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微积分（上）知识点微积分（上）知识点微积分（上）知识点微积分（上）知识点微积分（上）复习微积分（上）复习微积分（上）复习微积分（上）复习第1页2/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第一章第一章 函数函数1.函数概念函数概念函数两要素：定义域函数两要素：定义域Df和对应规则和对应规则f,由由f(x)求求 f(x)2.函数基本性质函数基本性质奇偶性、单调性、有界性与周期性奇偶性、单调性、有界性与周期性3.反函数概念反函数概念本义反函数、矫形反函数本义反函数、矫形反函数单调函数一定存单调函数一定存在反函数。在反函数。4.经济函数经济函数成本函数、收益函数、利润函数成本函数、收益函数、利润函数同时练习同时练习P1 一、一、4，12，9第2页3/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第二章第二章 极限与连续极限与连续1.极限存在充要条件极限存在充要条件2.无穷小与无穷大概念与性质无穷小与无穷大概念与性质（1）无穷小）无穷小有限个无穷小量代数和仍是无穷小量。有限个无穷小量代数和仍是无穷小量。有界量与无穷小量积仍是无穷小。有界量与无穷小量积仍是无穷小。同时练习同时练习P3 一、一、20二、二、12第3页4/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）（2）无穷大）无穷大无穷大与有界变量代数和是无穷大无穷大与有界变量代数和是无穷大.无穷大与非零常数乘积是无穷大无穷大与非零常数乘积是无穷大.无穷大与无穷大乘积是无穷大无穷大与无穷大乘积是无穷大.无穷大与无穷大无穷大与无穷大和和不一定是无穷大不一定是无穷大.（3）无穷小与无穷大关系）无穷小与无穷大关系等价无穷小替换必须是因子。等价无穷小替换必须是因子。第4页5/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）3.连续函数概念连续函数概念(2)闭区间连续函数性质闭区间连续函数性质最值定理最值定理有界性定理有界性定理介值定理介值定理零点定理零点定理(极限计算代入法理论基础极限计算代入法理论基础)同时练习同时练习P4 一、一、29同时练习同时练习P6 四、四、2第5页6/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(3)间间断断点点第一类间断点第一类间断点(左右极限都存左右极限都存在点在点).).跳跃间断点跳跃间断点(左左右极限不相等右极限不相等)可去间断点可去间断点(左左右极限相等右极限相等)第二类间断点第二类间断点(左右极限最少左右极限最少有一个不存在有一个不存在点点).).非无穷间断点非无穷间断点 比如：振荡比如：振荡无穷间断点无穷间断点(左右左右极限最少有一个为极限最少有一个为)同时练习同时练习P5 二、二、15第6页7/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）4.两个主要极限两个主要极限第一主要极限第一主要极限第二主要极限第二主要极限同时练习同时练习P4 二、二、4第7页8/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）5.极限计算极限计算(1)确定型极限计算确定型极限计算:主要利用极限运算法则、无穷小与有界变量乘积主要利用极限运算法则、无穷小与有界变量乘积仍为无穷小、无穷大与无穷小关系。仍为无穷小、无穷大与无穷小关系。(2)未定式极限计算未定式极限计算:等价无穷小替换、分解因式（或根式有理化）约去等价无穷小替换、分解因式（或根式有理化）约去零因子、第一个主要极限、洛比达法则零因子、第一个主要极限、洛比达法则分子、分母同除一个无穷大、洛比达法则分子、分母同除一个无穷大、洛比达法则第二个主要极限第二个主要极限化乘法为除法化乘法为除法通分或根式有理化通分或根式有理化幂指函数未定式借幂指函数未定式借助对数恒等变形转助对数恒等变形转化为基本型化为基本型同时练习同时练习P6 一、一、4，11，14二、二、1，6第8页9/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第三章第三章 导数与微分导数与微分1.导数概念和几何意义导数概念和几何意义切线方程：切线方程：2.导数计算导数计算(1)求导公式及四则运算法则求导公式及四则运算法则注：定义式注：定义式求导：求导：分段函数分段点分段函数分段点某点是某点是否可导未知否可导未知用公式求导太繁。用公式求导太繁。同时练习同时练习P6 一、一、6二、二、2，3，4同时练习同时练习P7 一、一、23第9页10/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(2)复合函数复合函数求导求导链式法则链式法则(4)对数求导法对数求导法方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导,再解再解以以y为未知数为未知数方程方程.(3)隐函数求导法隐函数求导法先方程两边取对数先方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数然后利用隐函数求导方法求出导数.(5)高阶导数高阶导数只须逐阶求导只须逐阶求导:同时练习同时练习P6 一、一、13，33，35二、二、6，9，16第10页11/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(6)幂指函数求导法幂指函数求导法取自然对数化为隐函数再求导取自然对数化为隐函数再求导.利用对数恒等式化为利用对数恒等式化为以以e为底复合函数为底复合函数,再求导再求导.3.微分概念及计算微分概念及计算(1)微分公式及四则运算法则微分公式及四则运算法则(2)微分形式不变性微分形式不变性(3)微分近似计算微分近似计算同时练习同时练习P6 一、一、8，28，31第11页12/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）4.连续、可导、可微关系连续、可导、可微关系5.边际与弹性边际与弹性6.分段函数连续与可导判断分段函数连续与可导判断 边际成本边际成本边际收益边际收益表示销售第表示销售第(x+1)个产品所增加收入近似值个产品所增加收入近似值.边际利润边际利润表示销售第表示销售第(x+1)个产品所增加利润近似值个产品所增加利润近似值.表示生产第表示生产第(x+1)个产品所增加成本近似值个产品所增加成本近似值.当价格为当价格为p 时，若提价时，若提价(降价降价)1%)1%，则需求量将降低，则需求量将降低（增加）（增加）同时练习同时练习P7 一、一、27二、二、5第12页13/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用1.中值定理中值定理(1)罗尔定理罗尔定理(2)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(3)柯西中值定理柯西中值定理推论推论:第13页14/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(4).中值定理及推论证实等式和不等式中值定理及推论证实等式和不等式等式等式 f(x)=A 证实证实含有含有 f()等式证实等式证实证实含有某函数在两点函数值之差证实含有某函数在两点函数值之差 f(b)f(a)不等式不等式同时练习同时练习P10 一、一、1五、五、3，4第14页15/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）2.罗比塔法则罗比塔法则(1)罗比塔法则适用范围罗比塔法则适用范围:(2)罗比塔法则技巧罗比塔法则技巧使使用方法则前，使使用方法则前，进行等价无穷小因子替换或用极进行等价无穷小因子替换或用极限不为零因子极限值置换，限不为零因子极限值置换，要尽可能简化极限表示式；要尽可能简化极限表示式；极限存在极限存在“项项”，先分离出去。，先分离出去。数列极限要先转化为函数极限，才能使使用方法则。数列极限要先转化为函数极限，才能使使用方法则。利用罗比塔法则求极限利用罗比塔法则求极限,使用前检验是否满足条件使用前检验是否满足条件,一定是对分子分母分别求导一定是对分子分母分别求导;能够连续使用能够连续使用.第15页16/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）3.单调区间与极值单调区间与极值(1)写出函数定义域；写出函数定义域；(2)求驻点求驻点y=0和和y 不存在点；不存在点；(3)列表考查所求点将定义域分成若干子区间内列表考查所求点将定义域分成若干子区间内y符号，判符号，判定函数单调性定函数单调性，确定极值点。，确定极值点。4.凹凸区间与拐点凹凸区间与拐点(1)写出函数定义域；写出函数定义域；(2)求求y=0和和y 不存在点；不存在点；(3)列表考查所求点将定义域分成若干子区间内列表考查所求点将定义域分成若干子区间内y“符号，符号，判定区间内凹凸判定区间内凹凸，确定拐点。，确定拐点。第16页17/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）5.最值与应用题最值与应用题(1)全部驻点和不可导点函数值与区间两端点函数值比较全部驻点和不可导点函数值与区间两端点函数值比较,可得最值可得最值;(2)实际问题中最值：普通是唯一极值转化为实际问题最值实际问题中最值：普通是唯一极值转化为实际问题最值（注意极值判定方法）；（注意极值判定方法）；(3)利用最值证实不等式：要证利用最值证实不等式：要证f(x)A或或(f(x)A),只只需证实需证实A 是是f(x)最值。最值。6.渐近线渐近线(1)水平渐近线水平渐近线(2)铅垂渐近线铅垂渐近线同时练习同时练习P12 四、四、7第17页18/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(3)斜渐近线斜渐近线7.微分法作图微分法作图(三点一线作图法三点一线作图法)同时练习同时练习P10一、一、8，13二、二、3四、四、88.泰勒中值定理与泰勒公式泰勒中值定理与泰勒公式麦克劳林公式麦克劳林公式第18页19/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第五章第五章 不定积分不定积分1.1.原函数与不定积分概念：原函数与不定积分概念：F(x)是是f(x)在在I上上一个原函数一个原函数.函数函数f(x)在在I上连续，或最多有有限个有限间断点，上连续，或最多有有限个有限间断点，f(x)在在I上原函数存在，即上原函数存在，即f(x)在在I上可积。上可积。不定积分是全部原函数集合。不定积分是全部原函数集合。第19页20/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）2.2.不定积分性质：不定积分性质：不定积分线性性质：不定积分线性性质：不定积分与求导互逆运算性质：不定积分与求导互逆运算性质：第20页21/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）按方法分有按方法分有 3.3.不定积分计算：不定积分计算：第一换元法（凑微分）第一换元法（凑微分）第21页22/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第二换元法第二换元法分部积分公式分部积分公式第22页23/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）按被积函数分有按被积函数分有 有理函数积分，重点是真分式积分。有理函数积分，重点是真分式积分。真分式先化为部分分式之和，再积分。真分式先化为部分分式之和，再积分。真分式分解法：待定系数法（比较系数法、赋值法）真分式分解法：待定系数法（比较系数法、赋值法）恒等变形法（配项法）恒等变形法（配项法）真分式积分：真分式积分：第23页24/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第24页25/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第25页26/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第26页27/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）积分计算关键积分计算关键:怎样依据被积函数类别以及表示式怎样依据被积函数类别以及表示式特征，快速地选择恰当积分方法。特征，快速地选择恰当积分方法。4.4.不定积分应用不定积分应用已知切线，求原函数曲线；已知切线，求原函数曲线；已知边际函数求成本、收益、利润函数。已知边际函数求成本、收益、利润函数。第27页28/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）一一.填空（每小题填空（每小题 2 2分，共分，共2020分）分）第28页29/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）一一.填空（每小题填空（每小题 2 2分，共分，共2020分）分）第29页30/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）二二.单项选择（每小题单项选择（每小题2 2分，共分，共1 10 0分）分）第30页31/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）二二.单项选择（每小题单项选择（每小题2 2分，共分，共1 10 0分）分）第31页32/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题（每小题三、计算题（每小题7 7分，共分，共4949分）分）第32页33/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题（每小题三、计算题（每小题7 7分，共分，共4949分）分）解：解：第33页34/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第34页35/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）解：解：解：解：第35页36/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）解：解：解：解：第36页37/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）令令第37页38/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、应用题（每小题四、应用题（每小题8 8分，共分，共1616分）分）解：解：列表讨论列表讨论:拐点拐点第38页39/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）2.已知某企业某商品需求函数为已知某企业某商品需求函数为 ，求，求（1 1）求）求P=6P=6时，若价格上涨时，若价格上涨2%2%，总收入怎样改变？，总收入怎样改变？（2 2）价格为多少时，总收入最大？）价格为多少时，总收入最大？(1)需求弹性需求弹性:解：解：收入价格弹性收入价格弹性:价格上涨价格上涨2%，即，即:第39页40/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）P=6时，若价格上涨时，若价格上涨2%，总收入将增加，总收入将增加1.34%(2)第40页41/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）五、证实题（五、证实题（5 5分）分）证实证实:满足罗尔定理全部条件满足罗尔定理全部条件,完完第41页42/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）一一.填空（每小题填空（每小题 3 3分，共分，共1515分）分）第42页43/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）二二.单项选择（每小题单项选择（每小题3 3分，共分，共1 15 5分）分）第43页44/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第44页45/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题三、计算题(一一)（每小题（每小题5 5分，共分，共1515分）分）第45页46/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题三、计算题(一一)（每小题（每小题5 5分，共分，共1515分）分）第46页47/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题三、计算题(一一)（每小题（每小题5 5分，共分，共1515分）分）第47页48/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题三、计算题(一一)（每小题（每小题5 5分，共分，共1515分）分）第48页49/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题(二二)（每小题（每小题7 7分，共分，共3535分）分）第49页50/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题(二二)（每小题（每小题7 7分，共分，共3535分）分）切线方程为切线方程为:第50页51/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题(二二)（每小题（每小题7 7分，共分，共3535分）分）对方程两边求导对方程两边求导:对对(1)式两边求导式两边求导:第51页52/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题(二二)（每小题（每小题7 7分，共分，共3535分）分）第52页53/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题(二二)（每小题（每小题7 7分，共分，共3535分）分）取对数取对数:求导求导:得唯一驻点得唯一驻点:对对(1)式求导式求导:第53页54/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题(二二)（每小题（每小题7 7分，共分，共3535分）分）第54页55/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）五、应用题（每小题五、应用题（每小题8 8分，共分，共1616分）分）第55页56/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）列表讨论列表讨论:极小极小拐点拐点拐点拐点第56页57/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）五、应用题（每小题五、应用题（每小题8 8分，共分，共1616分）分）2.设某商品销售单价为设某商品销售单价为5元元,生产中可变成本为每单位生产中可变成本为每单位3.75元元,又因产量与广告费又因产量与广告费A之间关系为之间关系为 ,且生产产品经广告宣传后全部销售且生产产品经广告宣传后全部销售,求产品利润最大求产品利润最大时最优广告投入时最优广告投入A.成本成本:收益收益:利润利润:第57页58/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）利润利润:第58页59/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）六、证实题（六、证实题（4 4分）分）证实证实:满足罗尔定理全部条件满足罗尔定理全部条件,完完第59页60/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第60页61/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第61页62/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第62页63/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第63页64/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第64页65/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第65页66/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第66页67/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第67页