线性代数试题及答案.doc

线性代数习题和答案
好东西
第一部分 选择题 （共28分)
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1。设行列式=m,=n，则行列式等于( )
A. m+n B。 —(m+n)
C。 n—m D。 m—n
2。设矩阵A=,则A-1等于（ ）
A。 B。
C. D。
3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于(1,2）的元素是（ ）
A。 –6 B。 6
C。 2 D. –2
4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）
A. A =0 B。 BC时A=0
C. A0时B=C D。 ｜A｜0时B=C
5。已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A。 1 B. 2
C。 3 D。 4
6。设两个向量组α1，α2，…，αs和β1,β2，…，βs均线性相关,则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B。有不全为0的数λ1,λ2,…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs)=0
C。有不全为0的数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1)+λ2(α2-β2)+…+λs（αs—βs)=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…,λs和不全为0的数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r,则A中( ）
A.所有r-1阶子式都不为0 B。所有r-1阶子式全为0
C。至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A。η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）
A.秩（A)〈n B.秩（A)=n-1
C.A=0 D。方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n（≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
A。如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量
B。如存在数λ和非零向量α，使（λE—A）α=0,则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ）
A. k≤3 B。 k〈3
C。 k=3 D。 k〉3
12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是( ）
A.｜A|2必为1 B.｜A｜必为1
C。A—1=AT D。A的行（列）向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则( ）
A.A与B相似
B. A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D。 A与B合同
14。下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
A. B。
C。 D.
第二部分 非选择题(共72分）
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分,共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分.
15。 。
16。设A=,B=.则A+2B= .
17.设A=（aij)3×3,｜A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i，j=1,2,3），则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+（a31A21+a32A22+a33A23)2= .
18.设向量（2，-3,5）与向量（—4,6，a）线性相关，则a= 。
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 。
20。设A是m×n矩阵，A的秩为r(〈n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .
21。设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= 。
22。设3阶矩阵A的行列式|A｜=8，已知A有2个特征值—1和4，则另一特征值为 。
23。设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .
24。设实二次型f(x1，x2，x3,x4，x5）的秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为 .
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25。设A=，B=.求（1）ABT；(2）｜4A|.
26。试计算行列式。
27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B。
28。给定向量组α1=，α2=，α3=,α4=.
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是,则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求：（1）秩（A）；
（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D。
31。试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2，x3)=,
并写出所用的满秩线性变换.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分,共10分）
32.设方阵A满足A3=0，试证明E—A可逆,且（E-A）—1=E+A+A2。
33。设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系。试证明
（1)η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0,η1,η2线性无关.
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1.D 2。B 3.B 4.D 5。C
6。D 7。C 8.A 9.A 10。B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15. 6
16.
17. 4
18。 –10
19. η1+c(η2—η1）（或η2+c（η2-η1）），c为任意常数
20. n—r
21. –5
22. –2
23. 1
24.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解（1）ABT=
=。
（2)｜4A｜=43｜A|=64|A|，而
｜A｜=.
所以|4A｜=64·（—2）=—128
26.解
=
=
27.解 AB=A+2B即（A-2E)B=A，而
（A—2E）-1=
所以 B=（A-2E）-1A=
=
28。解一
所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为（2，1，1)。
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为(2，1,1）。
29.解 对矩阵A施行初等行变换
A
=B.
（1)秩(B）=3，所以秩(A)=秩(B）=3.
（2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30。解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=(2，—1,0)T， ξ2=（2，0,1）T.
经正交标准化，得η1=,η2=.
λ=-8的一个特征向量为
ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=。
对角矩阵 D=
（也可取T=.）
31.解 f(x1，x2，x3）=（x1+2x2-2x3）2—2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2—2x3)2—2（x2—x3）2—5x32.
设, 即，
因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1，x2,x3)的标准形
y12—2y22—5y32 。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证 由于（E-A）（E+A+A2)=E-A3=E，
所以E—A可逆，且
(E-A)—1= E+A+A2 。
33。证 由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0。
（1）Aη1=A(η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b，
所以η1,η2是Ax=b的2个解.
（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关,所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .
所以η0,η1，η2线性无关。
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