微积分微分方程简介省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

一、微分方程定义一、微分方程定义二、微分方程解二、微分方程解第一节第一节微分方程基本概念微分方程基本概念第1页一、微分方程定义一、微分方程定义定义9.1 含有自变量、未知函数以及未知函数导数(或微分)函数方程,称为微分方程.未知函数为一元函数微分方程,称为常微分方程;未知函数为多元函数,从而出现偏导数微分方程,称为偏微分方程.比如,方程a为常数 (9.1)第2页都是常微分方程.而方程都是偏微分方程.将常微分方程简称为微分方程,甚至简称为方程.第3页定义9.2 微分方程中最高阶导数阶数,称为微分方程阶.n阶(常)微分方程普通形式为其中x为自变量,y为未知函数;是 已知函数,而且y(n)一定要出现.第4页 假如方程(9.8)左端函数F为 线性函数,则称(9.8)为n阶线性(常)微分方程,其普通形式为其中a1(x),an(x)和f(x)均为x已知函数.不是线性微分方程微分方程,统称为非线性微分方程.第5页二、微分方程解二、微分方程解定义9.3 假如将已知函数 代入方程(9.8)后,能使其成为恒等式,则称函数 为方程(9.8)解;假如由关系式(x,y)=0确定隐函数 是方程(9.8)解,则称(x,y)=0为方程(9.8)隐式解.比如,y=eat,y=Ceat(C为常数)都是方程(9.1)解;而x2+y2=1是方程(9.4)隐式解.第6页定义9.4 假如含有n个(独立)任意常数C1,C2,Cn函数或是方程(9.8)解,则称(9.10)为方程(9.8)通解;在通解(9.10)中任意常数C1,C2,Cn一组确定值而得到解,称为方程(9.8)特解.第7页 比如,y=Ceat(C为任意常数)是一阶方程(9.1)通解,因为此解恰含一个任意常数C;在此通解中令C=5,则y=5eat为方程(9.1)一个特解.又如二阶方程通解为y=C1sinx+C2cosx其中C1,C2为任意常数.第8页 通常,为了确定n阶方程(9.8)某个特解,需给出该特解应满足附加条件,称为定解条件.n阶微分方程(9.8)常见定解条件是称(9.12)为初始条件,其中x0,y0,y1,yn为n+1个给定常数.第9页 求微分方程满足某个定解条件或初始条件特解问题,称为微分方程定解问题或初值问题.比如,初值问题:特解分别为y=sinx,y=cosx.第10页