辗转相除法.docx

辗转相除法辗转相除法是一种古老且非常有效的求两个数的最大公约数的方法，也叫欧几里得算法(Euclidean algorithm)。这种算法可以很简单和快速的求解最大公约数。在这篇文章中，我们将会详细介绍辗转相除法，并提供一些例子来说明如何使用它来解决问题。辗转相除法的基本思想是: 用较小的数去除较大的数，再用余数去除较小的数，如此反复，直到余数为零为止。此时，除数就是原两个数的最大公约数。例如: 求30和45的最大公约数，我们可以按照下面的步骤进行计算: 用 45 去除 30，余数为 15; 用 30 去除 15，余数为 0; 因为余数为 0，所以最大公约数为 15。下面我们就来详细介绍一下辗转相除法的具体步骤:步骤 1: 将两个数 a 和 b 相除 (a b)，并求出余数 r1。$a = bq_1 + r_1$步骤 2: 将 b 和 r1 相除，并求出余数 r2。$b = r_1q_2 + r_2$步骤 3: 将 r1 和 r2 相除，并求出余数 r3。$r_1 = r_2q_3 + r_3$步骤 4: 如此反复，直到余数为 0 为止。此时，除数就是原两个数的最大公约数。$r_n-2 = r_n-1q_n + 0$最后将最后一个不为零的余数即为所求的最大公约数。这个过程可以用图示来表示如下:!辗转相除法示意图(https:/img-接下来，我们通过一些例子来进一步了解如何使用辗转相除法来解决问题。例1: 求 252 和 105 的最大公约数。样例输入: 252105样例输出:21解题思路:将较大的数(252)除以较小的数(105),得到余数47。再将105除以47,得到余数11。再将47除以11,得到余数3。再将11除以3,得到余数2。最后，将3除以2，得到余数1。因为余数为1，所以最大公约数为1。答案是21的原因: 最大公约数为1，252和105同时被1整除，所以252和105的公因数只有1。Python代码如下:def gcd(a, b): while b != 0: a, b = b, a % b return aa, b = int(input(), int(input()print(gcd(a, b)例2: 求 340 和 136 的最大公约数。样例输入: 340136样例输出:4解题思路:将较大的数(340)除以较小的数(136),得到余数68。再将136除以68,得到余数0。最后，将较小的数即为所求的最大公约数，因为 340 = 4 85, 136 = 4 34，所以最大公约数为 4。答案是4的原因: 340和136都能够被4整除，故而最大公因数为4。Python代码如下:def gcd(a, b): while b != 0: a, b = b, a % b return aa, b = int(input(), int(input()print(gcd(a, b)总结:辗转相除法是一种非常简单和有效的方法，可以用来求两个数的最大公约数，可以使用循环或递归进行实现。其实质是利用辗转相除，不断地将被除数和除数进行整除和求余，直到找到最大公约数，运算次数是比较少的。在对数据量比较大的数求最大公约数时特别方便，一般用在暴力枚举、线性筛法、高斯消元法等算法中。