微积分九版专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

歐亞書局微積分第九版方程式圖形方程式圖形2.2第1页歐亞書局歐亞書局歐亞書局2.2 方程式圖形方程式圖形學習目標手繪方程式圖形。求方程式圖形 x 截距和 y 截距。寫出圓方程式標準式。求兩個圖形交點。用數學模型做為現實生活問題模型並解之。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10第2页歐亞書局歐亞書局歐亞書局方程式圖形方程式圖形在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量關係，這些圖形為座標平面上點集合(參考 2.1 節範例 2)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10第3页歐亞書局歐亞書局歐亞書局兩個數量關係常以方程式來表示。比如，華氏與攝氏溫度關係可表示成方程式在本節，可學到描繪此類方程式圖形步驟。方程式圖形圖形(graph)就是這個方程式全部解點集合。方程式圖形方程式圖形第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10第4页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪方程式圖形描繪方程式圖形描繪 y 7 3x 圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10第5页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪方程式圖形描繪方程式圖形（解解）描繪方程式圖形最簡單方法就是繪點法，也就是找出方程式幾個解點，連同其值製成一個表格，以下所表示。比如，當 x 0 時y 7 3(0)7所以(0,7)為圖形上一個解點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10第6页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪方程式圖形描繪方程式圖形（解解）從表可知，(0,7)、(1,4)、(2,1)、(3,2)及 (4,5)是方程式解點，將這些點描繪出之後，可看出它們是在一條直線上，如圖 2.14所表示。所以方程式圖形就是通過這五個點直線。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10 圖圖2.14第7页歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提醒學習提醒雖然將圖 2.14 圖形視為 y 7 3x 圖形，實際上這只是圖形一部分。完整圖形應該是延伸到這一頁外面直線。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10第8页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 1描繪 y 2x 1 圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-10第9页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2描繪方程式圖形描繪方程式圖形描繪 y x2 2 圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11第10页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2描繪方程式圖形描繪方程式圖形（解解）首先製作表格，以下所表示。接著，畫出表中點，如圖 2.15(a)所表示。最後，以平滑曲線將各點連接起來，如圖 2.15(b)所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11第11页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2描繪方程式圖形描繪方程式圖形（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11 圖圖2.15第12页歐亞書局歐亞書局歐亞書局方程式圖型方程式圖型範例 2 中圖形為拋拋物線物線(parabola)。每一個二次方程式y=ax2+bx+c,a 0圖形都是拋物線。假如a 0，則拋物線開口向上，如圖 2.15(a)；假如 a 0，則拋物線開口向下。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11第13页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 2描繪 y x2 4 圖形。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11第14页歐亞書局歐亞書局歐亞書局方程式圖形方程式圖形範例 1 和範例 2 所表示繪點技巧雖然是很轻易使用，不过有一些缺點：假如解點太少，可能會使方程式圖形不是正確圖形。比如，該怎样連接在圖 2.16 中四個點？在沒有更多資訊之下，圖 2.17 中三個圖形都是合理。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11第15页歐亞書局歐亞書局歐亞書局方程式圖形方程式圖形第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11 圖圖2.16第16页歐亞書局歐亞書局歐亞書局方程式圖形方程式圖形第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11 圖圖2.17第17页歐亞書局歐亞書局歐亞書局代數技巧代數技巧代數技巧代數技巧求截距時就是要求解方程式。有關求解方程式之技巧複習，可參考本章代數複習。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-11第18页歐亞書局歐亞書局歐亞書局圖形截距圖形截距含有零解點，不论是 x 座標或 y 座標，都很轻易求得。因為這些點是圖形與 x 軸或 y 軸交點，所以稱為截距截距(intercepts)。有些書是用點(a,0)x 座標來表示 x 截距而不是點本身。除非有區分必要，否則將用截距這個名稱來表示點或座標。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12第19页歐亞書局歐亞書局歐亞書局圖形截距圖形截距一個圖形可能沒有截距或有數個截距，如圖 2.18 所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12 圖圖2.17第20页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求求 x 和和 y 截距截距求 y x3 4x 圖形 x 和 y 截距。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12第21页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求求 x 和和 y 截距截距（解解）要求 x 截距，先令 y 0，然後求 x 解 x34x0令y0 x(x24)0提出單項公因式 x(x2)(x2)0因式分解 x0,2 或 2 求 x 解因為這個方程式有三個解，所以圖型有三個 x 截距。(0,0),(2,0)(2,0)x 截距第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12第22页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求求 x 和和 y 截距截距（解解）要求 y 截距，先令 x 0，然後求 y 解，這樣做會得到yx34x034(0)0這個方程式只有一個解，所以圖形有一個 y 截距。(0,0)y 截距(參考圖 2.19。)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12第23页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求求 x 和和 y 截距截距（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12 圖圖2.19第24页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 3求 y x2 2x 3圖形 x 和 y 截距。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-12第25页歐亞書局歐亞書局歐亞書局圓圓讀者將由本書學會從方程式辨識幾種類型圖形。比如，y ax2 bx c，a 0 二次方程式之圖形是拋物線(參考範例2)，另一轻易辨識是圓圓(circle)方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13第26页歐亞書局歐亞書局歐亞書局圓圓考慮如圖 2.20 圓。一點(x,y)在圓上條件為若且唯若它與圓心(h,k)距離是 r。由距離公式可得，將方程式兩邊平方，即可得到圓方程式標準式圓方程式標準式(standard form of the equation of a circle)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13第27页歐亞書局歐亞書局歐亞書局圓圓第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13 圖圖2.20第28页歐亞書局歐亞書局歐亞書局圓圓第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13第29页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求圓方程式求圓方程式已知點(3,4)在圓心為(1,2)圓上，求此圓方程式標準式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13 第30页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求圓方程式求圓方程式（解解）圓半徑等於(1,2)和(3,4)之間距離。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13第31页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求圓方程式求圓方程式（解解）用(h,k)=(1,2)及 r，則圓方程式標準式為如圖 2.21 所表示第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13第32页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求圓方程式求圓方程式（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13 圖圖 2.21第33页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 4已知點(1,5)在圓心為(2,1)圓上，求此圓方程式標準式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-13第34页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點兩個圖形交點交點(point of intersection)就是這兩個圖形共同解點。比如，圖 2.22 所表示，方程式 y x2 3 和 y x 1 圖形有兩個交點：(2,1)和(1,2)。求交點時，先令兩方程式 y 值相等，然後解方程式 x2 3 x 1 以求 x 值。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14 圖圖2.22第35页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點交點常見商業應用就是損益平衡分析損益平衡分析(break-even analysis)。一種新產品行銷普通都需要一筆期初投資。當售出量足夠使總收入抵銷總成本時，產品銷售就達到損益平衡點損益平衡點(break-even point)。以 C 來表示生產 x 單位產品總成本總成本(total cost)，以 R 表示銷售 x 單位產品總收入總收入(total revenue)。令 C 等於 R 再求解 x 值就可得損益平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14第36页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5求損益平衡點求損益平衡點某家企业生產一種產品單位成本為$0.65，而單位售價為$1.20，生產此產品期初投資為$10,000。假如賣出 18,000 單位產品，這家企业會損益平衡嗎？要售出多少單位才能損益平衡？第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14第37页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6求損益平衡點求損益平衡點（解解）生產 x 單位產品總成本為 C 0.65x 10,000成本方程式成本方程式售出 x 單位總收入為 R 1.2x收入方程式收入方程式令成本等於收入，解出 x 值以求得損益平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14第38页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6求損益平衡點求損益平衡點（解解）所以假如只售出 18,000 單位，這家企业不會收支平衡，須售出18,182 單位才可收支平衡，由圖 2.23 可看出結果。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14第39页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6求損益平衡點求損益平衡點（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14 圖圖2.23第40页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 5在範例 5 中，假如產品單位售價是$1.45，則企业須售出多少單位才能損益平衡？第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14第41页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點經濟學家用來分析市場兩種應用是供給與需求方程式。供給方程式供給方程式(supply equation)表示一種產品價格 p 和它供給量 x 之間關係，供給方程式圖形稱為供給曲線供給曲線(supply curve)(參考圖2.24)。经典供給曲線是上升，因為生產者會想在單價較高時候賣出較多產品。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15第42页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15 圖圖2.24第43页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點需求方程式需求方程式(demand equation)表示一種產品單價 p 和它需求量 x 之間關係，需求方程式圖形稱為需求曲線需求曲線(demand curve)(參考圖 2.25)。经典需求曲線傾向於單價增加時需求量就減少。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15第44页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15 圖圖2.25第45页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點在理想情況下，假如沒有其它原因影響市場話，產量應該會固定在供給曲線和需求曲線交點，這個點稱為平衡點平衡點(equilibrium point)，平衡點 x 座標稱為平衡數量平衡數量(equilibrium quantity)，而 p 座標稱為平衡價格平衡價格(equilibrium price)(參考圖 2.26)。只要令需求方程式等於供給方程式再求解 x，即可得平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15第46页歐亞書局歐亞書局歐亞書局交點交點第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15 圖圖2.26第47页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6求平衡點求平衡點電子書閱讀器需求和供給方程式分別為 p=195 5.8x 需求方程式需求方程式 p=150+3.2x 供給方程式供給方程式其中 p 表示單價(美元)，而 x 表示數量(百萬)，求市場平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15第48页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6求平衡點求平衡點（解解）令需求方程式等於供給方程式。195 5.8x=150+3.2x 令方程式相等令方程式相等 45 5.8x=3.2x 等號兩邊各減等號兩邊各減 150 45=9x 等號兩邊各加等號兩邊各加 5.8x 5=x 等號兩邊各除以等號兩邊各除以 9所以平衡點發生在需求與供給皆為 5 百萬單位時(參考圖 2.27)。此時價格可由代入 x 5 到任一方程式而求得。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15第49页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平衡點求平衡點（解解）比如，代入需求方程式可得 p 195 5.8(5)195 29$166代入 x5 到供給方程式也會得到同樣價格。p 150+3.2(5)150+16$166第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15 圖圖2.27第50页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 6藍光影碟播放機需求與供給方程式分別為 p 136 3.5x 和 p 112 2.5x，其中 p 表示單價(美元)，而 x 表示數量(百萬)，求市場平衡點。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-15第51页歐亞書局歐亞書局歐亞書局數學模型數學模型本書將可看到很多使用方程式做為現實生活問題數學模型數學模型(mathematical models)例子。在發展用來表示實際資料數學模型時，應該朝向兩個(通常是相互牴觸)目標準確和簡易。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16第52页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7數學模型使用數學模型使用下表顯示從 到 年 Dillard Tree 和 99 Cents Only Stores 企业年營業額(百萬美元)。在 年，Value Line 預測 年兩家企业年營業額分別為$5770(百萬)和$1430(百萬)。這些預測是怎样得到？(資料來源：資料來源：Dillard Tree 和和 99 Cents Only Stores 企企业业)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16第53页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7數學模型使用數學模型使用（解解）這些預測是用過去營收來推測未來營業額所得到。過去營收用一個方程式來做模型，而這個方程式是由一種統計學最小平方迴歸分析方法所得到。S=10.764t2 +284.3t +1757.3,5 t 9 Dillard Tree S=3.486t2 +134.94t +430.4,5 t 9 99 Cents Only Stores第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16第54页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7數學模型使用數學模型使用（解解）用 t 10 表示 年，則可推測 年營業額為 S=10.764(10)2+284.31(10)+1757.3 5676.8 Dillard TreeS=3.486(10)2 +134.94(10)+430.4 1431.2 99 Cents Only Stores 這兩個預測值非常靠近 Value Line 預測，兩個模型圖形顯示在圖 2.28。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16第55页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7數學模型使用數學模型使用（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16 圖圖2.28第56页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 7下表顯示從 到 年 BJs Wholesale Club年營業額，在 夏天，Value Line 預測 年 BJs Wholesale Club年營業額為$11,150(百萬)，此預測與以下模型預測怎样比較？(資料來源：BJs Wholesale Club企业)S 17.393t2 845.59t 4097.7,5 t 9第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-16第57页歐亞書局歐亞書局歐亞書局數學模型數學模型若要評估模型準確度，可將實際值與模型預測值做比較。試著對範例 7 每一個模型做同樣事情。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17第58页歐亞書局歐亞書局歐亞書局數學模型數學模型微積分內容大都以數學模型之圖形變化為中心，圖 2.29 顯示六個基本代數方程式圖形，熟悉這些圖形將有助於建立數學模型，從而加以應用。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17第59页歐亞書局歐亞書局歐亞書局數學模型數學模型第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-17 圖圖2.29第60页歐亞書局歐亞書局歐亞書局總結總結(2.2節節)1.怎样手繪方程式圖形，參考範例 1 和 2。2.怎样求一個圖形 x 截距和 y 截距，參考範例 3。3.圓方程式標準型定義，參考範例 4。4.怎样求兩個方程式圖形交點，參考範例 5。5.損益平衡點分析，參考範例 5。6.供給方程式和需求方程式，參考範例 6。7.數學模型，參考範例 7。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-14第61页