线性变换的标准形思考题样本.doc

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线性变换的标准形思考题

1．下列结论是否正确
1) 若阶矩阵的特征多项式有重根, 则不能与对角矩阵相似。
错 例如, 的特征多项式有重根, 与对角矩阵相似。
2) 若两个同级矩阵的特征值都相同, 而且与对角阵相似, 则也必与相似。
错 例如的特征值都相同, 而且与对角阵相似, 可是与不相似。
3) 一个级矩阵是可逆矩阵的充要条件是行列式
错 例如

假定是可逆矩阵,

则 矛盾。因此不是可逆矩阵, 是可逆矩阵,

4) 设, 则的初等因子是
错 因为因此不是的初等因子。

因此是的最小多项式, 是的初等因子。
5) 设2阶方阵的特征多项式为则的最小多项式是
对 因为的特征多项式为但
因此是的最小多项式。
6) 设是复矩阵, 为的最后一个不变因子, 则与具有相同的根集( 即仅重数不同) 。
对 因为因此的根集包含在的根集中。
设是的根, 则
存在使
由于
因此是的根, 的根集包含在的根集中。
与具有相同的根集。
2．求的最小多项式, 并说明是否相似于对角阵?
解 因为

因此的最小多项式
因为的最小多项式无重根, 相似于对角阵。
3．设, , 则相似于主对角线上元素为3或 -1的对角矩阵。
证 因为, 是的零化多项式。
的最小多项式只可能是中的某一个, 因而的特征值为3或 –1.
由于的最小多项式没有重根, 则相似于对角矩阵, 该对角矩阵主对角线上元素为特征值, 因此相似于主对角线上元素为3或 -1的对角矩阵。
4． 设, 的阶行列式因子是次多项式, 则是一个数量矩阵。
证 因为是级方阵, 的阶行列式因子是次多项式, 则的最后一个不变因子是1次多项式。
设则是数量矩阵。
5．证明: 任一个复方阵均可分解为: 其中为幂零矩阵, 相似于对角矩阵, 而且
证 设是级方阵, 相似于若当标准形其中

则

令

设是若当块矩阵的最大阶数, 则为幂零矩阵, 相似于对角矩阵。

6．证明n阶方阵相似于对角矩阵对应的线性变换A关于所有不同特征值的特征子空间的维数之和为
证 设A在基下的矩阵为, 的特征多项式是,
其中是的互不相同的特征值。
如果相似于对角矩阵

令则

若则
设则是的基,

是对角矩阵, 相似于对角矩阵。
7．设, 是的特征值, , 则
是的特征值。
证 是复矩阵, 相似于若当标准形
设则

其中若当块

其中是主对角线元素为零的上三角矩阵。

因此 是的特征值。

8．设为n阶方阵, 证明的特征根全是零的充分必要条件是存在自然数m, 使
9．已知三级矩阵的特征值是1, -1, 2, 设矩阵,
1） 求的所有特征值;
2） 是否与对角阵相似, 为什么?
3） 求及
10．已知级方阵满足试问能否对角化? 为什么?
11．设, 且存在正整数使证明: 与对角矩阵相似, 且对角线上的元素全为次单位根。
12．设是3级实对称矩阵, 的特征值是1,2,3, 对应于1,2的特征向量分别是
1) 求对应于特征值3的特征向量;
2) 求矩阵.
13．设, 的秩为2, 有一个非零的特征值, 的特征值之和为0, 则相似于对角阵。
14．设,
1) 求的特征值和特征向量;
2) 判定能否相似于对角矩阵, 并阐述理由。