三次B样条曲线省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数字图像处理曲线和曲面曲线和曲面2.B 样条曲线n2.1:B样条曲线定义n2.2:B样条曲线基函数性质n2.3:B样条曲线性质n2.4:二次B样条曲线n2.5:三次B样条曲线n2.6:二、三次B样条曲线应用n2.7:非均匀B样条曲线1.样条函数概念n1.1:普通样条函数定义n1.2:三次样条函数n1.3:二次样条函数第1页数字图像处理1.1.样条函数概念样条函数概念n 样条函数概念是美国数学家I.J.Schoenberg在n1946年首先提出，他定义了一个B样条函数。尽管有n时间未受到重视，但从60年代开始，伴随电子n计算机技术飞速发展和数据拟合以及函数迫近在生产n试验中广泛应用，样条函数理论和应用已快速发展n成了一门成熟学科。因为样条(Spline)函数发展开始，n就含有广泛而又深刻实用背景，所以，样条函数及其n参数表示形式曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计n基础。第2页数字图像处理1.1 普通样条函数定义普通样条函数定义 给定一组平面上顶点(xi,yi)(i=0，1，n)，并设在区间a,b上：a=x0 x1xn-1xn=b,那么在a,b上一个函数 S(x)称为K阶连续样条函数，假如它满足下面两个条件：(1)在每个小区间xi-1,xi(i=1，2，n)内，S(x)是含有K阶或K阶以上连续函数。(2)在xi(i=1，2，n-1)处成立 即S(x)在拼接点处xi(i1，2，n-1)也含有K阶连续，这也就是S(x)在整个区间a,b上含有K阶连续。若S(x)满足 ，则称S(x)为插值样条函数。第3页数字图像处理1.2 三次样条函数三次样条函数 假设在区间a，b上给定一个分割 ：a=x0 x1xn-1xn=b,在a,b上一个函数S(x)称为插值三次样条函数，假如满足以下条件:(1)在每一小区间xi-1,xi(i=1，2，n)内S(x)分别 是三次多项式函数；(2)在节点xi(i1，2，n-1)处成立:即小区间上三次多项式函数，在拼接点处xi 含有二阶连续拼接。(3)满足插值条件yi=S(xi),i=0，1，n.第4页数字图像处理1.3 二次样条函数二次样条函数设定区间a,b上一个分割：a=x0 x1xn-1xn=b,在a,b上一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如果满足以下条件：(1)在每个小区间 内，S(x)是二次多项式函数，这里，称为半节点；(2)在半节点 (i=1，2，n)处成立(3)满足插值条件 第5页数字图像处理2.B 样条曲线样条曲线 以Bernstein基函数结构Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多边形一个顶点发生了改变，整条Bezier曲线形状便发生改变；其二是Bezier曲线或曲面拼接比较复杂。所以，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点同时，克服了Bezier方法弱点。第6页2.1 B 样条曲线定义样条曲线定义给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi(i=0，1，m+n)，称n次参数曲线段：为第k段n次B样条曲线段(k=0，1，m)，这些曲线段全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，n+m)所组成多边形称为B样条曲线特征多边形。其中，基函数 定义为：第7页数字图像处理B 样条曲线示例样条曲线示例二次二次B 样条曲线示例样条曲线示例第8页数字图像处理B 样条曲线示例样条曲线示例二次二次B 样条曲线示例样条曲线示例第9页数字图像处理B 样条曲线示例样条曲线示例三次三次B 样条曲线示例样条曲线示例第10页数字图像处理B 样条曲线示例样条曲线示例三次三次B 样条曲线示例样条曲线示例第11页数字图像处理B 样条曲线示例样条曲线示例四次四次B 样条曲线示例样条曲线示例第12页数字图像处理B 样条曲线示例样条曲线示例五次五次B 样条曲线示例样条曲线示例第13页数字图像处理2.2 B 样条曲线基函数性质样条曲线基函数性质 B样条函数基函数为：含有以下性质：1）有界正性：当 时，2）权性：即 3）对称性：当 时，4）递推性：第14页数字图像处理B 样条曲线基函数样条曲线基函数一次一次B 样条曲线基函数样条曲线基函数二次二次B 样条曲线基函数样条曲线基函数第15页数字图像处理B 样条曲线基函数样条曲线基函数三次三次B 样条曲线基函数样条曲线基函数四次四次B 样条曲线基函数样条曲线基函数第16页数字图像处理2.3 B 样条曲线性质样条曲线性质1.局部性局部性 依据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，n)相关，所以，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻n+1段产生影响，不会对 整条曲线(当 m n)产生影响。这就为设计曲线时修改某一局部形状带来了很大方便。n如左图所表示，六个控制顶点控制三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制。第17页数字图像处理B 样条曲线性质样条曲线性质2.几何不变性 因为定义式所表示B样条曲线是参数形式，所以，和Bezier曲线一样，B样条曲线形状和位置与坐标系选择无关。3.连续性 当给定m+n+1个控制顶点Pi(i=0，1，m+n)互不相重，则所控制整条B样条曲线含有n-1阶几何连续(G n-1)。当给定控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线含有n-h-1阶几何连续(G n-h-1)。第18页数字图像处理B 样条曲线性质样条曲线性质4.对称性 依据B样条曲线基函数对称性可推导它表明了B样条曲线段起点和终点几何性质完全相同。第19页数字图像处理B 样条曲线性质样条曲线性质5.递推性 n次B样条曲线段递推曲线表示形式：第20页数字图像处理B 样条曲线性质样条曲线性质6.保凸性 B样条曲线和Bezier曲线一样，也含有保凸性。即当全部控制顶点形成一个平面凸闭多边形时，Pk,n(t)是一条平面凸曲线。第21页数字图像处理B 样条曲线性质样条曲线性质7.凸包性当t0，1时，有0Gi,n(t)1(i=0，1，n)和 ，所以，依据凸包定义可知，对任何t0，1，Pk,n(t)必定在控制顶点组成凸包之中。n如左图所表示，六个控制顶点控制三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制且包含在四个顶点组成凸包之中。第22页数字图像处理B 样条曲线性质样条曲线性质8.变差缩减性第23页数字图像处理2.4 二次二次B样条曲线样条曲线 取n=2，则有二次B样条曲线基函数以下：二次B样条曲线段 是一段抛物线。第24页数字图像处理二次二次B 样条曲线样条曲线二次B样条曲线矩阵表示为：它含有以下性质：1.端点位置：2.端点切矢：第25页数字图像处理二次二次B 样条曲线样条曲线n如左图所表示，六个控制顶点控制二次B样条曲线由四段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由相邻三个顶点控制。曲线段起点和终点同控制顶点连接边相切于连接边终点位置。第26页数字图像处理二次二次B 样条曲线样条曲线3.当P0，P1，P2三顶点共线时，P0,2(t)(t0，1)即蜕化为一段直线。4.当给定一组顶点P0，P1，Pm(m2)，若存在 Pi=Pi+1(0im-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi，且在此处是尖点。三点共线情况三点共线情况 尖点情况尖点情况第27页数字图像处理2.5 三次三次B样条曲线样条曲线取n=3，则有三次B样条曲线基函数以下：三次B样条曲线段 为：第28页数字图像处理三次三次B样条曲线样条曲线性质1：端点位置n性质2：端点切矢及二阶导数第29页数字图像处理三次三次B样条曲线样条曲线P0P3P2P1三次B样条曲线顶点位置和顶点切矢第30页数字图像处理2.6 二、三次二、三次B样条曲线应用样条曲线应用 在曲线拟合设计中，B样条曲线主要可用于试验数据平滑和要求局部交互式修改自由曲线设计。当然，二、三次B样条曲线及其变型，几乎能够应用到全部要求具有一次或二次几何连续曲线造型场所。(1)要求过插值端点；(2)封闭二、三次B样条曲线；(3)插值二、三次B样条曲线；第31页数字图像处理2.7 非均匀非均匀 B 样条曲线样条曲线 前面介绍B样条曲线实际上称为均匀(或等距节点)B样条曲线。B样条曲线是由B样条函数演化而来。关于B样条函数理论十分丰富，现在简单给出B样条基函数递推公式：n给定参数 t 轴上一个分割，由以下递推关系所定义 称为T k阶(或k-1次)B样条基函数：第32页数字图像处理非均匀非均匀 B 样条曲线样条曲线设 为给定空间n个点,称以下参数曲线 为k阶(k-1次)B样条曲线。称折线 为P(t)控制多边形。非均匀B样条曲线一样含有局部性，几何不变性，连续性，对称性，递推性，凸包性和变差缩减性等性质。第33页