不等式的证明市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

专题一 单调性及不等式证实一、不等式证实1、单调性证不等式、单调性证不等式利用单调性证实不等式步骤：利用单调性证实不等式步骤：将要证不等式作将要证不等式作 恒等变形（通常是移项）使恒等变形（通常是移项）使一端为一端为0另一端即为所作辅助函数另一端即为所作辅助函数f(x)求求验证验证f(x)在指定区间上单调性在指定区间上单调性与区间与区间端点处函数值或极限值端点处函数值或极限值作比较即得证作比较即得证1第1页解：解：2第2页例例23第3页例例24第4页设 证实对任意有有证法一：证法一：例例3.不妨设2、利用、利用lagrange中值定理证实不等式中值定理证实不等式 利用lagrange中值定理5第5页设 证实对任意有有证法二：证法二：设利用单调性证实例例3.单增6第6页例例4.证证Lagrange定理定理7第7页练习练习.证证Lagrange定理定理8第8页3、利用极值、最值证实不等式、利用极值、最值证实不等式 例例5.证实当证实当 0 x 2时时,4xlnx x2 2x+4 0.证证:令令 f(x)=4xlnx x2 2x+4,则则 f (x)=4lnx 2x+2,令令 f (x)=0,得驻点得驻点 x=1,这是唯一驻点这是唯一驻点.而而 故故 x=1是是 f(x)极小值点极小值点.又当又当0 x 2时时,f (x)0,故曲线故曲线 y=f(x)在在(0,2)内是凹内是凹,故故 x=1既是极小值点既是极小值点,又是最小值点又是最小值点,从而从而在在 0 x 2中中,有有 f(x)f(1)=1 0，从而从而 4xlnx x2 2x+4 0.9第9页例例6 设且证法一证法一:证实4、其它方法、其它方法 10第10页例例6 设且证法二证法二:证实11第11页例例7.7.证证12第12页 ,则有则有13第13页设设为为正常数，使得正常数，使得 对对一切正数一切正数成立，求常数成立，求常数最小最小值值.要求要求最小最小值值，只要求，只要求 最大最大值值.因因为为为为其极大其极大值值，故故最小最小值为值为 二、最值二、最值例例8.解：解：即为最大值即为最大值.14第14页证证1.1.证实函数证实函数为单调增加函数为单调增加函数.练习练习15第15页为单调增加函数为单调增加函数.故故16第16页2.证证或或17第17页一 3.18第18页证法二 lagrange中值定理证.当x=1时，原式显然成立，当 时，由lagrange中值定理得所以，原式成立.19第19页4.试比较试比较 e 与与 e 大小大小.解解 因为因为 e=eeln ,问题转化为比较同底数得幂指问题转化为比较同底数得幂指数数 e 与与 eeln 大小大小,只要比较只要比较 与与 eln 即可即可,令令 f(x)=x elnx,当当 x e 时时,f (x)0,f(x)单调增加单调增加,而而 f(e)=0,从从而而 f(x)f(e)=0,又又 e,故故 f()0,有有 eln 0,即有即有 e eeln 从而从而 e e.20第20页5.5.证实证证:利用“形似”结构辅助函数则又故21第21页6.设求证对有成立证实：证实：设令为极小值也是最小值时有即成立22第22页7.设 f(x)=xex,求它在定义域上最大值和最小值.解解:f(x)在(,+)上连续可导,且 f (x)=(x+1)ex令 f (x)=0,得 x=1x 1时,f (x)1时,f (x)0,f(x)单增.故 f(x)在1处到达极小值,因为极小值点唯一,而 故 f(x)无最大值.23第23页试求解解:故所求最大值为函数极值与最大值最大值8.24第24页9.9.解解 如图如图,函数极值与最大值最大值函数极值与最大值最大值25第25页解得解得唯一驻点唯一驻点令令因这么面积有最大值因这么面积有最大值,为所求为所求.为全部三角形中面积最大值为全部三角形中面积最大值.函数极值与最大值最大值函数极值与最大值最大值26第26页10.27第27页