素完全一样，但排列挨次不同，也是两个排列. (2)还需要搞清晰一个问题，“一个排列”是不是一个数? 生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件详细的事.如飞机票“北京广州”是一个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列.假如问飞机票有多少种?能表示出多少种信号.只问种数，不用把全部状况排列出来，才是一个数.前面提到的第三个问题，实质上也是这样的. 三、 课堂练习 大家思索，下面的排列问题怎样解? 有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4.有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4.把卡片放到空箱内，每箱必需并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必需不全都，问有多少种放法?(用投影仪示出) 分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题. 解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱. 其次步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱. 第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱. 第四步把最终符合条件的一张放在第四空箱.详细排法，用下面图表表示： 所以，共有9种放法. 四、作业 课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7.