线性代数试题及答案.doc

线性代数习题和答案好东西第一部分 选择题 （共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1。设行列式=m,=n，则行列式等于( ) A. m+nB。 (m+n) C。 nmD。 mn2。设矩阵A=,则A-1等于（ ） A。 B。 C. D。 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于(1,2）的元素是（ ） A。 6B。 6 C。 2D. 24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B。 BC时A=0 C. A0时B=CD。 A0时B=C5。已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A。 1B. 2 C。 3D。 46。设两个向量组1，2，s和1,2，s均线性相关,则（ ） A.有不全为0的数1，2，,s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B。有不全为0的数1,2,，s使1(1+1）+2（2+2）+s（s+s)=0 C。有不全为0的数1，2，,s使1（11)+2(2-2)+s（ss)=0 D.有不全为0的数1，2，,s和不全为0的数1，2,，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r,则A中( ） A.所有r-1阶子式都不为0B。所有r-1阶子式全为0 C。至少有一个r阶子式不等于0D。所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A。1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩（A)nB.秩（A)=n-1 C.A=0D。方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n（3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A。如存在数和向量使A=,则是A的属于特征值的特征向量 B。如存在数和非零向量，使（EA）=0,则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1,2,3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k3B。 k3 C。 k=3D。 k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是( ） A.A|2必为1B.A必为1 C。A1=ATD。A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则( ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D。 A与B合同14。下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.B。 C。D.第二部分 非选择题(共72分）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分,共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分.15。 。16。设A=,B=.则A+2B= .17.设A=（aij)33,A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i，j=1,2,3），则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+（a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3,5）与向量（4,6，a）线性相关，则a= 。19.设A是34矩阵，其秩为3，若1,2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 。20。设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21。设向量、的长度依次为2和3，则向量+与-的内积（+，-）= 。22。设3阶矩阵A的行列式|A=8，已知A有2个特征值1和4，则另一特征值为 。23。设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 .24。设实二次型f(x1，x2，x3,x4，x5）的秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25。设A=，B=.求（1）ABT；(2）4A|.26。试计算行列式。27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B。28。给定向量组1=，2=，3=,4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是,则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D。31。试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2，x3)=,并写出所用的满秩线性变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分,共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明EA可逆,且（E-A）1=E+A+A2。33。设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系。试证明（1)1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0,1,2线性无关.答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2。B3.B4.D5。C6。D7。C8.A9.A10。B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 616. 17. 418。 1019. 1+c(21）（或2+c（2-1），c为任意常数20. nr21. 522. 223. 124. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT=。（2)4A=43A|=64|A|，而A=.所以|4A=64（2）=12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E)B=A，而（A2E）-1=所以 B=（A-2E）-1A=28。解一 所以4=21+2+3,组合系数为（2，1，1)。解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为(2，1,1）。29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1)秩(B）=3，所以秩(A)=秩(B）=3.（2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30。解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=(2，1,0)T， 2=（2，0,1）T.经正交标准化，得1=,2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=。对角矩阵 D=（也可取T=.）31.解 f(x1，x2，x3）=（x1+2x2-2x3）22x22+4x2x3-7x32=（x1+2x22x3)22（x2x3）25x32.设, 即，因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2,x3)的标准形 y122y225y32 。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证 由于（E-A）（E+A+A2)=E-A3=E，所以EA可逆，且(E-A)1= E+A+A2 。33。证 由假设A0=b,A1=0,A2=0。（1）A1=A(0+1）=A0+A1=b,同理A2= b，所以1,2是Ax=b的2个解.（2）考虑l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，1，2线性无关,所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以0,1，2线性无关。4