1、第三节 B-样条曲线/10/101本节内容：B-样条曲线定义 B-样条曲线性质 B-样条曲线离散生成 有理B-样条曲线第1页分段参数多项式曲线分析Hermit曲线分段插值曲线全局控制曲线多项式次数与顶点数相关Bezier曲线全局控制曲线多项式次数与顶点数相关拼接要求不易满足不足：全局控制/10/102第2页B-样条曲线概念/10/103B-样条曲线B-样条基函数控制多边形控制顶点第3页控制顶点作用局部化次(1阶)曲线/10/1040次基函数：t次？次？titi+1第4页续1次曲线（2阶）/10/1052次基函数：Ni,2(t)t2次？3次？，k+1次基函数？第5页B-样条基函数定义de Boo
2、r-Cox定义：(约定：0/0=0)/10/106第6页关于递推定义系数/10/107ttiti+1ti+k-1ti+kttiti+1ti+k-1tti+1ti+k-1ti+k第7页基函数影响范围/10/108t0,t1t1,t2t2,t3t3,t4t4,t5Ni,k(t)支撑区间为：ti,ti+k第8页支撑区间/10/109第9页曲线段及控制点/10/1010t0,t1t1,t2t2,t3t3,t4t4,t5t4,t5第10页B-样条曲线定义/10/1011B-样条曲线示例共n-k+2段第11页1阶B-样条基函数/10/1012nK=1时基函数第12页K=1时定义曲线示例/10/1013第1
3、3页2阶B-样条基函数K=2时基函数/10/1014第14页/10/1015K=时定义曲线示例第15页3阶B-样条基函数K=3时基函数/10/1016第16页续前页：/10/1017第17页续前页：/10/1018第18页续前页：/10/1019第19页/10/1020第20页3阶B-样条基函数图形/10/1021第21页3阶B样条曲线示例/10/1022T=t0,t1,tn+1,tn+2,tn+3第22页知其然，知其所以然阶数与次数顶点数节点矢量与定义区间段数控制点及其影响域/10/1023第23页上节关键点回顾Bezier曲线Bernstain基函数Bezier曲线定义及性质有理Bezie
4、r曲线B-样条曲线B-样条基函数（节点矢量）B-样条曲线定义阶数/次数顶点数定义区间段数/10/1024第24页B-样条基函数性质局部性权性连续性/10/1025第25页B-样条基函数局部性/10/1026在每一个区间上至多只有k个基函数非零，它们是：第26页B-样条基函数权性/10/1027上式右端依据递推公式展开并化简得到：第27页B-样条基函数连续性/10/1028第28页问题：3阶B样条曲线生成已知6个控制顶点，请定义出节点矢量均匀2次B样条曲线，并回答以下问题。1.定义区间是什么?2.曲线分为几段？3.给出第二段曲线表示式/10/1029第29页B-样条曲线分类依据节点矢量不一样形式
5、分类均匀B样条曲线准均匀B样条曲线分段Bezier曲线非均匀B样条曲线/10/1030第30页均匀B-样条曲线均匀节点矢量：全部节点区间长度为大于0常数均匀B-样条基：在均匀节点矢量上定义B-样条基均匀B-样条曲线：在均匀B-样条基上定义曲线/10/1031第31页例：三次均匀B样条曲线（1）/10/1032第32页三次均匀B样条曲线（2）/10/1033第33页/10/1034三次均匀B样条曲线（3）基函数平移性第34页三次均匀B样条曲线（4）第35页/10/1036P(3)P(4)P(5)第36页练习：推导出 区间上3次均匀B样条曲线矩阵表示式。/10/1037第37页准均匀B-样条曲线（
6、1）节点矢量：在首末端点处有k次重复度，中间节点区间长度为大于0常数，即：/10/1038第38页准均匀B样条曲线（2）端点位置矢量计算/10/1039特点：曲线首末点与控制顶点重合第39页次均匀B样条示例/10/1040第40页次准均匀B样条示例/10/1041第41页B样条曲线到分段Bezier曲线转换节点矢量：两端节点含有重复度k，全部内节点重复度为k-1/10/1042注：n基函数：以上节点矢量定义分段Bernstein基函数第42页分段Bezier曲线各曲线段相对独立性：移动曲线段内一个控制顶点只影响该曲线段形状，对其它曲线段形状没有影响Bezier曲线算法都能够原封不动地采取其它类
7、型B样条曲线可经过插入节点方法转换成份段Bezier曲线类型缺点：增加了定义曲线数据，至多增加k-1倍/10/1043第43页非均匀B-样条曲线节点矢量：节点序列非递减，两端节点重复度k，内节点重复度k-1非均匀B样条基：上述节点矢量上基函数/10/1044B-样条曲线示例第44页/10/1045第45页B-样条曲线性质局部性凸包性分段参数多项式连续性几何及仿射不变性/10/1046第46页B-样条曲线性质（1）局部性/10/1047第47页/10/1048第48页B-样条曲线性质（2）凸包性/10/1049第49页/10/1050第50页B-样条曲线性质（）平面B-样条曲线保型性保凸性变差缩
8、减性/10/1051第51页B-样条曲线性质（）分段参数多项式 在每一区间 上都是次数不高于k-1参数t多项式 在定义区间上是参数tk-1次分段多项式/10/1052第52页/10/1053第53页B-样条曲线性质（）/10/1054n连续性n导数曲线第54页关于B-样条曲线连续性说明/10/1055三点共线：1阶几何连续五点共面：2阶几何连续当最大节点重数为1时：K=1曲线退化为控制点K=2曲线为控制多边形K=3曲线为一阶连续第55页B-样条曲线造型灵活性用B样条曲线能够结构直线段尖点切线等特殊情况/10/1056第56页B-样条曲线造型灵活性（1）直线段结构 对于四阶（三次）B样条曲线 若
9、要在其中得到一条直线段，只要 四点位于一条直线上，则 对应曲线即为一条直线，且和控制点所在直线重合/10/1057第57页B-样条曲线造型灵活性（2）尖点结构：三重顶点可使曲线过该控制点（尖点），重节点也可得到类似效果/10/1058第58页B-样条曲线造型灵活性（3）指定切线条件满足：三点共线且 重数小于2/10/1059第59页？绘制算法？/10/1060第60页B-样条曲线离散生成自学:deBoor-Cox算法（）三次B样条Bezier表示 可参考清华大学出版社教材/10/1061第61页非均匀有理B-样条曲线 可准确表示抛物线以外其它二次曲线定义有理B-样条基及NURBS曲线齐次坐标表
10、示权因子作用NURBS曲线修改/10/1062第62页/10/1063非均匀有理B样条曲线第63页NURBS方法主要优点既为标准解析形状又为自由型曲线曲面准确表示与设计提供了一个公共数学形式修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分灵活性含有显著几何解释和强有力几何配套技术(包含节点插入、细分、升阶等)对几何变换和投影变换含有不变性非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例/10/1064第64页NURBS中难以处理问题需要更多存放空间，如空间圆需7个参数(圆心、半径、法矢)，而NURBS定义空间圆需38个参数权因子选择不妥会引发畸变对搭接、重合形状处理很麻烦反求曲线曲面上点参数值
11、算法，存在数值不稳定问题/10/1065第65页有理B-样条基引入k阶有理基函数/10/1066n则有理B-样条曲线表示为：第66页有理B-样条基性质与B-样条基函数性质类似局部支撑性权性可微性等/10/1067第67页有理B-样条曲线性质与B-样条曲线有类似性质局部性质变差减小性质凸包性仿射不变性可微性假如某个权因子为零，那么对应控制顶点对曲线没有影响；若权因子无穷大时，则曲线无限靠近对应点Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线特殊情况/10/1068第68页有理B-样条曲线齐次坐标表示给定控制顶点 及对应权因子确定带权控制点定义四维B-样条曲线/10/1069第69页有理B-样条曲线齐次坐标表示 在超平面 上中心投影即为三维空间下有理B-样条曲线/10/1070右图：平面NURBS曲线齐次坐标表示第70页权因子几何意义如固定参数t，而使权因子改变，则NURBS曲线方程变成以权因子为参数直线方程/10/1071第71页例：不一样权因子定义圆锥曲线/10/1072形状因子第72页/10/1073第73页小结B-样条曲线定义 B-样条曲线分类B-样条曲线性质 B-样条曲线生成 有理B-样条曲线/10/1074第74页
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