概率论与数理统计总结.doc

第一章 随机事件与概率第一节 随机事件及其运算1、 随机现象:在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为=，其中表示基本结果，又称为样本点。3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示，表示必然事件，表示不可能事件.4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。5、 时间的表示有多种：（1） 用集合表示，这是最基本形式（2） 用准确的语言表示（3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系(1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B,即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为AB；（2）相等关系：若AB且BA,则称事件A与事件B相等，记为AB。（3)互不相容：如果AB=，即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 AB。（2)事件A与B的交:事件A与事件B同时发生，记为A B或AB。（3)事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 AB。用交并补可以表示为。（4)对立事件：事件A的对立事件(逆事件）,即“A不发生，记为。对立事件的性质：。8、事件运算性质:设A，B,C为事件，则有(1)交换律:AB=BA，AB=BA（2）结合律：A(BC）=(AB)C=ABC A(BC)=（AB)C=ABC（3）分配律:A(BC)（AB）（AC）、A（BC）(AB)（AC)= ABAC（4）棣莫弗公式(对偶法则):9、事件域：含有必然事件，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类称为事件域，又称为代数.具体说,事件域满足：(1)；（2）若A，则对立事件；（3)若An，n=1，2，则可列并。10、两个常用的事件域: (1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域； （2)连续样本空间(如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形)逐步扩展而成的事件域。第二节 概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域上的一个实值函数P(A）满足:（1）非负性公理：若A，则P(A）0；（2）正则性公理：P（）1（3）可列可加性公理：若A，,A2，,A3互不相容，则有，即,则称P(A)为时间A的概率,称三元素(,，P)为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中,用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是： （1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行;（2） 在n次重复试验中,记n(A)为事件A出现的次数，称fn(A)=, 为事件A出现的频率;（3） 频率的稳定值就是概率；（4） 当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值.3、确定概率的古典方法:它的基本思想是：（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个；（2） 每个样本点发生的可能性相等(等可能性)；（3） 若事件A含有k个样本点,则事件A的概率为P（A)=。4、确定概率的几何方法:它的基本思想是：（1） 如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用Sn表示;（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；（3） 若事件A为中某个子区域，且其度量为SA，则事件A的概率为P（A）= 。5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A)使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。6、概率是定义在事件域上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。第三节 概率的性质：1、 P(）02、 有限可加性：若有限个事件A,A2，,A3互不相容，则有 ，3、 对立事件的概率：对任一事件A，有4、 减法公式(特定场合）：若AB,则P(AB）P(A)P(B）5、 单调性：若AB，则P(A)P（B）6、 减法公式(一般场合）:对任意两个事件A、B，有P（AB）P(A)P（AB）7、 加法公式:对任意两个事件A、B，有P（A+B）=P（A)+P（B）-P(AB）。对任意n个事件A1，A2,，An，有8、 半可加性：对任意两个事件A、B，有.9、 事件序列的极限：（1） 对中任一单调不减的事件序列，称为可列并为极限Fn的极限事件，记为。（2） 对中任一单调不增的事件序列,称为可列交为极限En的极限事件，记为。若,则称概率P是上连续的10、 概率的连续性：若P为事件域上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的11、 若P是上满足P(）=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。第四节 条件概率 1、条件概率：设A、B是两个事件，若P(A)0，则称P（AB)=为事件B发生条件下,事件A发生的条件概率。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。2、乘法公式：（1）若P（B）0，P（AB)=P（B）P（A|B)（2）若P（A1A2An-1)0,则有.3、全概率公式:设事件互不相容,且，如果，则对任一事件A有，i=1，2，,n。4、贝叶斯共公式：设事件,，互不相容,且,如果P（A）0，则，i=1,2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（，,，）,通常叫Bi的先验概率.，（，,，），通常称为Bi的后验概率。 第五节 独立性1、两个事件的独立性:如果满足,则称事件、是相互独立的,简称A与B独立。否则称A与B不独立或相依.若事件、相互独立，且,则有2、若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立.必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。3、多个事件的独立性:设有n个事件A1，A2，An，如果对任意的1Ijkn,以下等式均成立则称此n个事件A1，A2,，An相互独立。4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后,所得诸事件亦相互独立。5、试验的独立性：假如实验E1的任一结果（事件）与试验E2的任一结果(事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。6、n重独立重复试验:假如一个试验重复进行n次,并各次试验间相互独立，则称其为n次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果:A与,则称其为伯努利试验.假如一个伯努利试验重复进行n次,并各次试验间相互独立，则称其为n重伯努利试验。第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布1、 随机变量：定义在样本空间上的实值函数X=X(）称为随机变量。（1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a，b)的随机变量。这里a可为，b可为+。2、分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x,称函数为X的分布函数,记为XF(x）.分布函数具有如下三条基本性质：（1） 单调性：F（x）是单调非减函数，即对任意的x1a）=1-P（Xa)=1F(a）；（4） P(X=a）=P（Xa）-P（Xa)=F（a）-F（a0)；(5） P（Xa）=1P（Xa)=1F(a-0)；（6) P（|Xa）=P（aXa）=P(Xa)P(Xa）=F(a0）-F（a）. 第二节 随机变量的数学期望1、 数学期望:设随机变量X的分布列p（xi）或用密度函数p(x）表示，若，则称E（X）=为X的数学期望，简称期望或均值,且称X的数学期望存在。否则数学期望不存在。数学期望是有分布决定的，它是分布的位置特征.如果两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的.期望相当于重心。2、 数学期望的性质：假设数学期望存在，（1） X的某一函数g(X）的数学期望为（2） 若C为常数,则E(C）=C（3） 对任意常数C，有E（CX）=CE(X）（4） 对任意的两个函数g1（x）和g2（x），Eg1（x）g2(x）=Eg1（x)Eg2（x)（5） E（X+Y)=E（X)+E（Y），（6） E（XY)=E(X) E（Y），充分条件：X和Y独立； 充要条件:X和Y不相关.第三节 随机变量的方差与标准差1、 方差：随机变量X对其期望E（X)的偏差平方的数学期望（设其存在）Var（X）=EX-E(X）2称为X的方差，方差的正平方根（X）=X=称为X的标准差。方差是由分布决定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布就越集中。标准差与方差的功能相似，只是量纲不同。2、 方差的性质:假设方差存在，（1） Var（X）=E（X2）E（X)2（2） 若c是常数，则Var(c）=0（3） Var（aX+b）= a2Var（X）（4） 若随机变量X的方差存在，则Var（X）=0的充要条件是X几乎处处为某个常数a,即P（X=a）=1（5） 若 X ,Y 相互独立，则D （ X Y ) = D （ X ） + D (Y )3、 切比雪夫不等式：设X的数学期望和方差都存在,则对任意常数0,有，或。切比雪夫不等式给出随机变量取值的大偏差（指事件XE(X）发生的概率的上限，该上限于分布的方差成正比.4、 随机变量的标准化：对任意随机变量X,如果X的数学期望和方差存在,则称 为X的标准化随机变量，此时有E(X）=0，Var（X*）=1。第四节 常用离散分布1、 二项分布：设随机变量X的概率分布列为， ,其中,则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。（1） 背景:重贝努里试验中成功的次数服从参数为，的二项分布。记为，其中p为一次伯努利试验中成功发生的概率。（2） n=1时的二项分布B（1，p）称为二点分布，或01分布,（01)分布是二项分布的特例。当XB(1,p)时，X可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取0或1。（3） 二项分布B（1，p）的数学期望和方差分别是：E（X）=np,Var（X）=np(1p).（4） 若，则Y=nXB（n，1-p)，其中Y=nX是n重伯努利试验中失败的次数。2、 泊松分布:（1） 设随机变量的概率分布列为，k=0，1，2，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为XP（），其中参数.（2） 背景:单位时间（或单位面积、单位产品等）上某稀有事件（这里的稀有事件是指不经常发生的事件）发生的次数服从泊松分布P()，其中为该稀有事件发生的强度。（3） 泊松分布P(）的数学期望和方差分别是：E（X)=,Var(X）=。（4） 二项分布的泊松近似（泊松定理）：在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为pn（与试验次数n有关)，如果当n+时,有npn，则。3、 超几何分布（1） 若X的概率分布列为，k=0，1，,r.则称X服从超几何分布，记为Xh（n，N，M）,其中r=minM，n,且MN，nN。n，N，M均为正整数。（2） 背景：设有N个产品，其中有M个不合格品.若从中不放回的随机抽取n个,则其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布h（n,N，M）。（3） 超几何分布h(n，N，M）的数学期望和方差分别是：E（X）=，Var（X）=。（4） 超几何分布的二项近似：当nN时，超几何分布h(n，N,M)可用二项分布b(n,M/N）近似，即，其中p=M/N。（5） 实际应用中,再不返回抽样时,常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品数的分布；在返回抽样时，常用二项分布b（n，p）描述抽出样品中不合格聘书的分布；当批量N较大，而抽出样品数n较小时，不返回抽样可近似看成返回抽样。4、 几何分布：（1） 若X的概率分布列为P(X=k）=(1p)k-1p，k=1，2，,则称为X服从几何分布，记为XGe(p)，其中0p1。（2） 背景：在伯努利试验序列中，成功事件A首次出现时的试验次数X服从几何分布Ge(p),其中p为每次试验中事件A发生的概率。（3） 几何分布Ge(p)的数学期望和方差分别是；E（X)=，Var（X）=。（4） 几何分布的无记忆性：若XGe（p），则对任意正整数m与n有P(Xm+nXm）=P(Xn）。5、 负二项分布：（1） 若X的概率分布列为,k=r，r+1，。则称X服从负二项分布或巴斯卡分布,记为XNb（r，p），其中r为正整数,0p1。（2） 背景:在伯努利试验序列中,成功事件A第r次出现时的试验次数X服从负二项分布Nb（r，p），其中p为每次试验中事件A发生的概率。（3） r=1时的负二项分布为几何分布，即Nb（r,p）=Ge（p)。（4） 负二项分布Nb(r，p）的数学期望和方差分别是:E(X)=r/p,Var（X)=r(1p）/p2。（5） 负二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布的几何分布随机变量之和，即若XNb（r，p),则X=X1+X2+Xr，其中X1,X2，,Xr是相互独立、服从几何分布Ge(p）的随机变量.6、 常用离散分布表分布列pk期望方差01分布pk=pk（1-p）1k，k=0，1p二项分布pk=k=0，1，nnp泊松分布pk=k=0,1,几何分布pk= P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，超几何分布pk= k=0，1，r。r=minM，n负二项分布Nb（r，p)pk= k=r，r+1,。r/pr（1p）/p2第五节 常用连续分布1、 正态分布(1) 若X的密度函数和分布函数分别为,-x+；，x+；则称X服从正态分布，记作XN（，2），其中参数+，0。（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果,则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机因素叠加而成的,所以测量误差常认为服从正态分布.（3） 关于参数：l 是正态分布的数学期望,即E（X）=,称为正态分布的位置参数。l 是正态分布的对称中心，在的左侧和p（x)下的面积为0。5；在的右侧和p(x）下的面积为0。5；所以也是正态分布的中位数l 若XN(，2)，则X在离越近取值的可能性越大，离越远取值的可能性越小关于参数：l 2是正态分布的方差，即Var（X）=2;l 是正态分布的标准差，越小，正太分布越集中；越大，正态分布越分散；又称为正态分布的尺度参数l 若XN（,2），则其密度函数p(x）在处有两个拐点（4） 标准正态分布:称=0，=1时的正态分布N（0，1);记U为标准正态变量,（u）和(u）为标准正态分布的密度函数和分布函数。(u)和(u）满足:l （u）=（u）l （u）=1(u)。对u0,（u）的值有表可查（5） 标准化变换:若XN（，2)，则U=(X-）/N（0,1)，其中U=(X)/称为X的标准化变换（6） 若XN（,2)，则对任意实数a与b,有P(Xb）=,P（aX）=1,P（aXb)=-。（7） 正态分布的3原则：设XN（，2），则P（|X-|0，t0，有P(Xs+tXs）=P(Xt）。4、 伽玛分布（1） 伽玛函数：称（）=为伽玛函数,其中参数0.伽玛函数具有如下性质： （1）=1； （1/2）=; （+1）=（); (n+1）=n（n)=n！（n为自然数)。（2） 伽玛分布：若X的密度函数为即称X服从伽玛分布，记作XGa（，）,其中0为形状参数，0为尺度参数。（3） 背景：若一个元器件(或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击时即告失效，则第k次冲击来到的时间X（寿命)服从形状参数为k的伽玛分布Ga(k，）。（4） 伽玛分布Ga(，）的数学期望和方差分别为E（X)=，Var（X）=。（5） 伽玛分布的两个特例： =1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga(1，）=Exp（）。 称=n/2，=1/2时的伽玛分布为自由度为n的2（卡方)分布，记为2（n），其密度函数为 ，2（n）分布的期望和方差分别是E(X）=n，Var(X）=2n。（6） 若形状参数为整数k，则伽玛变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和,即若XGa（k，），则X=X1+X2+Xk是相互独立且都服从指数分布Exp()，的随机变量。5、 贝塔分布(1) 贝塔函数：称B（a,b)=为贝塔函数，其中参数a0,b0。贝塔函数具有如下性质：B（a，b）=B(b,a）;B(a,b)=。(2) 贝塔分布：若X的密度函数为, 则称X服从贝塔分布，记作XBe(a,b），其中a0,b0都是形状参数。(3) 背景：很多比率,如产品的不合格率、机器的维修率、射击的命中率等都是在区间（0,1）上取值的随机变量，贝塔分布Be（a，b)可供描述这些随机变量之用。(4) 贝塔分布Be（a,b）的数学期望和方差分别是，(5) a=b=1时的贝塔分布就是区间（0,1）上的均匀分布，即Be（1，1)=U（0，1）。6、常见连续分布表密度函数p（x）期望方差正态分布，-x+均匀分布U(a,b）指数分布Exp（）伽玛分布Ga（，)2（n）分布n2n贝塔分布Be（a，b)对数正态分布LN(,2）x0柯西分布Cau（， ）,0。（2） 若XLN（，2），则E（X）=，Var（X)=（3） 若XLN(，2)，则Y=ln XN(，2）4、 若XGa(，），则当k0时，有Y=kXGa（，/k）。5、 若X的分布函数FX(x)为严格单调增的连续函数,其反函数F 1X（x)存在,则Y=FX(X）服从（0，1)上的均匀分布U（0，1)。第七节 分布的其他特征数1、 k阶矩（1） 称k=E(Xk)为X的k阶原点矩.一阶原点矩就是数学期望（2） 称k=E(X-E(X)）k为X的k阶中心矩.二阶中心距就是方差（3） 前k阶中心矩可用原点表示,如1=0；2=212；3=3-321+213；4=4431+6212314.2、 变异系数：称比值为X的变异系数.变异系数是一个无量纲的量.3、 分位数:设连续随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为p(x）.对任意p(0。1），（1） 称满足条件的为此分布的p分位数，又称下侧p分位数，它把密度函数下的面积一分为二，左侧面积恰好为p;（2） 称满足条件的为此分布的上侧p分位数。（3） 分位数与上侧分位数的转换公式：=,=.（4） 中位数：称p=0.5时的p分位数为此分布的中位数.即满足；（5） 若随机变量X的密度函数p（x)是偶函数,则此分布的p分位数满足:=.（6） 记标准正态分布的p分位数。因为标准正态分布函数是偶函数，所以=.（7） 一般正态分布的p分位数满足:=+.（8） 分布的矩有可能不存在，但连续分布的分位数总存在。p分位数总是p的增函数.4、 偏度系数（1）称比值