概率论与数理统计公式总结.docx

F (x) = f (x)E(a)=a，其中 a 为常数路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A、 B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式P(A | B) = P(AB)P(B)概率的乘法公式P(AB) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A)全概率公式：从原因计算结果P (A) = xn P (B )P (A | B )k kk=1Bayes 公式：从结果找原因P(B | A) = k xn P(B )P(A | B )k kk =1第二章分布函数F (x) = P(X 共 x) = x P(X = k) 对离散型随机变量k共xF (x) = P(X 共 x) = jx f (t)dt一w对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：F (x) = P(X 共 x) = jx f (t)dt一w二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法0 共 F(x, y) 共 1 联合密度函数 f (x, y)F (x, y) = PX 共 x, Y 共 y 联合分布函 F (x, y)数f (x, y) 0j+wj+w f (x, y)dxdy = 1一w 一w二项分布(Bernoulli 分布) XB(n,p)P(X=k)=Ckpk (1一p)n一k， (k=0,1,.n,)n泊松分布XP()P(X = k) = 入 k e一入， (k = 0,1,.)k!概率密度函数f (x)dx = 1怎样计算概率 P(a 共 X 共 b)P(a 共 X 共 b) = jb f (x)dxa均匀分布 XU(a,b)f (x) = (a 共 x 共 b)b 一 a1指数分布 XExp ( )联合密度与边缘密度f (x) =j+wf(x, y)dy一wXf (y) =j+wf(x, y)dx一wY离散型随机变量的独立性PX = i, Y = j = PX = iPY = j连续型随机变量的独立性f (x, y) = f (x)f (y)X Y第三章E(X) = x .Pk k数学期望离散型随机变量，数学期望定义k=一wE(X ) = j+wx . f (x)dx一w连续型随机变量，数学期望定义f (x) = 1 e一x /9 (x 0)1 9E(XY) =xx x y pi j i ijE(X)=xx ixjpijE(X ) = jj xf (x, y)dxdyE(X + Y) = E(X ) + E(Y)E(XY) = jj xyf (x, y)dxdy当X与Y独立时, E(XY) = E(X )E(Y)D(X ) = j +w(x _ E(X )2 . f (x)dx_wD(X ) = E(X 2 ) _ E(X )2D(X + Y) = D(X ) + D(Y) + 2E(X _ E(X )(Y _ E(Y)D(X + Y) = D(X ) + D(Y)D(a)=0，其中 a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、 b 为常数X N (山,装 2)f (x) = e_ 2装 22几装1 (x_山)2路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库 E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、 b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)， X、 Y 为任意随机变量常用公式随机变量 g(X)的数学期望 E(g(X ) = x g(x )pk kk标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P(Z 共 a) = P(Z 想 a) = C(a)i jP(Z a) = P(Z a) = 1_ C(a) P(a 共 Z 共 b) = C(b) _ C(a)P(_a 共 Z 共 a) = C(a) _ C(_a) = 2C(a) _ 1一般正态分布的概率计算X N(山,装 2) 一 Z = X _ 山 N(0,1)装方差定义式一般正态分布的概率计算公式常用计算式常用公式P(X 共 a) = P(X 想 a) = C(a _ 山装) P(X a) = P(X a) = 1_ C(a _ 山装) P(a 共 X 共 b) = C(b _ 山装) _ C(a _ 山装)第五章卡方分布当 X、 Y 相互独立时：若X N (0,1)，则xn X 2 X2 (n)ii=1方差的性质若Y N(山,装 2 ), 则 1 xn (Y _ 山)2 X2 (n)装 2 ii=1当 X、 Y 相互独立时， D(X+Y)=D(X)+D(Y)t 分布第四章正态分布X t(n)Y / n则U / n1 F (n , n )若X N (0,1), Y X 2 (n),则若U X2 (n ), V X2 (n ),V / n 1 221 2F 分布E(X ) = 山, D(X ) = 装 2正态总体条件下样本均值的分布：2C(a) = 1_ C(_a)(n_1) S 2 , (n_1) S 2 S 2x 样本均值a 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n 样本容量(大样本要求n 50)z 正态分布的分位点以/ 2p(1_ p)np 样本比例n 样本容量(大样本要求n 50)z 正态分布的分位点以/ 2n a / nX N (r, a 2 ) X _ r N(0,1) 小样本、正态总体、标准差a 未知t (n _ 1) 自由度为n _ 1的t分布的分位点以/ 2(n _1)S2a2 Y2 (n _ 1) t(n _ 1) 样本方差(|x 士 t (n _ 1) s )|的分布：( 以/ 2 n )( ) 样本方差n _ 1)2S2 / S212a2/a2 F (n1 _ 1,1 2两个正态总体的方差之比Y 2Y 21_以 / 2以 / 2Y 2 卡方分布的分位点 以/ 2正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知(|(x1 _ x2 )士 z以/ 2 n(a) + n(a) 第六章L = un p(x ;9 )ii=1L = un f (x ;9 )ii=1点估计： 参数的估计值为 一个常数矩估计两个正态总体方差比的置信区间最大似然估计似然函数a )(| x 士 z( 以 / 2n )(|( F以 / 2 ( n(S)/_ 1,(S)22n2 _ 1) , S2 / S212F(n_1,n_1)以/212第七章假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则 拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设)(|(p 士 z以/ 2均值的区间估计 大样本结果|第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设)|单个正态总体的显著性检验 单正态总体均值的检验 大样本情形Z 检验 正态总体小样本、方差已知Z 检验 正态总体小样本、方差未知 t 检验 单正态总体方差的检验 正态总体、均值未知卡方检验小样本、正态总体、标 准差a 已知(|x 士 z a )|( 以/ 2 n )单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式(1) H : r = r H : r 去 r 双边检验 0 0 1 0(2) H : r r H : r 0 0 1 0 右边检验单正态总体均值的 Z 检验Z = 0 (大样本情形 未知时用S代替)X / n拒绝域的代数表示Z Z / 2Z ZZ Z 双边检验左边检验右边检验比例 特殊的均值的 Z 检验Z = p p0 p0 总体比例p (1 p ) / n p 样本比例0 0单正态总体均值的 t 检验X t= 0S / n单正态总体方差的卡方检验(n 1)S 2X2 = 20拒绝域双边检验X 2 X 2 或X 2 X 2 / 2 1 / 2左边检验右边检验X 2 X 21 / 2X 2 X 2 / 24