微积分第九版市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

歐亞書局微積分第九版平面上直線與斜率平面上直線與斜率2.3第1页歐亞書局歐亞書局歐亞書局2.3 平面上直線與斜率平面上直線與斜率學習目標用線性方程式斜截式繪圖。求經過兩點直線斜率。用點斜式寫出直線方程式。求平行線以及垂直線方程式。用線性方程式做為現實生活問題模型並解之。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-20第2页歐亞書局歐亞書局歐亞書局斜率使用斜率使用連結兩個變數最簡單數學模型是線性方程式線性方程式(linear equation)y mx b。這種方程式稱為線性，是因為其圖形是直線。當 x 0時，直線與 y 軸相交於 y b，如圖 2.30 所表示。也就是 y 截距為(0,b)。這條直線坡度或斜率為 m。斜率斜率(slope)即直線在由左至右水平移到 1 個單位時垂直上升(或下降)單位數，如圖 2.30 所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-20第3页歐亞書局歐亞書局歐亞書局斜率使用斜率使用第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-20 圖圖2.30第4页歐亞書局歐亞書局歐亞書局斜率使用斜率使用線性方程式寫成 y mx b 時稱為斜截式斜截式(slope-intercept form)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21第5页歐亞書局歐亞書局歐亞書局斜率使用斜率使用垂直線方程式為x a垂直線垂直線因為這類方程式不能寫成 y mx b 形式，所以垂直線斜率是沒有定義，如圖 2.31所表示。一旦確定直線斜率以及 y 截距，描繪其圖形就是相當簡單事。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21第6页歐亞書局歐亞書局歐亞書局斜率使用斜率使用第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21 圖圖2.31第7页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪線性方程式圖形描繪線性方程式圖形描繪以下線性方程式圖形。a.y=2x+1b.y=2c.x+y=2第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21第8页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪線性方程式圖形描繪線性方程式圖形（解解）a.因為 b 1，所以 y 截距為(0,1)。另外，因為斜率 m 2，所以直線每往右移動 1 個單位就會上升 2 單位，如圖 2.32(a)所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21 圖圖 2.32第9页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪線性方程式圖形描繪線性方程式圖形（解解）b.將方程式寫成 y (0)x 2，可得 y 截距為(0,2)及斜率為 0。零斜率意味著直線是水平，也就是不會上升或下降，如圖2.32(b)所表示。P.2-21 圖圖 2.32第10页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪線性方程式圖形描繪線性方程式圖形（解解）c.將方程式寫成斜截式。x+y=2 寫出原方程式寫出原方程式 y=x+2 兩邊減兩邊減 x y=(1)x+2 寫成斜截式寫成斜截式可得 y 截距為(0,2)。另外，因為斜率是 m 1，所以直線每往右移動 1 個單位就會下降一單位，如圖 2.32(c)所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21 第11页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1描繪線性方程式圖形描繪線性方程式圖形（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21 圖圖 2.32第12页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 1描繪以下線性方程式圖形。a.y 4x 2b.x 1c.2x y 6第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-21第13页歐亞書局歐亞書局歐亞書局斜率使用斜率使用在現實生活問題中，斜率可解釋為百分比或比率。當 x 軸和 y軸單位相同時，則斜率沒有單位而只是一個百分比百分比(ratio)。當 x軸和 y 軸單位不一样時，則斜率表示比率比率(rate)或變化率變化率(rate of change)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22第14页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2：斜率視為百分比應用斜率視為百分比應用輪椅坡道建議最大斜率是 0.083。一家企业安裝一個輪椅坡道，其水平長度為 24 呎及高度為 22 吋，如圖 2.33 所表示。此坡道是否比建議更陡峭？(資料來源：資料來源：美國障礙法案手冊美國障礙法案手冊)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22 圖圖2.33第15页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2斜率視為百分比應用斜率視為百分比應用（解解）坡道水平長度為 24 呎或者為 12(24)288 吋，所以坡道斜率是所以此坡道並沒有比建議陡峭。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22第16页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 2假如範例 2 坡道之水平長度為 26 呎及高度為 27 吋，是否比建議坡道陡峭？第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22第17页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3斜率做為變化率應用斜率做為變化率應用一家製造企业確定生產 x 單位產品總成本是 C 25x 3500，對此方程式直線，說明 y 截距和斜率實際意義。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22第18页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3斜率做為變化率應用斜率做為變化率應用（解解）y 截距(0,3500)表示生產零單位成本為$3500。此為生產固定成本固定成本(fixed cost，不论生產多少單位都必須支付此成本)，斜率m 25 表示每生產一單位成本是$25，如圖 2.34 所表示。經濟學家將每一單位成本稱為邊際成本邊際成本(marginal cost)，假如生產增加一單位，則邊際或額外成本是$25。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22第19页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3斜率做為變化率應用斜率做為變化率應用（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22 圖圖2.34第20页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 3一家小企业購買一部影印機且在 t 年後價值為 V 300t 1500，對此方程式直線，說明 y 截距和斜率實際意義。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-22第21页歐亞書局歐亞書局歐亞書局求直線斜率求直線斜率已知一個非垂直線方程式，可將方程式寫成斜截式而求出斜率。假如沒有已知方程式，還是可求出斜率。比如，假設要求得經過點(x1,y1)和(x2,y2)之直線斜率，如圖 2.35 所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23第22页歐亞書局歐亞書局歐亞書局求直線斜率求直線斜率第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23 圖圖2.35第23页歐亞書局歐亞書局歐亞書局求直線斜率求直線斜率沿著直線由左往右移動時，若在水平方向有(x2 x1)單位變化量則在垂直方向有(y2 y1)單位變化量，這兩種變化量以以下符號表示。y y2 y1 y 變化量和x x2 x1 x 變化量(符號 是希臘文 delta 大寫字母，符號 y 和 x 唸成“delta y”和“delta x”。)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23第24页歐亞書局歐亞書局歐亞書局y 和 x 比值為經過(x1,y1)和(x2,y2)之直線斜率。注意 x 代表一個數，而不是兩個數相乘(和 x)，y 也是一樣。求直線斜率求直線斜率第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23第25页歐亞書局歐亞書局歐亞書局求直線斜率求直線斜率第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23第26页歐亞書局歐亞書局歐亞書局求直線斜率求直線斜率用這個公式求斜率時，減法運算順序是很主要。已知直線上兩點，可任意令其中一點為(x1,y1)，而另外一點為(x2,y2)。一旦設定，分子和分母相減運算順序要一致。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23第27页歐亞書局歐亞書局歐亞書局比如，經過點(3,4)和(5,7)之直線斜率算法為或求直線斜率求直線斜率第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-23第28页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求直線斜率求直線斜率求經過以下每一對點直線斜率。a.(2,0)和(3,1)b.(1,2)和(2,2)c.(0,4)和(1,1)d.(3,4)和(3,1)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24第29页歐亞書局歐亞書局歐亞書局a.令(x1,y1)(2,0)和(x2,y2)(3,1)，則可得斜率為如圖 2.36(a)所表示。範例範例 4求直線斜率求直線斜率（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24 圖圖2.36第30页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求直線斜率求直線斜率（解解）b.經過(1,2)和(2,2)直線斜率是第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24 圖圖2.36第31页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求直線斜率求直線斜率（解解）c.經過(0,4)和(1,1)直線斜率是第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24 圖圖2.36第32页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求直線斜率求直線斜率（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24 圖圖2.36d.經過(3,4)和(3,1)垂直線斜率是無定義，因為除以 0 是沒有意義(參考 圖 2.36(d)。第33页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 4求經過以下每一對點直線斜率。a.(3,2)和(5,18)b.(2,1)和(4,2)c.(2,4)和(2,4)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-24第34页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式當你知道直線斜率以及在直線一個點座標，就能够求出直線方程式。比如，在圖 2.37，假如(x1,y1)是斜率為 m 非垂直線上一個點，以及(x,y)是直線上任意其它點，則這個含變數 x 和 y 方程式可寫成 y y1 m(x x1)形式，稱為直線方程式點斜式點斜式(point-slope form)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25第35页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式在非垂直線上任兩點可用來確定此直線斜率第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25 圖圖2.37第36页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式求非垂直線方程式時，點斜式最好用，應該熟記此方程式方便今後隨時使用。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25第37页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5用點斜式用點斜式求斜率為 3 且經過點(1,2)直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25第38页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5用點斜式用點斜式（解解）用點斜式，已知 m 3 以及(x1,y1)(1,2)。y y1=m(x x1)點斜式點斜式 y (2)=3(x 1)代入代入 m、x1 和和 y1 值值 y+2=3x 3 化簡化簡 y=3x 5 寫成斜截式寫成斜截式此直線方程式斜截式是 y 3x 5，其圖形如圖 2.38 所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25第39页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5用點斜式用點斜式（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25 圖圖2.38第40页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 5求斜率為 2 且經過點(1,2)直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25第41页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式點斜式可用來求經過點(x1,y1)和(x2,y2)直線方程式，首先求此直線斜率然後用點斜式可得方程式也稱為此直線方程式兩點式兩點式(two-point form)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-25第42页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6稀釋後每股盈餘稀釋後每股盈餘Tim Hortons 企业稀釋後每股盈餘(稀釋後 EPS)在 年是$1.43，而 年是$1.55。用這些資料，寫出以年為變數表示稀釋後 EPS 之線性方程式，然後預測 年稀釋後EPS。(資料來源：Tim Hortons 企业)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26第43页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6稀釋後每股盈餘稀釋後每股盈餘（解解）令 t 7 表示 年，則兩筆已知數值用點(7,1.43)和(8,1.55)來表示，經過這兩點之直線斜率為用點斜式，可求得表示稀釋後EPS y 與年 t 關係方程式是 y 0.12t 0.59。用 t 9表示 可預測 年稀釋後 EPS 為y 0.12(9)0.591.080.591.67第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26第44页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6稀釋後每股盈餘稀釋後每股盈餘（解解）根據此方程式可得 年稀釋後 EPS為$1.67，如圖 2.39 所表示(這個實例中預測相當準確在 年實際稀釋後 EPS 是$1.64)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26第45页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6稀釋後每股盈餘稀釋後每股盈餘（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26 圖圖2.39第46页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 6A 稀釋後 EPS在 年和 年分別為$0.45 和$1.49。根據這僅有資料，將稀釋後 EPS寫成以年為變數線性方程式，然後預測 年稀釋後 EPS。(資料來源：資料來源：A)第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26第47页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式在範例 6 中所提預測方法稱為線性外插法線性外插法(linear extrapolation)。注意，在圖 2.40(a)中外插點並不在給定兩點之間。當估計點位於兩個給定點之間，如圖 2.40(b)所表示，這種方法稱為線性線性內內插法插法(linear interpolation)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26第48页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26 圖圖 2.40第49页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式因為垂直線斜率沒有定義，它方程式不能寫成斜截式。然而，每一條直線方程式都可寫成普普通式通式(general form)，即其中 A 和 B 不能同時為 0。比如，垂直線 x a 可用普通式x a 0 來表示。以下為五個惯用直線方程式形式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-26第50页歐亞書局歐亞書局歐亞書局直線方程式形式直線方程式形式第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27第51页歐亞書局歐亞書局歐亞書局平行線和相互垂直線平行線和相互垂直線斜率可用來判定兩條非垂直線是否平行、垂直，或者都不是。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27第52页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平行線和相互垂直線求平行線和相互垂直線求經過點(2,1)以及a.與直線 2x 3y 5 平行直線方程式。b.與直線 2x 3y 5 垂直直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27第53页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平行線和相互垂直線求平行線和相互垂直線（解解）將已知直線方程式寫成斜截式，即由此可得所求直線斜率為 ，如圖 2.41 所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27第54页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平行線和相互垂直線求平行線和相互垂直線（解解）a.與已知之直線平行直線，其斜率必定是 。所以經過(2,1)而與已知之直線平行直線方程式為第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27第55页歐亞書局歐亞書局歐亞書局b.與已知之直線垂直直線，其斜率必為 。所以經過(2,1)且與已知之直線垂直直線方程式為範例範例 7求平行線和相互垂直線求平行線和相互垂直線（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28第56页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平行線和相互垂直線求平行線和相互垂直線（解解）第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-27 圖圖2.41第57页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 7求經過點(2,1)以及a.與直線 2x 4y 5 平行直線方程式。b.與直線 2x 4y 5 垂直直線方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28第58页歐亞書局歐亞書局歐亞書局延伸應用：線性折舊延伸應用：線性折舊大部分營業費用在當年度都可扣除。有一種例外就是使用壽命超過一年資產費用，如建築物、汽車或設備。這樣費用在資產使用壽命期間會折舊折舊(depreciated)。假如每一年折舊金額一樣，這個程序稱為線性折舊線性折舊(linear depreciation)或直直線折舊線折舊(straight-line depreciation)。帳面價值就是原價扣掉迄今折舊總額差額。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28第59页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 8設備折舊設備折舊企业花$12,000 購買一部使用壽命 8 年機器。經過 8 年後殘餘價值為$。寫出描述這部機器每一年帳面價值線性方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28第60页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 8設備折舊設備折舊（解解）另V 表示 t 年後機器價值。可用有序對(0,12,000)表示機器最初價值以及有序對(8,)表示殘餘價值。則直線斜率為它表示每一年折舊金額。用點斜式來寫出直線方程式以下所表示。V 12,000=1250(t 0)點斜式 V=1250t+12,000 斜截式第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28第61页歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 8設備折舊設備折舊（解解）方程式圖形如圖 2.42 所表示。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28 圖圖2.42第62页歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢檢查查站站 8假如 8 年後殘餘價值為$1000，寫出表示範例 8 中機器每一年帳面價值線性方程式。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-28第63页歐亞書局歐亞書局歐亞書局總結總結(2.3節節)1.直線斜截式方程式，參考範例 1。2.解釋怎样判斷直線斜率表示一種比率或是一種變化率。範例 2 為斜率表示一種比率例子。範例 3 為斜率表示一種變化率例子。3.求經過兩點直線斜率，參考範例 4。4.直線點斜式方程式，參考範例 5 和 6。5.解釋怎样判斷兩條直線是否平行、相互垂直，或兩者都不是，參考範例 7。6.描述一個線性方程式怎样用來分析財產折舊實例(範例 8)。第二章函數、圖形與極限第二章函數、圖形與極限P.2-2829第64页