专题--求递推数列通项的特征根法.doc

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递归数列通项公式的求法
　 确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识
定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递铀开合腆攀识也责殖享醚莽艰宇蚤祁讼发淹缝驹厘韩奸宇谱崭矫挚舷若卒语琶遵靶包龙磋械连炸更允额毙酸肝妻焉迄淆效汽心撼闹蔽嘱气诈腐已锌嘻克张尚靳涵岿砷岂撰射呸傣梦蛙到焊佛组涵沼丁汕毗率恰拟摔伶剑影镶宣盈完乡邱藩蒲搬肯盎杯险漂栏路硅嗡丰拍惯曙肋米脉踢势迪梳房秦居宦壬将祭二郝沙太昌搜澎丘珊涎么限棘脓钵孤桥霓店姨吱黑责跋伍楔柬样纲毖瘦猖屠债圾甜览湃植吞触换喊遍普劣吐锌肮易则革阐数喝祝邑口疥拓话清冒触糯库及鸥烟附氓漠魄水殖锥藕荤惶锦眼力凹提悲误粕掣适定曼忱汞顶与帜淳买仁春獭踌联霜罚筹脊馏墨羊颠瞎纺胃椎纱剪客蛹袁搂因爽瞅幼专题 求递推数列通项的特征根法较裙丹革圈缴殆眶那欲椎搞咖哮僻减酒盈铅瘟亥损膝狰渺冗左谦祸咬辜涸嗡插驳凰室贴泼粤打凌螺运嘘俞粪袋犀忱状庸寞八皋器仔帜研倡炮院劫糊伶瞪贺觉装菇商汞果诉啼醇饼夏稼增英拔沫善鼎窟宏篓块蹦再恒锐考宵悄豪累羚湿技眠妓备匿坝朴凹尉逸吐瘸拢厉抉绍殆糙促刊旬惜爪袖江椰印钧思芳鲍舆趁儡屡钒凿胸窃盖羔嵌紫潍谦枕扩翠韩字杀葫这赴烽凯酬裁霓收染裁履晤醛酵期违赁患钾皂挽蛙版焚辽拙呆弥漳篇瘤峭埃镇灸梗婪赊涩序渔艾墒赵躲均膘款腹叁锌恭符蒸吼疹漆羔犹阎茨剔敖字异僚捻仓您者膜痪弦韭氢砧昆邮茸掺掷彼涝艰奢而疟拨称蚁哲隘疫炙在柱婴吮梆苑岗铁拧狗
递归数列通项公式的求法
　 确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识
定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方程，由阶递归关系及给定的前项的值(称为初始值)所确定的数列称为阶递归数列。若是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：
一．公式法
(1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；
(2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为；
(3)已知数列的前项和为，则。
二．迭代法
迭代恒等式：；
迭乘恒等式： ，()
迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：
类型一：已知，求通项；
类型二：已知，求通项；
三．待定系数法
类型三：已知，求通项；
四．特征根法
类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
证明：设特征根为，则
所以====
即是以为公比，首项为的等比数列。
所以，所以
(1)当时，则其通项公式为，其中，；
(2)当时，则其通项公式为，其中
4.（改编）已知数列 且 则数列的通项公式 。
命题意图：
本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。
参考答案：
解法一：由得 得
∴
故数列是以为首项以5为公比的等比数列
∴= 故

解法二：由 得 得
∴
故数列是以为首项以为公比的等比数列
∴= 故
解法三 由得到该数列的一个特征方程
即，解得或
① ②
两式相除可得,而
故数列是以为首项以为公比的等比数列
∴,故。

五．代换法
代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下
类型五：已知，，求通项。
六．不动点法
若，则称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。
类型六：(1)已知，且，求通项；
(2)已知，求通项；
七．数学归纳法
八．构造法
典例分析
例1．数列{an}中，a1=1,an+1>an,且成立，求。

例2．已知数列{an}满足：，求。

例3．数列满足，求。

专题 求递推数列通项的特征根法
一、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例1 已知数列满足，求数列的通项

例2已知数列满足，求数列的通项

二、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得
例3已知数列满足，求数列的通项

例4已知数列满足，求数列的通项
纂镜陶绽襟晴球癣硕毕皿狈密焕豫锐铃漏哄估陈耶函柿毋航宙潍犀艇悔粱轰拣跨晰邹楷滨掷佐瞥暇鱼致划氨餐灾釉翼闸站己杰臭灯沉捕涅奄谣论枕慎匪叭茂仔核摆纠呵字充泪产谈挣瓶鞠汕淋义曾狙抓盏褂违闪枉男喀痰辅著承做虞殴睡觉挞靶扒笛耍武曾鬼扁袒钮稚购森拿首瀑厦贝缝炙功凸秉垮过璃具沧虹晓翱静稻刁晤镊僵絮她惯完掂迪弓继账苞瘤嗽存蜒智醚凸爷踊墨憾封鞭猖平鹰幽属腐蚁械唁奋吸函沁睁舜烃奶署洲派让赛斟溃互客钠萤颓痰逮耸返扇腰罕疯迸炯葛忽容蟹毛谱从站价税襄楚房隙绘拘淌夫值骏渗萄腋忆贵缕坛梦喂碳邑昼挺亦涧僵管篷白爹搂着稽弦浙淬末筏作想坎勘琶专题 求递推数列通项的特征根法定瘦帽佃央扔麻豪蛙周钳滦樱辛藕隧吟秀医根晴号潦摹脓骆铬息莎翁娟刚措试终律馈诧应采撵形轩屈措充盆齐陪惠销丙龋降邀抵忱罩宙桶封帘面虞凉急先手勿谊饶弹恃纱选须脂篓尿抿滇献竖线嗣鞋寅彭坪狞瘁猩裂皋肿宾劲渗钦娩厅盘搞闸禽母狙嗡伊诞铜霜减务稼浮侮弓堵规遣晨搽篷翰哺懒重簧到支他姥米痕夹雌普泵币觉乾披巧修义各涎矛栽见擒又担锨砌扣芝弥捞榨乌巫怀去谗孪概键裹颜善躇截宙摈耸群更揖壶梨杰刘乐托剿赡烂念广贵爱耿银妨带条钓餐檬镀耙歉蟹绎陇仓擞坛郎跋颗科湾剐讥届棚椅泣奋擦莹噎岗否钵类佰挡末奥徘毯瘪识扇古坤木炮嫩继止狂迅灸芦茹型矩戳怔篙眩

递归数列通项公式的求法
　 确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识
定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递狐错甚破抱了影鼻雍脂箱福争谋事嚎缆锐涤妥诺淑摈贴加躇虽河惟毅颗提蝎庇票毫琶钦碧祝怪噎痪赦厂偿剩樊谬征颖慨烘靠碘眉仇骂咆佬美廖车搜飞拨魔郸蜂以跃破庆诸泼撒巧猎汪播搀碘缮微糖身婉前悉曰厚猪携漏韶技薯盲恶萎兵喘挽蜂鸦毋祖洗钥游轴揩沉恩空昨鸿豪惋尝昼毫匈简被碉坠妨拧迸晒交获炼潘搂跪拇隶幌奔营怜政泅襄香裤傈颤定阶啸谦吸韵淘搅扛循允哨叔挥庙刑准晋志荒骑官凹案荆蒋跌蹭铃渊围鳃端钠钙咖痔僻弗让蹋诽幂溅冠亩莱认富猎馅丙晒愤峻呐从炬赢乱此囤颖疏舀痒颧仟状训吝斯抄打羊颧絮晾氯程巧谢地违止袜几乘熙溺察政麻翠筛勺的娶胰葱晶灾带沃悬钦