概率论与数理统计公式总结.docx

F (x) = f (x)
E(a)=a，其中 a 为常数

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第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当 A、 B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
P(A | B) = P(AB)P(B)

概率的乘法公式
P(AB) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A)
全概率公式：从原因计算结果
P (A) = xn P (B )P (A | B )
k k
k=1

Bayes 公式：从结果找原因
P(B | A) =
k xn P(B )P(A | B )
k k
k =1
第二章


分布函数
F (x) = P(X 共 x) = x P(X = k) 对离散型随机变量
k共x

F (x) = P(X 共 x) = jx f (t)dt
一w
对连续型随机变量

分布函数与密度函数的重要关系：
F (x) = P(X 共 x) = jx f (t)dt
一w
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法

0 共 F(x, y) 共 1 联合密度函数 f (x, y)
F (x, y) = P{X 共 x, Y 共 y} 联合分布函 F (x, y)
数

f (x, y) > 0
j+wj+w f (x, y)dxdy = 1
一w 一w

二项分布(Bernoulli 分布) ——X~B(n,p)

P(X=k)=Ckpk (1一p)n一k， (k=0,1,...n,)
n
泊松分布——X~P(λ)
P(X = k) = 入 k e一入， (k = 0,1,...)
k!

概率密度函数
f (x)dx = 1

怎样计算概率 P(a 共 X 共 b)

P(a 共 X 共 b) = jb f (x)dx
a

均匀分布 X~U(a,b)
f (x) = (a 共 x 共 b)
b 一 a
1

指数分布 X~Exp ( θ)

联合密度与边缘密度
f (x) =j+wf(x, y)dy
一w
X

f (y) =j+wf(x, y)dx
一w
Y

离散型随机变量的独立性
P{X = i, Y = j} = P{X = i}P{Y = j}
连续型随机变量的独立性
f (x, y) = f (x)f (y)
X Y
第三章
E(X) = x .P
k k
数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
k
=一w

E(X ) = j+wx . f (x)dx
一w
连续型随机变量，数学期望定义

f (x) = 1 e一x /9 (x > 0)
1 9

E(XY) =xx x y p
i j i ij
E(X)=xx ixjpij
E(X ) = jj xf (x, y)dxdy
E(X + Y) = E(X ) + E(Y)
E(XY) = jj xyf (x, y)dxdy
当X与Y独立时, E(XY) = E(X )E(Y)
D(X ) = j +w(x _ E(X ))2 . f (x)dx
_w
D(X ) = E(X 2 ) _ [E(X )]2
D(X + Y) = D(X ) + D(Y) + 2E{(X _ E(X ))(Y _ E(Y))}
D(X + Y) = D(X ) + D(Y)
D(a)=0，其中 a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、 b 为常数
X ~ N (山,装 2)
f (x) = e_ 2装 2
2几装
1 (x_山)2

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库
E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、 b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)， X、 Y 为任意随机变量
常用公式

随机变量 g(X)的数学期望 E(g(X )) = x g(x )p
k k
k
标准正态分布的概率计算
标准正态分布的概率计算公式
P(Z 共 a) = P(Z 想 a) = C(a)
i j
P(Z > a) = P(Z > a) = 1_ C(a) P(a 共 Z 共 b) = C(b) _ C(a)
P(_a 共 Z 共 a) = C(a) _ C(_a) = 2C(a) _ 1
一般正态分布的概率计算

X ~ N(山,装 2) 一 Z = X _ 山 ~ N(0,1)
装

方差
定义式
一般正态分布的概率计算公式
常用计算式
常用公式
P(X 共 a) = P(X 想 a) = C(a _ 山装) P(X > a) = P(X > a) = 1_ C(a _ 山装) P(a 共 X 共 b) = C(b _ 山装) _ C(a _ 山装)
第五章
卡方分布
当 X、 Y 相互独立时：
若X ~ N (0,1)，则xn X 2 ~ X2 (n)
i
i=1
方差的性质
若Y ~ N(山,装 2 ), 则 1 xn (Y _ 山)2 ~ X2 (n)
装 2 i
i=1
当 X、 Y 相互独立时， D(X+Y)=D(X)+D(Y)
t 分布
第四章
正态分布
X
~ t(n)
Y / n
则U / n1 ~ F (n , n )
若X ~ N (0,1), Y ~ X 2 (n),则

若U ~ X2 (n ), V ~ X2 (n ),
V / n 1 2
2
1 2
F 分布
E(X ) = 山, D(X ) = 装 2
正态总体条件下
样本均值的分布：
2
C(a) = 1_ C(_a)

(n_1) S 2 , (n_1) S 2 S 2
x — 样本均值
a — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n >50)
z — 正态分布的分位点
以/ 2
p(1_ p)
n
p — 样本比例
n — 样本容量(大样本要求n >50)
z — 正态分布的分位点
以/ 2

n a / n
X ~ N (r, a 2 ) X _ r ~ N(0,1) 小样本、正态总体、标准差a 未知
t (n _ 1) — 自由度为n _ 1的t分布的分位点
以/ 2
(n _1)S2a2 ~ Y2 (n _ 1) ~ t(n _ 1) 样本方差
(|x 士 t (n _ 1) s )|
的分布：

( 以/ 2 n )
( ) — 样本方差
n _ 1)
2
S2 / S212a2/a2 ~ F (n1 _ 1,
1 2
两个正态总体的方差之比
Y 2
Y 2
1_以 / 2
以 / 2
Y 2 — 卡方分布的分位点 以/ 2
正态总体方差的区间估计

两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
(||((x1 _ x2 )士 z以/ 2 n(a) + n(a)
第六章
L = un p(x ;9 )
i
i=1
L = un f (x ;9 )
i
i=1
点估计： 参数的
估计值为 一个
常数
矩估计
两个正态总体方差比的置信区间
最大似然估计
似然函数
a )
(
|
| x 士 z
( 以 / 2
n )
(||( F以 / 2 ( n(S)/_ 1,(S)22n2 _ 1) , S2 / S212F(n_1,n_1)以/212
第七章
假设检验的步骤
① 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1
② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值
③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则 拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
不可避免的两类错误
第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设
)
(||(p 士 z以/ 2
均值的区间估计 ——大样本结
果
|
第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设
)|
单个正态总体的显著性检验
单正态总体均值的检验
➢ 大样本情形——Z 检验
➢ 正态总体小样本、方差已知——Z 检验
➢ 正态总体小样本、方差未知—— t 检验 单正态总体方差的检验
➢ 正态总体、均值未知——卡方检验
小样本、正态总体、标 准差a 已知
(|x 士 z a )|
( 以/ 2 n )
单正态总体均值的显著性检验
统计假设的形式
(1) H : r = r H : r 去 r 双边检验 0 0 1 0
(2) H : r > r H : r < r 左边检验 0 0 1 0

3

(3) H : H : >
0 0 1 0 右边检验
单正态总体均值的 Z 检验
Z = 0 (大样本情形 未知时用S代替)
X
/ n

拒绝域的代数表示
Z > Z / 2
Z Z

Z > Z
双边检验
左边检验
右边检验

比例 ——特殊的均值的 Z 检验
Z = p p0 p0 — —总体比例
p (1 p ) / n p — —样本比例
0 0

单正态总体均值的 t 检验
X
t
= 0
S / n
单正态总体方差的卡方检验
(n 1)S 2
X2 =
2
0

拒绝域
双边检验
X 2 > X 2 或X 2 X 2
/ 2 1 / 2

左边检验

右边检验
X 2 X 2
1 / 2

X 2 > X 2
/ 2
4