勾股定理的证明比较全的证明方法市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

北京欢迎您！北京欢迎您！年北京国际数学家大会会标第1页 同学们！三角形知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一个特殊三角形，从今天开始，我们尝试着研究直角三角形直角三角形三边三边之间关系。之间关系。第2页171勾股定理（一）勾股定理（一）第3页1，掌握直角三角形三边之间关系（即勾股定理内容）。2，经过探究，了解勾股定理证实过 程，并掌握1-2种证实方法。学习目标学习目标第4页为了实现本节学习目标，请同学们按照以下要求来自学。为了实现本节学习目标，请同学们按照以下要求来自学。认真看书本认真看书本P P2222PP2424，注意：，注意：1 1、结合、结合P P2222思索前故事及思索前故事及“黄色书签黄色书签”,”,你在知识认知上应该养你在知识认知上应该养成怎样品质？成怎样品质？2 2、结合、结合P P2222思索和图形思索和图形1 17 7.1-.1-2 2，你认为老毕先生发觉了什么，你认为老毕先生发觉了什么？跨越两千多年时空，看你和老毕是否有心灵默契？之后？跨越两千多年时空，看你和老毕是否有心灵默契？之后用用P P2222下面三行小字验证你发觉。下面三行小字验证你发觉。3 3、用数形结合与面积法思想，借助、用数形结合与面积法思想，借助P P2222探究与网格再验证其探究与网格再验证其它直角三角形三边是否有一样性质它直角三角形三边是否有一样性质4 4、准确记忆、准确记忆P P2323命题命题1 1勾股定理勾股定理，分清题设与结论。，分清题设与结论。猜猜测测5 5、利用、利用P P2323“赵爽弦图赵爽弦图”和面积法证实勾股定理和面积法证实勾股定理 6 6、务必明确勾股定理两个关于：关于直角三角形与关于该种、务必明确勾股定理两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边关系图形边关系自课时间自课时间1010分钟之后比谁能做对检测题。不会可小声讨论或分钟之后比谁能做对检测题。不会可小声讨论或举手问老师。举手问老师。自研共探：自研共探：自研共探：自研共探：第5页看一看看一看 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发觉朋友家用砖铺成地面去朋友家作客，发觉朋友家用砖铺成地面反应直角三角形三边某种数量关系，同学反应直角三角形三边某种数量关系，同学们，我们也来观察下面图案，看看你能发们，我们也来观察下面图案，看看你能发觉什么？觉什么？第6页a a2 2 +b+b2 2 =c=c2 2直角三角形直角三角形两直角边平方和两直角边平方和等于等于斜边平方斜边平方a ac cb b勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理)a a2 2 =c c2 2 -b-b2 2b b2 2 =c=c2 2 -a-a2 2第7页勾股定理证实勾股定理证实325242第8页 两千多年来，人们对勾股定理证实颇感兴趣，因为这个定理两千多年来，人们对勾股定理证实颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上太贴近人们生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它证实所以不停出现关于勾至帝王总统都愿意探讨和研究它证实所以不停出现关于勾股定理新证法股定理新证法1 1传说中毕达哥拉斯证法传说中毕达哥拉斯证法2 2赵爽弦图证法赵爽弦图证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德证法任总统茄菲尔德证法3 3刘徽证法刘徽证法勾股定理证实勾股定理证实5 5其它证法其它证法第9页 这棵树漂亮吗？假如在树上挂上这棵树漂亮吗？假如在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小圣诞老人，是不是彩球、小礼盒、小圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树更像一棵圣诞树 可能有些人会问：可能有些人会问：“它与勾股定它与勾股定理有什么关系吗？理有什么关系吗？”仔细看看，你会发觉，奥妙在树仔细看看，你会发觉，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方这个干和树枝上，整棵树都是由下方这个基本图形组成：基本图形组成：一个直角三角形以及一个直角三角形以及分别以它每边为一边向外所作正方形分别以它每边为一边向外所作正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊数学家毕达哥这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 第10页 关于勾股定理证实，现在人类保留下来最早文字资料是欧几里得（公元前3左右）所著几何原本第一卷中命题47：“直角三角形斜边上正方形等于两直角边上两个正方形之和”其证实是用面积来进行传说中毕达哥拉斯证法传说中毕达哥拉斯证法已知：如图，以在已知：如图，以在RtABC中，中，ACB=90，分别以，分别以a、b、c为为边向外作正方形边向外作正方形 求证：求证：a2+b2=c2第11页 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行线平行线AK和和BH间距离），间距离），S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB，ADCABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG，也就是也就是 a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯证法传说中毕达哥拉斯证法证实：从证实：从RtABC三边向外各作一个正方形（如图），作三边向外各作一个正方形（如图），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB返回因为矩形因为矩形ADNM和和ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行线即平行线AD和和CN间距离间距离)，第12页 我国对勾股定理证实采取是割补法我国对勾股定理证实采取是割补法，最早形式见于公元三、四世纪赵爽，最早形式见于公元三、四世纪赵爽勾股圆方图注勾股圆方图注在这篇短文中，赵在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓爽画了一张他所谓“弦图弦图”，其中每一，其中每一个直角三角形称为个直角三角形称为“朱实朱实”，中间一个，中间一个正方形称为正方形称为“中黄实中黄实”，以弦为边大正，以弦为边大正方形叫方形叫“弦实弦实”，所以，假如以，所以，假如以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，分别表示勾、股、弦之长，那么：那么：赵爽弦图证法赵爽弦图证法得：得：c2=a2+b2返回第13页cabcabcabcabc2=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2a2+b2=c2大正方形面积能够表示为大正方形面积能够表示为；也能够表示为也能够表示为c2 该图8月在北京召开国际数学家大会会标示意图，取材于我国古代数学著作勾股圆方图。证实证实1：第14页刘徽在刘徽在九章算术九章算术中对勾股定理证实：勾中对勾股定理证实：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使，使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为，是为“出入相补，各从其类出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形其余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽证法刘徽证法返回第15页学过几何人都知道勾股定理它是几何中一个比较主要定理，应用十分广泛迄学过几何人都知道勾股定理它是几何中一个比较主要定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理证实方法已经有今为止，关于勾股定理证实方法已经有500余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德证法在数学史上被传为佳话证法在数学史上被传为佳话总统为何会想到去证实勾股定理呢？莫非他是数学家或数学兴趣者？答案是否定总统为何会想到去证实勾股定理呢？莫非他是数学家或数学兴趣者？答案是否定事情经过是这么：事情经过是这么：1876年一个周末黄昏，在美国首都华盛顿郊外，有一位中年人正在散步，观赏黄年一个周末黄昏，在美国首都华盛顿郊外，有一位中年人正在散步，观赏黄昏美景，他就是当初美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发觉附近昏美景，他就是当初美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发觉附近一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨因为好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么讨因为好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，假如直角三角形两条直请问先生，假如直角三角形两条直角边分别为角边分别为3和和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是是5呀呀”小男孩又问小男孩又问道：道：“假如两条直角边分别为假如两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角形斜边长又是多少？，那么这个直角三角形斜边长又是多少？”伽菲尔伽菲尔德不加思索地回答到：德不加思索地回答到：“那斜边平方一定等于那斜边平方一定等于5平方加上平方加上7平方平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中道理吗？先生，你能说出其中道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，马上回家，潜心探讨小男孩给他留下难题他经过重复于是伽菲尔德不再散步，马上回家，潜心探讨小男孩给他留下难题他经过重复思索与演算，终于搞清楚了其中道理，并给出了简练证实方法思索与演算，终于搞清楚了其中道理，并给出了简练证实方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理第16页美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回第17页abcbacABCDEv1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.以后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了证实，就把这一证法称为“总统证法”勾股定理勾股定理证实证实：你能只用这两个你能只用这两个直角三角形直角三角形说明说明a2+b2=c2吗？吗？第18页向常春证实方法向常春证实方法 注注:这一方法是向常春这一方法是向常春于于1994年年3月月20日构想发日构想发觉新法觉新法abcba-bADCBEc第19页cabcabcabcab(a+b)2=a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2大正方形面积能够表示为大正方形面积能够表示为；也能够表示为也能够表示为(a+b)2C2勾股定理勾股定理证实证实：C2第20页 我们用拼图方法来说明勾我们用拼图方法来说明勾股定理是正确股定理是正确试试 一一 试试证实证实:上面大正方形面积为：上面大正方形面积为：下面大正方形面积为：下面大正方形面积为：从右图中我们能够看出，这两个正方形边从右图中我们能够看出，这两个正方形边长都是长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即第21页观察下面图形，你还能发觉什么吗？观察下面图形，你还能发觉什么吗？第22页