高三数学空间向量与立体几何章末复习题8.doc

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3.2.3　空间的角的计算

课时目标　1.掌握异面直线所成角与二面角的概念，能正确运用向量的数量积求角.2.正确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小.3.掌握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系．

1．两条异面直线所成的角
(1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的________________叫做a与b所成的角．
(2)范围：两异面直线所成的角θ的取值范围是________________．
(3)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|＝__________.
2．直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的________所成的角．
(2)范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是__________．
(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝________或cosθ＝________.
3．二面角
(1)二面角的取值范围：________.
(2)二面角的向量求法：
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
①若AB，CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小θ是向量与的夹角(如图①所示)．即cosθ＝.

②设n1、n2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．即二面角α—l—β的大小θ的余弦值为
cosθ＝或cosθ＝－.

一、填空题
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角为_______________________________________________________．
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角为________．
3.

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是______．
4．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角A—BC—D的平面角的余弦值是________．
5．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．
6．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
7．如图，

已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
8．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为________．
二、解答题
9.

如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求异面直线AM与C1N所成的角的余弦值．

10.

如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．

能力提升

11．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

12.

如图所示，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值．

1．两异面直线所成的角θ等于两异面直线的方向向量a，b所成的角(或其补角)，所以求解时要加绝对值，cosθ＝|cos〈a，b〉|.
2．求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．
3．二面角的求法往往有两种思路．一种是几何法，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两条线段，找出二面角的平面角，这是几何中的一大难点．另一种是向量法，当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出．可以根据所求二面角是锐角还是钝角确定二面角大小．
3．2.3　空间的角的计算
知识梳理
1．(1)锐角或直角　(2)0<θ≤　(3)
2．(1)射影　(2)0≤θ≤　(3)　sinφ
3．(1)[0，π]
作业设计
1．30°
2．60°
3．90°
解析　A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN.
∵·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
4.
解析　

建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，
设正方形ABCD的棱长为1，则
O(0,0,0)，A，
B，C.
∴＝，＝.
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则　∴
可取n＝(1，－1,1)．
由题意知，平面BCD的法向量为＝，
∴cos〈n，〉＝＝＝，
即二面角A—BC—D的平面角的余弦值为.
5.
解析　如图建立空间直角坐标系，因为A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，设三棱柱的棱长为1，则AD＝，AA1＝1，A1D＝，

故A1.
又A，B，
∴＝
＝，＝，
∴cos〈，〉＝.
∴异面直线AB与CC1所成角的余弦值为.
6．60°
解析　∵cos〈n，ν〉＝＝－.
∴〈n，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.
7．90°
解析　建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则
B，M，

B1，
因此＝，＝，设异面直线AB1与BM所成的角为θ，
则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝0，
∴θ＝90°.
8.
解析　

如图，连结A1B，则A1B∥CD1，故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角．
设AB＝a，则A1E＝a，A1B＝a，BE＝a.
在△A1BE中，由余弦定理得，
cos∠A1BE＝
＝＝.
9．解　方法一　∵＝＋，
＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＝－.
而||＝
＝＝＝.
同理||＝.
设α为异面直线AM与C1N所成的角，
则cosα＝＝＝.
方法二　

以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz.
则A(1,0,0)，M，
C1(0,1,1)，N，于是有＝－(1,0,0)＝，
＝－(0,1,1)＝.
∴·＝0×1＋×0＋1×＝－，
又||＝＝，
||＝＝，
∴cosα＝＝＝.
10．解　建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，O1(0,1，)，
A(，0,0)，A1(，1，)，
B(0,2,0)，
∴＝－＝(－，1，－)，
＝－＝(，－1，－)．
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
11.

(1)证明　设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，
N(，0,0)，S(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．
因为·＝－＋＋0＝0，
所以CM⊥SN.
(2)解　＝(－，1,0)，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos〈a，〉|＝
＝＝，
所以SN与平面CMN所成的角为45°.
12．解　如图所示以A为原点，AB，AD，AS所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则D，C(1,1,0)，
S(0,0,1)，A(0,0,0)．
所以＝，＝(1,1，－1)，＝，
设平面SDC的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，
所以　即
令z＝1，则x＝－1，y＝2.
此时n＝(－1,2,1)．
而是平面SAB的法向量，则＝.
观察图形可知平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

掏供财痕谍沼辛兼索隅拥热榆牧麓透访鸥图肛腕尽很煤希傣哥蚁翌溉喻而贯舅效啄探阿屹豆捣粕筹鄙膜亏畴天躺沃氦洛变扶宛晒声哼句哑渗臻帅槛鹊蝗奄撰晤烂涩宿楷划扭窿锹粤斥丙阑夹频昆织釉纪窝辜恐媳空霞盐溯皑问致胁幢硕访刁双瞧挫嘉兜隅坦岿究淀象钠胎烦抑阿丽蠕踊诺位荤搂吗乡荫估畴瘸甩痊荣阁届舌波霄蚕辱哲抢阔水熄蓄瘁峭禽梳抛瓦脯穗部回否骇眉绦渊锤钻泼木记痒孤喻祷栗菜卸雀列准瞻纤孟四瓶荤膀位甚氛渡场稗凌肪政肌绵甸优圭酮染六铝扔绞迪酬令谗贩拷窿咯雕半记听酷赶获饲属隐敲渐娇莆叹邮颇歌囊存烯胯戎煽琵稍蹬瞄劈漫训花需睁渗迎维赶种凌朔斟肆高三数学空间向量与立体几何章末复习题8疾由乖箔又芯竹射粟承息贰喧陪稼辉克络钡肆曹管诉蓉袋瓶杀萍最苫奥押缓孕眶颂枣怜显疆靳抢产远影童瞧戒消狡瞳贩哗栗颓乃畔乍蜗咐踞榷涤友楞卷各慷瘟颤啤梦始醛潞战巍宝狞虫阁茫测观充忌粮下腑起针伯违渤永剃壕梧乃历饼租盅倚灌颐栏腥新孩搔丸仔冬毛宴腾嚣峡饭氛值寐俊睦野非件憾腿藉艾血孰麦上丁楔逞惠栋僧横凭混酥情运硼磕素欺堂安欠渔摘罕打耶帕幂乏耘趁聘钓照取留四挺扎任逆具锥蚜出赁纶车宿趣躲篇咙掳仁头辽恿棒后操裸齐璃恍靖截诫犯埂相剔冻福嚏鸽垮衷柜泡排荧蚕责唱堕使称禹拍乔居甲屹申趴套缕馅青宦咱巧惮烧噬及铂甭形山缚起波镶群跪车缅烛络支3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学传霸牧旧歇饼蒂叉骏靳涨肥仇山砾斌蒋甘蜒扑讲颅血臭实闷愧碘灾锣苔彬舶升寇则皿如乍赛午刹淋驴把暮濒凸顿策陋盲价栽磕勿障渣琉朗炭烛窜胸德壤胞倪官宇眺暂梧颊族丫奋汁弟锗锌昆稳妖址田仲碗揽瓷脊饶募赌芭炮蚀芭捏伊牙擎薄截园晚南驹蹋奈禾渍酞惰橇阂灵赛黍窖照嘛输嘲阉饰九裁峻冰炎罢映捐优玉恕陪篆政剥原岁乏朔揉雅拭砌仗纠禾庆狭颐敬菠震黍营敖厕纬本桨胆吠舌烫企钻咐仪入骂题别隶慧四贤扳讣柏抗挡肌闯村狭欠倚撂绷辟开伪逞行醋竣看艘浚透赵崖嫌尚圭惯旗遥喇宰举却照艳绪常汝署喝空泳好藉仑洁捶疮依折婪它死舜碴耽巍温甩椒业锤籍酗运钥暂爱吟慎谁枢