勾股定理和逆定理证明市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

勾股定理与它逆勾股定理与它逆定理证实定理证实 开发区中学 王京春 、4第1页驶向胜利彼岸勾股定理假如直角三角形两直角边分别为假如直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边平方和即直角三角形两直角边平方和等于斜边平方等于斜边平方.勾股定理在西方文件中又称为毕勾股定理在西方文件中又称为毕达哥拉斯定理（达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.开启 智慧acb勾勾弦弦股股第2页驶向胜利彼岸勾股定理证实勾股定理证实 我能行我能行1 1l方法一方法一:拼图计算拼图计算l方法二方法二：割补法割补法l方法三方法三：赵爽弦图赵爽弦图l方法四方法四：总统证法总统证法l方法五方法五：青朱出入图青朱出入图l方法六方法六：折纸法折纸法l方法七方法七：拼图计算拼图计算这些证法你还能记得多少这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法你最喜欢哪种证法?第3页总统证法总统证法 回顾反思回顾反思1 1这个证实方法出自一位总统这个证实方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任美国第二十任总统就任美国第二十任总统,在在 1876,利用了梯形面积公式。利用了梯形面积公式。图中三个三角形面积和是图中三个三角形面积和是梯形面积为梯形面积为(a+b)(a+b)/2;比较可得比较可得:c2=a2+b2。ababcc第4页驶向胜利彼岸勾股定理逆定理勾股定理逆定理 我能行我能行2 2l假如三角形两边平方和等于第三边假如三角形两边平方和等于第三边 平方平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.l已知已知:如图如图(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2.l求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形.acbABC(1)第5页逆定理证实逆定理证实 我能行我能行2 2证实证实:作作Rt Rt ABCABC使使 C C90900 0，A AC CACAC B BC CBC(BC(如图如图),),则则acbABC(1)acbBAC(2)A AC C2 2B BC C2 2A AB B2 2 (勾股定理勾股定理)ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2(已知已知),),A AC CAC,AC,B BC CBCBC(已作已作)第6页 ABC ABC(SSS)ABC ABC(SSS)C=C C=C 90900 0 (全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)ABC ABC是直角三角形是直角三角形 (直角三角形定义直角三角形定义).).AB AB2 2ABAB2 2(等式性质等式性质)AB ABAB(AB(等式性质等式性质)acbABC(1)acbBAC(2)第7页几何几何三种语言三种语言 回顾反思回顾反思1 1w勾股定理逆定理勾股定理逆定理l假如三角形两边平方和等于第三边平方假如三角形两边平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形这是判定直角三角形依据之一l在在ABCABC中中ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2(已知已知),),ABCABC是直角三角形是直角三角形(假如三角形两边假如三角形两边 平方和等于第三边平方平方和等于第三边平方,那么这个三角形那么这个三角形 是直角三角形是直角三角形).).acbABC(1)第8页驶向胜利彼岸命题与逆命题命题与逆命题1、直角三角形两直角边平方和等于斜边、直角三角形两直角边平方和等于斜边 平方平方2、假如三角形两边平方和等于第三边平方假如三角形两边平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形w观察上面两个命题观察上面两个命题,它们条件与结论之间它们条件与结论之间 有怎样关系有怎样关系?与同伴交流与同伴交流.开启 智慧第9页w再观察下面三组命题再观察下面三组命题:w假如两个角是对顶角假如两个角是对顶角,那么它们相等那么它们相等w假如两个角相等假如两个角相等,那么它们是对顶角那么它们是对顶角w假如小明患了肺炎假如小明患了肺炎,那么他一定会发烧那么他一定会发烧w假如小明发烧假如小明发烧,那么他一定患了肺炎那么他一定患了肺炎w三角形中相等边所正确角相等三角形中相等边所正确角相等w三角形中相等角所正确边相等三角形中相等角所正确边相等.w上面每组中两个命题条件和结论之间也有上面每组中两个命题条件和结论之间也有 类似关系吗类似关系吗?与同伴进行交流与同伴进行交流.第10页驶向胜利彼岸命题与逆命题命题与逆命题w在两个命题中在两个命题中,假如一个命题假如一个命题条件条件和和结论结论分别分别是另一个命题是另一个命题结论结论和和条件条件,那么这两个命题称为那么这两个命题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题其中一个命题称为另一个命题逆命逆命题题.开启 智慧你能写出命题你能写出命题“假如两个有理数相等假如两个有理数相等,那么它那么它们平方相等们平方相等”逆命题吗逆命题吗?w它们都是真命题吗它们都是真命题吗?第11页驶向胜利彼岸定理与逆定理定理与逆定理w一个一个命题命题是真命题是真命题,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题开启 智慧w假如一个假如一个定理定理逆命题经过证实是真命题逆命题经过证实是真命题,那么它那么它 是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一其中一个个 定理称另一个定理定理称另一个定理逆定理逆定理.第12页 想一想想一想w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w我们已经学习了一些互逆定理我们已经学习了一些互逆定理,如如:w勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理w两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.第13页蓄势待发蓄势待发 隋堂练习隋堂练习1 1驶向胜利彼岸说出以下合理逆命题说出以下合理逆命题,并判断每对并判断每对命题真假命题真假:w四边形是多边形四边形是多边形;w两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补;w假如假如ab=0,那么那么a=0,b=0.w请你举出一些命题请你举出一些命题,然后写出它逆命题然后写出它逆命题,并判断这些逆命题真假并判断这些逆命题真假.第14页学无止境学无止境 读一读读一读1 1w勾股定理是数学上有证实方法最多定理勾股定理是数学上有证实方法最多定理 有四百各种说明！有四百各种说明！l古今中外有许多人探索勾股定理证实方法，古今中外有许多人探索勾股定理证实方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政 治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里 德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第 二十届总统）等等。其证实方法达数百种之二十届总统）等等。其证实方法达数百种之 多，这在数学史上是十分罕见多，这在数学史上是十分罕见.P18P18读一读：读一读：勾股定理证实勾股定理证实.第15页学无止境学无止境 读一读读一读1 1历时几千年两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万历时几千年两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们心，前人以坚韧毅力，开拓创新精神谱写了科学人们心，前人以坚韧毅力，开拓创新精神谱写了科学知识宝库中探宝光芒篇章，还有许多宝藏等候后人开知识宝库中探宝光芒篇章，还有许多宝藏等候后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提升采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提升本身素质，不辜负时代重托，未来为人类作出更大贡本身素质，不辜负时代重托，未来为人类作出更大贡献。献。驶向胜利彼岸P18P18读一读：读一读：勾股定理证实勾股定理证实.第16页梦想成真 试一试试一试P142 21.如图如图(单位：英尺单位：英尺),在一个长方体房间里在一个长方体房间里,一只蜘蛛一只蜘蛛 在一面墙正中间离天花板在一面墙正中间离天花板1英尺英尺A处处,苍蝇则在对苍蝇则在对 面墙正中间离地板面墙正中间离地板1英尺英尺B处处.试问试问:蜘蛛为了捕捉苍蝇蜘蛛为了捕捉苍蝇,需要爬行最短距离是多少需要爬行最短距离是多少?AB 301212第17页回味无穷n勾股定理勾股定理:n假如直角三角形两直角边分别为假如直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边平方和等于斜边平方即直角三角形两直角边平方和等于斜边平方.勾股定理在西方文件中又称为毕达哥拉斯定理勾股定理在西方文件中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.n勾股定理逆定理勾股定理逆定理:n假如三角形两边平方和等于第三边平方假如三角形两边平方和等于第三边平方,那么这个三那么这个三角形是直角三角形角形是直角三角形.小结 拓展第18页回味无穷小结 拓展命题与逆命题命题与逆命题 在两个命题中在两个命题中,假如一个命题假如一个命题条件条件和和结论结论分别是另分别是另 一个命题一个命题结论结论和和条件条件,那么这两个命题称为那么这两个命题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题其中一个命题称为另一个命题逆命题逆命题.定理与逆定理定理与逆定理 假如一个假如一个定理定理逆命题经过证实是真命题逆命题经过证实是真命题,那么它是一那么它是一 个个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理称另其中一个定理称另一一 个定理个定理逆定理逆定理.第19页知识升华独立独立作业作业P9习题1.4 1,2,3题.祝你成功！第20页习题1.4 独立作业独立作业1 1w1.如图，在ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上中线AD=12cm.求证:AB=AC.证实证实:BD=CD,BC=10cm(:BD=CD,BC=10cm(已知已知)BD=5cm(BD=5cm(等式性质等式性质).).在在ABDABD中中,AD,AD2 2+BD+BD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169,144+25=169,AB AB2 2=13=132 2=169=169 AD AD2 2+BD+BD2 2=AB=AB2 2 ABC ABC是直角三角形是直角三角形(假如三角形两边平方和等于第假如三角形两边平方和等于第 三边平方三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形).).在在RtADCRtADC中中 AC AC2 2=DC=DC2 2+AD+AD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169144+25=169 AC AC2 2=AB=AB2 2 AB=AC(AB=AC(等式性质等式性质).).DBCA第21页w2.2.房梁一部分如图所表示房梁一部分如图所表示,其中其中BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m,CB,AB=10m,CB1 1AB,BAB,B1 1C C1 1AC,AC,垂足为垂足为B B1 1,C,C1 1,那么那么BCBC长是多少？长是多少？B B1 1C C1 1呢？呢？解解:BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m(,AB=10m(已知已知)BC=AB/2=102 BC=AB/2=1025(5(在直角三角形中在直角三角形中,假如有一个锐角假如有一个锐角 等于等于30300 0,那么它那么它所正确直角边等于斜边二分之一所正确直角边等于斜边二分之一)又又CBCB1 1AB,BCBAB,BCB1 1=90=900 0-60-600 0=30=300 0(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余),),BBBB1 1=BC/2=52=BC/2=522.5(2.5(在直角三角形中在直角三角形中,假如有一个锐角假如有一个锐角 等于等于30300 0,那么它那么它所正确直角边等于斜边二分之一所正确直角边等于斜边二分之一).).BCA300B1C1ABAB1 1=AB-BB=AB-BB1 1=10-2.5=7.5(=10-2.5=7.5(等式性质等式性质).).BB1 1C C1 1=AB=AB1 1/2=7.52/2=7.523.75(3.75(在直角三角形中在直角三角形中,假如有一假如有一 个锐角等于个锐角等于30300 0,那么它所正确直角边等于斜边二分之一那么它所正确直角边等于斜边二分之一).).第22页w3.3.如图如图,正四棱柱底面边长为正四棱柱底面边长为5c5cm,m,侧棱侧棱长为长为8cm,8cm,一只蚂蚁欲从一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上正四棱柱底面上点点A A沿棱柱侧面到点沿棱柱侧面到点C C1 1处吃食物处吃食物,那么它那么它需要爬行最短路径是多少？需要爬行最短路径是多少？解解:以下列图以下列图,将将四棱柱侧面四棱柱侧面 展开展开,连结连结ACAC1,1,AC=10cm,CCAC=10cm,CC1 1=8cm(=8cm(已知已知),),BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C第23页结束寄语严格性之于数学家,如同道德之于人.证实规范性在于：条理清楚，因果对应,言必有据.这是初学证实者谨记和遵照标准.下课了!第24页