线性矩阵不等式市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

MATLABLMI工具箱介绍工具箱介绍第1页主要内容可行性问题可行性问题(LMIP)特征值问题特征值问题(EVP)广义特征值问题广义特征值问题(GEVP)第2页可行性问题例例1 考虑系统考虑系统设计状态反馈控制律设计状态反馈控制律使得闭环系统使得闭环系统渐进稳定。渐进稳定。其中其中第3页左乘右乘左乘右乘，并记，并记，得，得若要闭环系统渐进稳定，需满足以下矩阵不等式：若要闭环系统渐进稳定，需满足以下矩阵不等式：LMI第4页编程实现clcclear allA=-1-2 1;3 2 1;1-2-1;B=1;0;1;setlmis()X=lmivar(1,3 1)W=lmivar(2,1 3)lmiterm(1 1 1 X,A,1,s)lmiterm(1 1 1 W,B,1,s)lmiterm(-2 1 1 X,1,1)lmisys=getlmistmin,xfeas=feasp(lmisys)XX=dec2mat(lmisys,xfeas,X)WW=dec2mat(lmisys,xfeas,W)K=WW*inv(XX)第5页clcclear allA=-1-2 1;3 2 1;1-2-1;B=1;0;1;去除命令窗口去除命令窗口去除工作空间去除工作空间定义矩阵定义矩阵A定义矩阵定义矩阵B编程实现第6页编程实现setlmis()X=lmivar(1,3 1)W=lmivar(2,1 3)进入线性矩阵不等式编程环境进入线性矩阵不等式编程环境定义线性矩阵不等式系定义线性矩阵不等式系统矩阵变量统矩阵变量X，W与与getlmis相配对相配对矩阵类型矩阵类型矩阵维数结构矩阵维数结构第7页lmiterm(1 1 1 X,A,1,s)lmiterm(1 1 1 W,B,1,s)lmiterm(-2 1 1 X,1,1)AX+XABW+WB编程实现X0属于哪个矩属于哪个矩阵不等式阵不等式,为正在左为正在左,为负在右为负在右所描述所描述项所项所在块在块位置位置若是常数若是常数则为则为0,若若是变量则是变量则指出说明指出说明第8页lmisys=getlmistmin,xfeas=feasp(lmisys)XX=dec2mat(lmisys,xfeas,X)WW=dec2mat(lmisys,xfeas,W)K=WW*inv(XX)LMI编程结束编程结束,并取名为并取名为lmisystmin0表示表示LMI存在可行解存在可行解xfeas得到变量得到变量X和和W可行解可行解可行性问题可行性问题A(x)0,假如对全部满足假如对全部满足FTF I实矩阵实矩阵F，若存在对称正若存在对称正定实矩阵定实矩阵V0,实矩阵实矩阵W以及标量以及标量0,使得以下线性使得以下线性矩阵不等式成立矩阵不等式成立则则u(t)=WV-1x(t)为闭环系统为闭环系统H鲁棒控制律，即鲁棒控制律，即|Gyw|,且闭环系统渐进稳定。且闭环系统渐进稳定。第11页clc;clear allA=-1-2 1;3 2 1;1-2-1;B=1;0;1;C=1 0 0;D=1;1;1;M=0.2*eye(3);E1=1 0 0;0 2 0;0 0 1;E2=1;0;1;gama=3;setlmis()V=lmivar(1,3 1)W=lmivar(2,1 3)eps=lmivar(1,1 1)lmiterm(1 1 1 V,A,1,s)lmiterm(1 1 1 W,B,1,s)lmiterm(1 1 1 eps,gama(-2)*D*D,1)lmiterm(1 1 1 0,M*M)lmiterm(1 2 1 V,C,1)lmiterm(1 2 2 eps,-1,1)lmiterm(1 3 1 V,E1,1)lmiterm(1 3 1 W,E2,1)lmiterm(1 3 3 0,-1)lmiterm(-2 1 1 V,1,1)lmiterm(-3 1 1 eps,1,1)lmisys=getlmistmin,xfeas=feasp(lmisys)VV=dec2mat(lmisys,xfeas,V)WW=dec2mat(lmisys,xfeas,W)K=WW*inv(VV)第12页tmin=0.004612第13页特征值问题（EVP）例例3 考虑优化问题考虑优化问题其中其中X是对称正定阵。是对称正定阵。依据依据Schur补，本例中优化问题等价于补，本例中优化问题等价于第14页clc;clear allA=-1-2 1;3 2 1;1-2-1;B=1;0;1;Q=1-1 0;-1-3-12;0-12-36;setlmis()X=lmivar(1,3 1)lmiterm(1 1 1 X,1,A,s)lmiterm(1 1 1 0,Q)lmiterm(1 2 1 X,B,1)lmiterm(1 2 2 0,-1)lmis=getlmisc=mat2dec(lmis,eye(3)options=1e-5,0,0,0,0copt,xopt=mincx(lmis,c,options)Xopt=dec2mat(lmis,xopt,X)第15页第16页特征值问题由来特征值问题特征值问题(EVP)：求矩阵：求矩阵G(x)特征值最小化问题特征值最小化问题第17页特征值问题（优化问题）例例4(式式5.4.31)考虑优化问题考虑优化问题其中对称正定阵其中对称正定阵X和和N,矩阵矩阵V，标量，标量,是变量是变量第18页第19页clcclearA=-0.25 0 0;-0.5 0.5 2;-0.75-1-1.5;B1=0 0 1;B2=0 0-1;C0=1 1 1;C1=-1 1 0;D0=1;D1=0.5;H=0.25-0.50 0.75;E1=0 0.50 1.00;E2=0;gama=10;setlmis()alpha=lmivar(1,1 1)beta=lmivar(1,1 1)X=lmivar(1,3 1)V=lmivar(2,1 3)N=lmivar(1,1 1)lmiterm(1 1 1 X,-1,1)lmiterm(1 3 1 X,A,1)lmiterm(1 3 1 V,B1,1)lmiterm(1 3 2 alpha,1,B2)lmiterm(1 4 1 X,E1,1)lmiterm(1 4 1 V,E2,1)lmiterm(1 5 1 X,C1,1)lmiterm(1 5 1 V,D1,1)lmiterm(1 6 1 X,C0,1)第20页lmiterm(1 6 1 V,D0,1)lmiterm(1 2 2 alpha,-1,gama*gama*1)lmiterm(1 3 3 X,-1,1)lmiterm(1 3 3 beta,1,H*H)lmiterm(1 4 4 beta,-1,1)lmiterm(1 5 5 alpha,-1,1)lmiterm(1 6 6 0,-1)lmiterm(2 1 1 N,-1,1)lmiterm(2 2 1 0,B2)lmiterm(2 2 2 X,-1,1)lmisys=getlmistmin,xfeas=feasp(lmisys)第21页c=mat2dec(lmisys,0,0,0,0,eye(1)options=1e-5,0,0,0,0copt,xopt=mincx(lmisys,c,options)XOPT=dec2mat(lmisys,xopt,X)VOPT=dec2mat(lmisys,xopt,V)alphaopt=dec2mat(lmisys,xopt,alpha)betaopt=dec2mat(lmisys,xopt,beta)NOPT=dec2mat(lmisys,xopt,N)K=VOPT*inv(XOPT)J=trace(B2*inv(XOPT)*B2)第22页第23页特征值问题（优化问题）例例5(例例9.3.4)考虑优化问题考虑优化问题其中对称正定阵其中对称正定阵X、M和和N,矩阵矩阵W，标量，标量,是变量是变量第24页c=mat2dec(lmisys,(1+h1)*eye(1),d1*eye(1),0,0,0,0,0)options=1e-5,0,0,0,0copt,xopt=mincx(lmisys,c,options)第25页为mincx确定目标函数cTx考虑优化问题考虑优化问题其中其中X、P是对称矩阵变量是对称矩阵变量.x0=1 1;setlmis()X=lmivar(1,3 1)P=lmivar(1,2 1).lmisys=getlmisn=decnbr(lmisys)c=zeros(n,1)for j=1:n Xj,Pj=defcx(lmisys,j,X,P)c(j)=trace(Xj)+x0*Pj*x0endcopt,xopt=mincx(lmisys,c,options)第26页n=decnbr(lmisys)c=zeros(n,1)for j=1:n,alphaj,betaj=defcx(lmisys,j,alpha,beta)c(j)=(1+h1)*alphaj+d1*betajendoptions=1e-5,0,0,0,0copt,xopt=mincx(lmisys,c,options)第27页广义特征值问题（GEVP)广义特征值问题广义特征值问题(GEVP):求矩阵求矩阵A,B广义特征值最小化问题广义特征值最小化问题第28页广义特征值问题例例6 考虑优化问题考虑优化问题其中对称正定阵其中对称正定阵P是变量是变量第29页setlmis()P=lmivar(1,2 1);lmiterm(1 1 1 0,1)lmiterm(-1 1 1 P,1,1)lmiterm(2 1 1 P,1,A1,s)lmiterm(-2 1 1 P,1,1)lmiterm(3 1 1 P,1,A2,s)lmiterm(-3 1 1 P,1,1)lmiterm(4 1 1 P,1,A3,s)lmiterm(-4 1 1 P,1,1)lmis=getlmistmin,xfeas=feasp(lmis)alpha,popt=gevp(lmis,3)pp=dec2mat(lmis,popt,P)第30页 针对广义特征值最小化问题，在调用求解器针对广义特征值最小化问题，在调用求解器gevp时，须遵照以下规则：时，须遵照以下规则：确定包含确定包含线性矩阵不等式：线性矩阵不等式：A(x)B(x)（注（注意没有意没有）总是把总是把A(x)B(x)放在线性矩阵不等式系统最放在线性矩阵不等式系统最终终要求有约束要求有约束0B(x)，或者确保，或者确保0B(x)成立任成立任何其它约束何其它约束第31页例例7(例例9.1.2)若存在对称正定阵若存在对称正定阵P,对称矩阵对称矩阵Q,X,Z和矩阵和矩阵Y,使得使得求上述不等式优化问题，得到保持稳定最大允许滞后时间求上述不等式优化问题，得到保持稳定最大允许滞后时间第32页LMISYS=getlmis;tmin xfeas=feasp(LMISYS);alpha,popt=gevp(LMISYS,1)dmax=1/alpha第33页