勾股定理市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

18.1 勾股定理勾股定理(1)(1)数形结合之美第第1页页你想知道吗你想知道吗?国庆节前，为了更加好观看阅兵式，国庆节前，为了更加好观看阅兵式，小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部42英寸英寸（106厘米厘米）电视机电视机.小明量了电视机屏幕后，发觉屏小明量了电视机屏幕后，发觉屏幕只有幕只有85厘米厘米长和长和64厘米厘米宽，他以为一宽，他以为一定是售货员搞错了。你同意他想法吗？定是售货员搞错了。你同意他想法吗？你能解释这是为何吗？你能解释这是为何吗？探索勾股定理第第2页页数数学学故故事事链链接接 相相传传两两千千五五百百年年前前，一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去去朋朋友友家家作作客客，发发觉觉朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成地地面面反反应应直直角角三三角角形形三三边边某某种种数数量量关关系系，同同学学们们，我我们们也也来来观观察察下下面面图图案案，看看看看你你能能发发觉觉什什么么？探探索索勾勾股股定定理理第第3页页数学家毕达哥拉斯发觉：数学家毕达哥拉斯发觉：A、B、C面积有什么关系？面积有什么关系？SA+SB=SCABC探索勾股定理第第4页页ABCABC A面积面积（单位面积）（单位面积）B面积面积（单位面积）（单位面积）C面积面积（单位面积）（单位面积）图图1-1图图1-291625163652探索勾股定理第第5页页ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2abca2+b2=c2设：直角三角形三边长分别是设：直角三角形三边长分别是a、b、c猜测猜测:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间关系？之间关系？SA+SB=SC探索勾股定理第第6页页 假如直角三角形两条直角边长假如直角三角形两条直角边长分别为分别为a,ba,b，斜边长为，斜边长为c c，那么，那么c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.abc勾勾股股弦弦探索勾股定理第第7页页bacs2s1试一试试一试?请利用此图象，证实勾股定理：请利用此图象，证实勾股定理：a2+b2=c2探索勾股定理第第8页页走进数学史第第9页页美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回第第10页页应用勾股定理 已知已知ABC三边分别是三边分别是a，b，c，若若B=90度，则相关系式（度，则相关系式（）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2ABC选一选选一选第第11页页应用勾股定理讲一讲讲一讲86ABC求图中直角三角形未知边长度。求图中直角三角形未知边长度。1517ABC第第12页页勾股定理，想得再多一点（1）若）若a=5，b=12，则则c=_.在在Rt ABC中，中，（2）若）若c=4，b=2 ，则，则a=_.C=900.做一做做一做第第13页页勾股定理，想得再多一点 如图，如图，受台风莫拉克影响，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面一棵树在离地面4 4米处断裂，树顶部落在离树跟底部米处断裂，树顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵树米处，这棵树折断前折断前有多高？有多高？4米米3米米第第14页页勾股定理，想得再多一点 国庆节前，为了更加好观看阅兵式，小国庆节前，为了更加好观看阅兵式，小明妈妈买了一部明妈妈买了一部42英寸英寸（106厘米厘米）电视机）电视机.小明量了电视机屏幕后，发觉屏幕只有小明量了电视机屏幕后，发觉屏幕只有85厘米厘米长和长和64厘米厘米宽，他以为一定是售货员宽，他以为一定是售货员搞错了。你同意他想法吗？你能解释这是为搞错了。你同意他想法吗？你能解释这是为何吗？何吗？回头再看看回头再看看第第15页页内容总结：内容总结：（1）利用勾股定理条件是什么？）利用勾股定理条件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形什么关系？）勾股定理揭示了直角三角形什么关系？（3）勾股定理有什么用途？）勾股定理有什么用途？方法总结：方法总结：用直角三角形三边表示三个正方形面积用直角三角形三边表示三个正方形面积观察归观察归纳发觉勾股定理纳发觉勾股定理任意画一个直角三角形，再验任意画一个直角三角形，再验证自己发觉。证自己发觉。第第16页页家庭作业：家庭作业：书本书本P55 习题习题2 补充：补充：1、求以下直角三角形中未知边长、求以下直角三角形中未知边长:补充：补充：1、求以下直角三角形中未知边长、求以下直角三角形中未知边长:2 2、如图所表示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面、如图所表示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，米处折断倒下，树顶落在离树根树顶落在离树根24米处米处.大树在折断之前高多少？大树在折断之前高多少？第第17页页勾股定理由来这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，在外国称为，在外国称为“毕达哥拉毕达哥拉斯定理斯定理”。为何一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪。为何一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪中国人。当初中国朝代是西周，是奴隶社会时期。中国人。当初中国朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉数学著作在中国古代大约是战国时期西汉数学著作周髀算经周髀算经中统计中统计着商高同周公一段对话。商高说：着商高同周公一段对话。商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修四，勾广三，股修四，经隅五经隅五。“什么是什么是”勾、股勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角呢？在中国古代，人们把弯曲成直角手臂上半部分称为手臂上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。商高那段话意思。商高那段话意思就是说：当直角三角形两条直角边分别为就是说：当直角三角形两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，（长边）时，径隅（就是弦）则为径隅（就是弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个事实说成。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三勾三股四弦五股四弦五”。因为勾股定理内容最早见于商高话中，所以人们就。因为勾股定理内容最早见于商高话中，所以人们就把这个定理叫作把这个定理叫作 商高定理商高定理。毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世）是古希腊数学家，他是公元前五世纪人，纪人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几。希腊另一位数学家欧几里德（里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右人）在编著，是公元前三百年左右人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发觉，所以他就把这个时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发觉，所以他就把这个定理称为定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以后就流传开了。（为了庆贺这一定理。（为了庆贺这一定理发觉，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬报供奉神灵，所以这个定理又有些人叫做发觉，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬报供奉神灵，所以这个定理又有些人叫做“百百牛定理牛定理”）走进数学史第第18页页勾股定理证实方法证法一证法二证法三（邹元治证实）（邹元治证实）（赵爽证实）（赵爽证实）赵爽赵爽:我国古代数学家我国古代数学家走进数学史第第19页页勾股定理证实方法证法四证法五证法六（加菲尔德证实）（加菲尔德证实）加菲尔德加菲尔德:第二十任总统第二十任总统（梅文鼎证实）（梅文鼎证实）梅文鼎梅文鼎:清代天文、数学家清代天文、数学家（项明达证实）（项明达证实）项明达项明达:清代数学家清代数学家走进数学史第第20页页勾股定理证实勾股定理是几何学中明珠，所以它充满魅力，千百年来，勾股定理是几何学中明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它证实趋之若骛，其中有著名数学家，也有业余数学人们对它证实趋之若骛，其中有著名数学家，也有业余数学兴趣者，有普通老百姓，也有尊贵政要权贵，甚至有国家总兴趣者，有普通老百姓，也有尊贵政要权贵，甚至有国家总统。可能是因为勾股定理既主要又简单，更轻易吸引人，才统。可能是因为勾股定理既主要又简单，更轻易吸引人，才使它成百次地重复被人炒作，重复被人论证。有资料表明，使它成百次地重复被人炒作，重复被人论证。有资料表明，关于勾股定理证实方法已经有关于勾股定理证实方法已经有500500余种，仅我国清末数学家华余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十各种精彩证法。蘅芳就提供了二十各种精彩证法。在这数百种证实方法中，有十分精彩，有十分简练，有在这数百种证实方法中，有十分精彩，有十分简练，有因为证实者身份特殊而非常著名。因为证实者身份特殊而非常著名。现在在网络上看到较多是现在在网络上看到较多是1616种种,包含前面包含前面6 6种种,还有还有:欧几里得证实欧几里得证实、利用相同三角形性质证实利用相同三角形性质证实、杨作玫证实杨作玫证实、李锐证实李锐证实、利用切割线定理证实利用切割线定理证实、利用多列米定理证实利用多列米定理证实、作直角三角形内切圆证实作直角三角形内切圆证实、利用反证法证实利用反证法证实、辛卜松证实辛卜松证实、陈杰证实陈杰证实。走进数学史第第21页页应用勾股定理abc确定斜边确定斜边c2=a2+b2？acb确定斜边确定斜边b2=a2+c2？bca确定斜边确定斜边a2=b2+c2？第第22页页应用勾股定理 c2=a2+b2abcb2=c2-a2a2=c2-b2灵活利用灵活利用第第23页页复习提问复习提问 1、任意三角形三边满足怎样关系？、任意三角形三边满足怎样关系？2、对于等腰三角形，三边之间存在、对于等腰三角形，三边之间存在怎样特殊关系？等边三角形呢？怎样特殊关系？等边三角形呢？3、对于直角三角形，三边之间存在、对于直角三角形，三边之间存在怎样特殊关系？怎样特殊关系？第第24页页在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平全球性数学科学学术会议，被誉为数学界“奥运会”，这就是本届大会会徽图案。这个图案就是我国汉代数这个图案就是我国汉代数学家赵爽在证实勾股定理学家赵爽在证实勾股定理时用到，被称为时用到，被称为“赵爽弦赵爽弦图图”第第25页页相传25前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发觉朋友家用砖铺成地面中反应了直角三角形某种数量关系。CBA情景引入情景引入第第26页页探究活动探究活动分成四人小组，每个小组分成四人小组，每个小组课前准备好课前准备好4个全等直角三角形个全等直角三角形和以直角三角形各边为边长和以直角三角形各边为边长3个个正方形（如右图）正方形（如右图）.利用这些材料（不一定全用），你能另外拼出利用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几个一些正方形吗？试试看，你能拼几个.第第27页页图图图图图图第第28页页复习提问复习提问 1、任意三角形三边满足怎样关系？、任意三角形三边满足怎样关系？2、对于等腰三角形，三边之间存在、对于等腰三角形，三边之间存在怎样特殊关系？等边三角形呢？怎样特殊关系？等边三角形呢？3、对于直角三角形，三边之间存在、对于直角三角形，三边之间存在怎样特殊关系？怎样特殊关系？第第29页页在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平全球性数学科学学术会议，被誉为数学界“奥运会”，这就是本届大会会徽图案。这个图案就是我国汉代数这个图案就是我国汉代数学家赵爽在证实勾股定理学家赵爽在证实勾股定理时用到，被称为时用到，被称为“赵爽弦赵爽弦图图”第第30页页相传25前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发觉朋友家用砖铺成地面中反应了直角三角形某种数量关系。CBA情景引入情景引入第第31页页ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2（1）观察图）观察图1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A面积是面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形B面积是面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C面积是面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是怎样得到你是怎样得到C面积？面积？与同伴交流交流。与同伴交流交流。123（2）（）（3）探究活动一：探究活动一：第第32页页ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数三角形为整数三角形（单位面积）（单位面积）返回返回第第33页页ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6正正方形面积二分之一方形面积二分之一 返回返回第第34页页ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图 1图图 2（2）在图）在图2中，正方中，正方形形A，B，C中各含有中各含有多少个小方格？它们多少个小方格？它们面积各是多少？面积各是多少？（3）你能发觉图）你能发觉图1中中三个正方形三个正方形A，B，C面积之间有什么关系面积之间有什么关系吗？吗？SA+SB=SC 即：即：以等腰直角三角形以等腰直角三角形两条直角边上正方形两条直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积面积之和等于斜边上正方形面积第第35页页探究活动二：探究活动二：（1）观察右边）观察右边两幅图：两幅图：（2）填表（每个小正方形面积为单位）填表（每个小正方形面积为单位1）：）：A面积B面积C面积左图左图右图右图4 916 9？第第36页页（3）你是怎样得到）你是怎样得到正方形正方形C面积？与同伴交流面积？与同伴交流.第第37页页“割割”“补补”“拼拼”第第38页页（4）分析填表数据，你发觉了什么？）分析填表数据，你发觉了什么？A面积B面积C面积左图左图4913右图右图16925第第39页页结论结论2 2 以直角三角形两直角边为以直角三角形两直角边为边长小正方形面积和，等于以斜边为边长小正方形面积和，等于以斜边为边长正方形面积边长正方形面积.第第40页页议一议：议一议：（1）你能用直角三角形两直角边长）你能用直角三角形两直角边长a、b和斜边和斜边长长c来表示图中正方形面积吗？来表示图中正方形面积吗？（2）你能发觉直角三角形三边长度之间存在什么）你能发觉直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？关系吗？第第41页页 勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)gou-gu theorem)假如直角三角形两直角边分别为假如直角三角形两直角边分别为a、b,斜斜边为边为c，那么，那么即即 直角三角形两直角边平方和等于直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。斜边平方。abc表示为：表示为：RtABC中，中，C=90 则则第第42页页议一议：判断以下说法是否正确议一议：判断以下说法是否正确,并说明理由：并说明理由：(1)在在ABC中中,若若a=3,b=4,则则c=5(2)在在RtABC中，假如中，假如a=3，b=4,则则c=5.(3)在在RtABC中，中，C=90,假如假如a=3，b=4,则则c=5.第第43页页探究活动探究活动分成四人小组，每个小组分成四人小组，每个小组课前准备好课前准备好4个全等直角三角形个全等直角三角形和以直角三角形各边为边长和以直角三角形各边为边长3个个正方形（如右图）正方形（如右图）.利用这些材料（不一定全用），你能另外拼出利用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几个一些正方形吗？试试看，你能拼几个.第第44页页图图图图图图第第45页页方法一：方法一：而而所以所以即即，.因为因为，第第46页页方法二：方法二：，化简得：化简得：第第47页页方法三：方法三：，化简得：化简得：第第48页页1.1.求以下图中表示边未知数求以下图中表示边未知数x x、y y、z z值值.8181144144x xy yz z625625576576144144169169第第49页页比比一一比比看看看看谁谁算算得得快快！2.2.求以下直角三角形中未知边长求以下直角三角形中未知边长:可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x第第50页页CA.8 A.8 米米 B.9 B.9 米米 C.10C.10米米 D.14D.14米米、如图、如图,一个长一个长8 8 米米,宽宽6 6 米草地米草地,需在相对角顶点需在相对角顶点间加一条小路间加一条小路,则小路长为则小路长为 ()()8m8m6m6m别踩我别踩我,我怕疼我怕疼!第第51页页、湖两端有、湖两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直角方向成直角BCBC方向上点方向上点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米,则则ABAB为为 ()()ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A第第52页页某楼房在某楼房在20米高处楼层失火，米高处楼层失火，消防员取来消防员取来25米长云梯救火，米长云梯救火，已知梯子底部离墙距离是已知梯子底部离墙距离是15米。米。问消防队员能否进入该楼层灭问消防队员能否进入该楼层灭火？火？已知两直角已知两直角已知两直角已知两直角边求斜边边求斜边边求斜边边求斜边ABC1520?第第53页页我国古代两种证法：我国古代两种证法：1、公元、公元3世纪我国汉代数学家世纪我国汉代数学家赵爽赵爽在为在为周髀算经周髀算经作注时给出作注时给出“弦图弦图”：第第54页页 我国有记载最早勾股定理证实，是三国时，我国古代数我国有记载最早勾股定理证实，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著学家赵爽在他所著勾股方圆图注勾股方圆图注中，用四个全等直中，用四个全等直角三角形拼成一个中空正方形来证实。每个直角三角形角三角形拼成一个中空正方形来证实。每个直角三角形面积叫面积叫朱实朱实，中间正方形面积叫中间正方形面积叫黄实黄实，大正方形面积叫，大正方形面积叫弦实弦实，这个图也叫，这个图也叫弦图弦图。年国际数学家大会将。年国际数学家大会将此图作为大会会徽此图作为大会会徽第第55页页2、我国数学家我国数学家刘徽刘徽在他在他九章算术注九章算术注中给出中给出“青朱出入图青朱出入图”：第第56页页证法四：证法四：（伽菲尔德证法（伽菲尔德证法1876年）年）ABCDE 如图，如图，RtABE RtECD，可知可知AED=90；梯形梯形ABCD面积面积梯形梯形ABCD面积面积第第57页页证法五：证法五：（欧几里得证法公元前（欧几里得证法公元前3世纪）世纪）“新娘轿椅新娘轿椅”或或“修士头巾修士头巾”如图，如图，Rt ABC中，中，ACB=90，四边形，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，都是正方形，CNDE，连接，连接BK、CD。AK=ACAB=ADKAB=CADKABCADS 正方形正方形KACH=S 四边形四边形ADNM同理：同理：S 正方形正方形BCGF=S 四边形四边形BENM S 正方形正方形KACH+S 正方形正方形BCGF=S 四边形四边形ADNM+S 四边形四边形BENM S KAB=S CADS 正方形正方形KACH+S 正方形正方形BCGF=S 四边形四边形ADEB 第第58页页