微积分一考前冲刺复习省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

微积分（一）微积分（一）微积分（一）微积分（一）考前冲刺考前冲刺考前冲刺考前冲刺崔崔 洪洪 泉泉第1页 一、函数一、函数一、函数一、函数 二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续 三、导数与微分三、导数与微分三、导数与微分三、导数与微分 四、有界、极限、连续与可导关系四、有界、极限、连续与可导关系四、有界、极限、连续与可导关系四、有界、极限、连续与可导关系 五、导数应用五、导数应用五、导数应用五、导数应用 六、利用定理进行证实六、利用定理进行证实六、利用定理进行证实六、利用定理进行证实第2页 一、函一、函一、函一、函 数数数数函数复合函数复合;复合函数定义域复合函数定义域;函数四个特征函数四个特征;建立函数关系式等建立函数关系式等.所认为奇函数所认为奇函数.第3页所以定义域为所以定义域为第4页1.提出并约去零因子或无穷因子提出并约去零因子或无穷因子2.利用函数连续性利用函数连续性3.利用利用等价无穷小代换等价无穷小代换5.先求出先求出非零因子非零因子极限极限8.利用函数恒等变形利用函数恒等变形6.应用应用洛必达法则洛必达法则（注意类型与整理注意类型与整理）7.利用利用极限存在准则及主要极限极限存在准则及主要极限4.利用利用有界函数与无穷小有界函数与无穷小性质性质二、极二、极二、极二、极 限限限限 与与与与 连连连连 续续续续求极限惯用方法：求极限惯用方法：（只对只对 x=0 附近无穷小用附近无穷小用）9.利用变量代换利用变量代换第5页1.提出并约去零因子提出并约去零因子2.利用函数恒等变形利用函数恒等变形3.利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换4.应用洛必达法则应用洛必达法则 1.提出并约去无穷因子提出并约去无穷因子2.利用函数恒等变形利用函数恒等变形(有理化有理化)3.利用多项式之比极限公式利用多项式之比极限公式4.应用洛必达法则应用洛必达法则 1.利用主要极限利用主要极限2.应用洛必达法则应用洛必达法则 第6页一些主要等价无穷小：一些主要等价无穷小：一些主要等价无穷小：一些主要等价无穷小：x 0 时时，第7页第8页解一：解一：解二：解二：原式原式=2第9页=0？=2第10页约去无穷因子约去无穷因子第11页=0.原式原式=0.第12页无穷小无穷小有界量有界量第13页第14页第15页由夹逼性准则知由夹逼性准则知第16页第17页显然，显然，x=0 是是 f(x)可去间断点可去间断点。第18页则则 c=_.由由 L 定理定理=e,第19页找出全部使函数无定义点；找出全部使函数无定义点；考查全部这些点处极限考查全部这些点处极限(对分段函数还要考查分段点处极限对分段函数还要考查分段点处极限)；依据极限情况判别间断点并分类。依据极限情况判别间断点并分类。函函函函 数数数数 间间间间 断断断断 点点点点第20页为间断点为间断点。x=0 为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点。=0，=1，x=1 为第一类跳跃间断点为第一类跳跃间断点。求求间断点，并判断其类型。间断点，并判断其类型。第21页注注意意1.看清常数与变量看清常数与变量2.分清分清不一样类型不一样类型函数导数公式函数导数公式3.复合函数导数复合函数导数要求到底要求到底4.掌握求隐函数导数方法掌握求隐函数导数方法(在某点在某点)7.求二阶导数前对一阶导数要整理求二阶导数前对一阶导数要整理6.掌握求分段函数掌握求分段函数(尤其是尤其是分段点分段点处处)导数方法导数方法(左右导数左右导数)8.导数定义与几何意义导数定义与几何意义(切线斜率切线斜率)dx5.掌握求参量函数导数方法掌握求参量函数导数方法(二阶二阶)三、导三、导三、导三、导 数数数数 与与与与 微微微微 分分分分第22页第23页+0第24页第25页两边求导：两边求导：x=0 时时，(*)对对(*)两边求导两边求导：第26页第27页?问题：问题：条件不具备。条件不具备。0第28页在在 x=0 处可导，求待定常数处可导，求待定常数 a 与与 b.=0+1=1，=b,函数函数在在 x=0 处连续处连续，b=1;第29页在在 x=0 处可导，求待定常数处可导，求待定常数 a 与与 b.在在 x=0 处连续处连续，b=1;1=0 函数函数在在 x=0 处可导处可导，第30页四、函数有界、极限、连续与可导关系四、函数有界、极限、连续与可导关系四、函数有界、极限、连续与可导关系四、函数有界、极限、连续与可导关系 收敛数列收敛数列（函数函数）性质性质(唯一性唯一性,有界性有界性,保号性保号性)数列有界数列有界数列无界数列无界数列收敛数列收敛数列发散数列发散无穷大量无穷大量无界变量无界变量第31页函数在函数在 x0 处极限存在处极限存在函数在函数在 x0 处有定义处有定义函数在函数在 x0 处连续处连续函数在函数在 x0 处可导处可导函数在函数在 x0 处可微处可微第32页以下函数中，是无界函数以下函数中，是无界函数但不是无穷大量是但不是无穷大量是 ().有界有界有界有界无界无界第33页以下命题正确是以下命题正确是 ().(A)无界变量就是无穷大量无界变量就是无穷大量；(B)无穷大量是无穷小量倒数无穷大量是无穷小量倒数；(C)f(x)在点在点 x0 不可导不可导,必在必在 x0 处不连续处不连续;(D)f(x)在在 a,b 连续连续,必在必在 a,b 有界有界。DB 错错;无穷大量是非零无穷小量倒数无穷大量是非零无穷小量倒数；第34页若若 f(x)在在 x=0 处连续处连续,则则 _;若若 f(x)在在 x=0 处可微处可微,则则 _。第35页设设 f(x)在在 x=x0 处可微处可微,且且_第36页D如如第37页设设 f(x)在在 x=0 某邻域内二阶可导某邻域内二阶可导，=0；=0；第38页设设 f(x)在在 x=0 某邻域内二阶可导某邻域内二阶可导，=e=e.第39页五、导五、导五、导五、导 数数数数 应应应应 用用用用函数定义区间，讨论各区间上函数定义区间，讨论各区间上 确定确定 f(x)在各区间上单调性。在各区间上单调性。及及 第二充分条件第二充分条件 利用第一充分条件，利用第一充分条件，在上述所分区间上，在上述所分区间上，判断函数极值点，判断函数极值点，并求出极值。并求出极值。求函数单调区间：求函数单调区间：(注意取得极值必要条件注意取得极值必要条件)求函数求函数极值极值：来划分来划分第40页坐标为坐标为(x0,y0)。求函数求函数凹凸区间凹凸区间与与拐点拐点：函数定义区间，讨论各区间上函数定义区间，讨论各区间上确定确定 f(x)在各区间上在各区间上凹凸性；凹凸性；求函数求函数最大值最大值与与最小值最小值：求出函数求出函数驻点驻点(及导数不存在点及导数不存在点)处函数值，处函数值，与与端点端点处函数值比较处函数值比较 最大者为最大值，最大者为最大值，最小者为最小值。最小者为最小值。对综合情况，列表讨论！对综合情况，列表讨论！凹弧与凸弧分界点为拐点，凹弧与凸弧分界点为拐点，来划分来划分第41页 驻点与极值点关系驻点与极值点关系驻点驻点 x0极值点极值点可导可导函数极值点函数极值点极值点与最值点关系极值点与最值点关系极值点极值点最值点最值点第42页在在 x=a 某去心邻域内某去心邻域内，由极限保号性，由极限保号性，B第43页处切线方程。处切线方程。参数方程中含有隐函数，参数方程中含有隐函数，方程两边对方程两边对 t 求导求导：t=0 时时，求切线斜率求切线斜率第44页作切线作切线，使此切线被两坐标轴所截线段使此切线被两坐标轴所截线段长度为最短长度为最短，并求此最短长度并求此最短长度。解：解：设设 P(x0,y0),xy0Px0则则 P点处切线方程点处切线方程：函数最值问题应用函数最值问题应用第45页xy0Px0P点处切线方程点处切线方程：l线段长度线段长度xy第46页为唯一驻点，为唯一驻点，问题中存在最小值，问题中存在最小值，最短长度最短长度第47页1.零点定理零点定理（证实方程根存在性证实方程根存在性）2.介值定理介值定理4.罗尔定理罗尔定理（证实导函数零点存在证实导函数零点存在）5.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理（导数导数与增量比关系，与增量比关系，证实不等式证实不等式）3.最大最小值定理最大最小值定理 六、利用定理进行证实六、利用定理进行证实六、利用定理进行证实六、利用定理进行证实6.利用函数单调性证实不等式利用函数单调性证实不等式7.利用函数最值证实不等式利用函数最值证实不等式第48页无穷小与函数极限关系无穷小与函数极限关系第49页证实不等式惯用方法证实不等式惯用方法：作出适当函数作出适当函数利用函数单调性利用函数单调性求出函数最值求出函数最值（当函数不单调时当函数不单调时）利用利用 L中值定理中值定理 （当不等式有增量形式时当不等式有增量形式时）利用泰勒公式利用泰勒公式第50页证实恒等式惯用方法：证实恒等式惯用方法：利用罗尔定理利用罗尔定理（要验证条件要验证条件）利用利用 L 中值定理中值定理利用利用 L 中值定理推论中值定理推论：第51页证实方程证实方程 f(x)=0 有根有根证实方程根存在性与唯一性：证实方程根存在性与唯一性：零点定理零点定理证实方程证实方程 f(x)=0 有根有根罗尔定理罗尔定理证实方程根唯一性证实方程根唯一性 利用函数单调性利用函数单调性 利用罗尔定理反证利用罗尔定理反证第52页相关中值问题解题方法相关中值问题解题方法利用利用逆向思维逆向思维,设辅助函数设辅助函数.普通解题方法普通解题方法:(1)(1)证实含一个中值等式或根存在证实含一个中值等式或根存在,(2)(2)若结论中包括到含中值两个不一样函数若结论中包括到含中值两个不一样函数,(3)(3)若结论中含两个或两个以上中值若结论中含两个或两个以上中值,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.多用多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯西中值定理柯西中值定理.必须必须屡次应用屡次应用中值定理中值定理.(4)(4)若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数,多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式,(5)(5)若结论为不等式若结论为不等式,要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小技巧技巧.有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.第53页=0，第54页得证。得证。由由 L 定理定理请同学们尝试着用函数单调性证实此题请同学们尝试着用函数单调性证实此题.第55页设设 f(x)在在 0,c 上连续上连续，在在(0,c)内可导内可导，由题意知，由题意知，在在(0,a),(b,a+b)内可导内可导，f(x)分别在分别在0,a,b,a+b上连续上连续，由拉格朗日中值定理，由拉格朗日中值定理，使得使得第56页使得使得则则所以所以第57页设设 0 a 1 时时,有有第58页设设 0 a 1 时时,有有所以当所以当 x 1 时时,有有证毕证毕第59页设设 f(x)在在0,1连续连续,在在(0,1)可微可微，且且 f(0)=0,证实：假如证实：假如 f(x)在在(0,1)上不恒等于零上不恒等于零，则在则在(0,1)内可导内可导，又又 F(x)在在 0,x0 上满足上满足 L 定理定理，第60页分析分析:问题转化为证问题转化为证所以可设辅助函数所以可设辅助函数请同学们完成证实过程请同学们完成证实过程.第61页设函数设函数 f(x)在在0,3 上连续上连续,在在(0,3)内可导内可导,且且 分析分析:所给条件可写为所给条件可写为试证必存在试证必存在 如能在如能在(0,3)内找到一点内找到一点 c,使使则在则在 c,3 上对上对 f(x)使用罗尔定理就能得所要结论使用罗尔定理就能得所要结论.因因 f(x)在在0,3上连续上连续,所以在所以在0,2上连续上连续,且在且在0,2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m,故故第62页设函数设函数 f(x)在在0,3 上连续上连续,在在(0,3)内可导内可导,且且 试证必存在试证必存在 由由介值定理介值定理,最少存在一点最少存在一点 因因 f(x)在在0,3上连续上连续,所以在所以在0,2上连续上连续,且在且在0,2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m,故故由由罗尔定理罗尔定理知知,必存在必存在 第63页取点取点再取异于再取异于点点对对为端点区间上用拉氏中值定理为端点区间上用拉氏中值定理,得得(定数定数)所以对任意所以对任意即得所证即得所证.第64页