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概率论与数理统计公式集锦

一、随机事件与概率

公式名称
德摩根公式
古典概型
几何概型
求逆公式

加法公式
减法公式
公式表达式

A U B = A n B , A n B = A U B

P(A) = (A) ,其中μ为几何度量长度、面积、体积
()

PA∪B=PA+PB-PAB
当 PAB ＝0 时,PA∪B=PA+PB
PA-B=PA-PAB, B 仁 A 时 PA-B=PA-PB

条件概率公式
与乘法公式

全概率公式

贝叶斯公式
逆概率公式

两个事件
相互独立

P(AB) = P(A)P(B)； P(B A) = P(B)； P(BA) = P(BA)；

1、分布函数
2、离散型随机变量及其分布
分布名称
0 – 1 分布
二项分布

泊松分布

3、续型随机变量及其分布

二、随机变量及其分布

分布律

分布名称
均匀分布
分布名称 指数分布 正态分布
X N (,Q 2)
标准正态分
密度函数

密度函数
分布函数

分布函数

P(X = x Y = y ) = ij , i = 1,2, , P(Y = y X = x ) = ij , j = 1,2,
X Y

布

4、随机变量函数Y=gX 的分布
离散型： P(Y = y ) = x p , i = 1,2, ,
i j
j i
g( x )= y
连续型：①分布函数法,②公式法 f ( y) = f (h( y)) . h,( y) (x = h( y)单调 )
Y X
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律： P( X = x , Y = y ) = p , i, j = 1, 2, 分布函数 F ( X , Y) = x x p
i j ij ij
i i
x 共 x y 共 y

边缘分布律：

条件分布律：

p = P(X = x ) = x p p = P(Y = y ) = x p
i. i ij .j j ij j i

p p
i j p j i p
. j i.

2、连续型二维随机变量及其分布
①联合分布函数及性质
分布函数： F ( x , y ) = j x j y f (u , v )dudv =PX<=x,Y<=y
一 w 一 w
性质： F (+w , +w ) = 1, ?2F ( x, y)?x?y = f( x, y), P(( x, y) = G) = jj f ( x, y)dxdy
G
②边缘分布函数与边缘密度函数
X X
分布函数： F (x) = jx j+w f(u, v)dvdu 密度函数： f ( x) = j+w f( x, v)dv
一 w 一 w 一 w
③条件概率密度
f (yx) = f(x, y) ,一w 想 y 想 +w , f (x y) = f(x, y) ,一w 想 x 想 +w Y X f (x) X Y f (y)
3、随机变量的独立性
随机变量 X、 Y 相互独立一 F(x, y) = F (x)F (y) ,
X Y
离散型： p = p p ,连续型： f(x, y) = f (x)f (y)
ij i. . j X Y
4、二维随机变量和函数的分布
离散型： P(Z = z ) = x P(X = x , Y = y )
k i j
i j k
x + y =z
连续型： f ( z) = j +w f ( x, z 一 x)dx = j +w f ( z 一 y, y)dy
Z
一w 一w
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型 E( X ) = x+w x p ,连续型 E( X ) = j +w xf ( x)dx
k k
一 w
k=1
②性质： E(C) = C, E[E(X)] = E(X) , E(CX) = CE(X) , E(X 士 Y) = E(X) 士 E(Y) E(aX 士 b) = aE(X) 士 b , 当 X、 Y 相互独立时： E(XY) = E(X)E(Y)
2、方差
①定义： D(X) = E[(X 一 E(X))2 ] = E(X2 ) 一 E2 (X)

②性质： D(C) = 0 , D(aX 士 b) = a2 D(X) , D(X 士 Y) = D(X) + D(Y) 士 2Cov(X, Y)
当 X、 Y 相互独立时： D(X 士 Y) = D(X) + D(Y)
3、协方差与相关系数
①协方差： Cov(X, Y) = E(XY) _ E(X)E(Y) , 当 X、 Y 相互独立时： Cov(X, Y) = 0
②相关系数： p = Cov(X, Y) , 当 X、 Y 相互独立时： pXY = 0X,Y 不相关 XY D(X) D(Y)
③协方差和相关系数的性质： Cov(X, X) = D(X) , Cov(X, Y) = Cov(Y, X) Cov(X1 + X2 , Y) = Cov(X1 , Y) + Cov(X2 , Y) , Cov(aX + c, bY+ d) = abCov(X, Y)
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
分布 0- 1 分布b(1, p)
二项分布b(n, p)
泊松分布 P(入)
均匀分布U(a, b)
正态分布 N(山,装2)
指数分布e(入 )
数学期望
p
np
方差
p1-p
np1-p

五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若 E(X) = 山, D(X) = 装 2 , 对于任意 c > 0有 P{ X _ E(X ) > c}共 D(X )
c 2
2 、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若 X …X 相互独立,
1 n
E(Xi ) = 山i , D(Xi ) = 装i2 且 装 i(2) 共 C ,则： n(1) xn Xi ——( P)) n(1) xn E(Xi ),(n ) w)
i=1 i=1
②伯努利大数定律： 设 nA是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,
n)w ( n )
则 Vc > 0 ,有： lim P(| nA _ p < c )| = 1

③辛钦大数定律：若X独立同分布,且 E(Xi ) = 山 ,则 n(1)xn Xi P——n)w()) 山 i =1
3、中心极限定理
i
①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量 X (i = 1,2, ) ,均值为 山 ,方差为 装 2 > 0 , 当
n 充分大时有： Y = (xn X _ n山) n装 —N(0,1)
n k
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量 X ~ B(n, p) ,则对任意 x 有：
k=1

③近似计算： P(a 共xn X 共 b) ~ C(b_ n山) _ C(a_ n山) k n装 n装
k=1
概率论与数理统计公式整理 1、总体和样本的分布函数
设总体 X F(x) ,则样本的联合分布函数 F(x1 , x2 …xn ) = n(n) F(xk )
k=1
2、统计量

样本均值： X = 1 xn X ,样本方差： S2 = 1 xn(X -X)2 = 1 xn(X2 -nX2)
n i n-1 i n-1 i
i=1 i=1 i=1
A = 1 xn Xk k = 1,2 …
样本标准差： S = 1 xn (X - X)2 ,样本k 阶原点距：
k n i ,
n-1 i
i=1
i=1
样本k 阶中心距： B = 1 xn (X - X)k , k = 1,2,3
k n i
i=1
3、三大抽样分布
1 X 2 分布：设随机变量Xi N(0,1) (i = 1,2, , n) 且相互独立,则称统计量 X 2 = X 1(2) + X 2(2) + …X n(2) 服从
自由度为 n 的 X 2 分布,记为 X 2 ~ X 2 (n)

性质：① E[X 2 (n)] = n, D[X 2 (n)] = 2n ②设 X ~ X 2 (m),Y ~ X 2 (n) 且相互独立,则 X + Y ~ X 2 (m+ n)

X
2t 分布：设随机变量 X ~ N(0,1),Y ~ X 2 (n) ,且 X 与 Y 独立,则称统计量： T = 服从自由度为 n 的 t
Y n

分布,记为 T ~ t(n)
性质：① E(T) = 0 (n > 1),D(T) = n (n > 2) ② lim f (x) = Q(x) = 1 e- x22
n- 2 n)w n 2冗
3 F 分布：设随机变量 X ~ X2 (m),Y ~ X2 (n) ,且 X 与 Y 独立,则称统计量 F(m, n) = X m 服从第一自由度 Y n
为 m,第二自由度为 n 的 F 分布,记为 F ~ F(m, n) ,性质：设F ~ F(m, n) ,则 1F ~ F(n, m)
七、参数估计
1.参数估计
① 定 义： 用 (X , X ,
1 2
9(^)(x , x , , x ) 为总体9
1 2 n
, X ) 估 计 总 体 参 数 9 , 称 (X , X , , X ) 为 9 的 估 计 量 , 相 应 的
n 1 2 n

的估计值 ;
②当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值
2.点估计中的矩估计法：
基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩
求法步骤：设总体 X 的分布中包含有未知参数9 ,9 , ,9 ,它的前 k 阶原点
1 2 k
矩 山 = E(Xi )(i = 1,2, , k) 中包含了未知参数9 ,9 , ,9 ,
i 1 2 k
即 山 = g (9 ,9 , ,9 )(i = 1,2, , k) ；又设 x , x , , x 为总体 X 的 n 个样本值,用样本矩代替 山
i i 1 2 k 1 2 n i,
在所建立的方程组中解出的 k 个未知参数即为参数9 ,9 , ,9 的矩估计量9^ ,9^ , ,9^ ;
1 2 k 1 2 k

?9 ?9

注意：分布中有几个未知参数,就求到几阶矩 ;
3.点估计中的极大似然估计
设 X , X , X 取自 X 的样本,设 X ~ f(x,9) 或 X ~ P(x,9) , 求法步骤：
1 2 n
①似然函数： L(9) = nn f(x ,9)(连续型)或L(9) = nn P(x ,9)(离散型) i i i
i=1 i=1
②取对数： ln L(9 ) = xn ln f(x ,9) 或ln L(9) = xn ln p (x ,9) i i i
i=1 i=1

9^1 = 9^1(x1 , x2 , , xn )
= 0, , = 0 ,解得：
1 k
? ln L ? ln L
〈
③解方程：

9^k = 9^k (x1 , x2 , , xn )
4.估计量的评价标准

估 计 量 的 评 价 标 准

无偏性

有效性

一致性
设 = (x , x , , x ) 为未知参数9 的估计量;若 E = 9 ,则称
1 2 n
为9 的无偏估计量;
设 1 = 1 (x1 , x2 , , xn ) 和 2 = 2 (x1 , x2 , , xn ) 是未知参数 9 的两个无偏估计量;若D( 1 ) < D( 2 ) ,则称 1 比 2 有效 ;
设 n 是9 的一串估计量 ,如 Vc > 0 ,有limP(| n-9 |>c) = 0
n)w
则称9 为9 的一致估计量或相合估计量;

^
n

5. 单正态总体参数的置信区间

条件
已知

G 2

未知

G 2

已知
山
未知
山
估计
参数
枢轴量
枢轴量 分布
置信水平为1-a
的置信区间



八、假设检验
1.假设检验的基本概 念

假设检验的统计思想是小概率原理;
小概率事件的概率就是显着性水平α,常取α=,或;
①提出原假设 H； ②选择检验统计量g(X , , X )； ③对于α查表找
0 1 n
分位数λ,使P(g(X , , X ) =W) = a ,从而定出拒绝域 W；
1 n
④由样本观测值计算统计量实测值 g(x , , x ) ；并作出判断：当实
1 n
测值落入 W 时拒绝 H ,否则认为接受 H ;
0 0
当H 为真时,而样本值却落入了拒绝域,应当否定H ;这时,我
0 0
第一类 错误

第二类 错误

两类错
误的关
系
们把客观上 H 成立判为 H 为不成立即否定了真实的假设,称
0 0
这种错误为“弃真错误”或第一类错误 ,记a 为犯此类错误 的概率, 即： P{拒绝 H0 |H0 为真}=a；
当H 为真时,而样本值却落入了接受域,应接受H ;这时,我们
1 0
把客观上 H 不成立判为 H 成立即接受了不真实的假设,称这
0 0
种错误为“取伪错误”或第二类错误 ,记b 为犯此类错误的

概率, 即： P{接受 H0 |H1 为真}=b ;
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小 ;但是 , 当
容量 n 一定时, a 变小,则b 变大；相反地, b 变小,则a 变

大;取定a 要想使b 变小,则必须增加样本容量;

基本 思想

基本 步骤

两类 错误

2.单正态总体均值和方差的假设检验
统计量
分布

已知 ( 2

未知 ( 2

X2 < X2 (n一 1) 1一a
2
或X2 > X2 (n一 1)
a
2
检验统计量
拒绝域
原假设
未知 山
条件

已知
少见

X2 < X2 (n) 或 1 2
X2 > X2 (n)

2