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全国通用高中数学必修一第五章三角函数(二十八)

1

单选题
1、函数fx=2sinωx+φω>0图像上一点Ps,t-2<t<2向右平移2π个单位，得到的点Q也在fx图像上，线段PQ与函数fx的图像有5个交点，且满足fπ4-x=fx，f-π2>f0，若y=fx，x∈0,π2与y=a有两个交点，则a的取值范围为（    ）
A．-2,-2B．-2,-2C．2,2D．2,2
答案：A
分析：首先根据已知条件分析出PQ=2π=2T，可得ω=2，再由fπ4-x=fx可得y=fx对称轴为x=π8，利用f-π2>f0可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出fx的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.

如图假设P0,0，线段PQ与函数fx的图像有5个交点，则PQ=2π，
所以由分析可得PQ=2π=2T，所以T=π，
可得ω=2πT=2ππ=2，
因为fπ4-x=fx所以fπ4-π8+x=fπ8+x，即fπ8-x=fπ8+x，
所以x=π8是fx的对称轴，
所以2×π8+φ=π2+kπk∈Z，即φ=π4+kπk∈Z，
f-π2=2sin-π+φ=-2sinφ>f0=2sinφ，
所以sinφ<0，可令k=-1得φ=-3π4，
所以fx=2sin2x-3π4，
当x∈0,π2时，令2x-3π4=t∈-3π4,π4，则ft=2sint，t∈-3π4,π4
作ft图象如图所示：

当t=-3π4即x=0时y=-2，当t=-π2即x=π8时，y=-2，
由图知若y=fx，x∈0,π2与y=a有两个交点，则a的取值范围为-2,-2，
故选：A
小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P0,0便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出fx的解析式，再利用数形结合的思想求解a的取值范围.
2、已知简谐振动fx=Asinωx+φφ<π2的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点0,34，则该简谐振动的频率和初相是（    ）
A．16，π6B．18，π3
C．18，π6D．16，π3
答案：C
分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点0,34求出初相即可得解.
由题意可知，A＝32，32＋T22＝52，
则T＝8，ω＝2π8＝π4，
∴ y＝32sinπ4x+φ.
由32sin φ＝34，得sin φ＝12.
∵|φ|＜π2，
∴φ＝π6.
因此频率是18，初相为π6.
故选：C
3、下列函数中为周期是π的偶函数是（    ）
A．y=sinxB．y=sin|x|
C．y=-sinxD．y=sinx+1
答案：A
分析：根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解.
对于A，y=sinx为偶函数,且最小正周期为π,所以A正确;
对于B，y=sinx为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C，y=-sinx为奇函数，所以C错误;
对于D, y=sinx+1为非奇非偶函数,所以D错误.
综上可知,正确的为A
故选:A
4、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=-22，则cosβ=（    ）
A．3210B．210C．7210D．9210
答案：B
分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β-α，利用两角差的余弦公式求得答案．
由α是锐角，sinα=45，则cosα=1-sin2α=35，
又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)，
又cosα+β=-22，则sin(α+β)=22，
则cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-22×35+22×45=-32+4210
= 210.
故选：B．
5、函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是

A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到
B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称
C．函数f(x)在区间-π3,π3上是单调递增的
D．函数f(x)图象的对称中心为kπ2-π12,0(k∈Z)
答案：D
解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.
由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，
∴φ=π6，
∴f（x）＝2sin（ωx+π6），
∵f（5π12）＝0且为单调递减时的零点，
∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k∈Z，
∴ω=2+24k5，k∈Z，
由图象知T=2πω＞2×5π12，
∴ω＜125，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+π6），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移π12个单位得，
∴A错，
令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，对称轴为x=π6+kπ2，则B错，
令2x+π6∈-π2+kπ,π2+kπ,则x∈-π3+kπ2,π6+kπ2，则C错，
令2x+π6=kπ，k∈Z，则x＝kπ2-π12，则D对，
故选：D．
小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
6、已知函数fx=2sin2π4+x-3cos2x．若关于x的方程fx-m=2在x∈π4,π2上有解，则实数m的取值范围是（    ）
A．12,22B．22,2
C．0,1D．22,2
答案：C
分析：求出函数fx在π4,π2上的值域后可求实数m的取值范围.
fx=2×1-cosπ2+2x2-3cos2x
=1+sin2x-3cos2x=2sin2x-π3+1,
当x∈π4,π2时，π6≤2x-π3≤2π3，所以12≤sin2x-π3≤1，
故fx的值域为2,3，
因为fx-m=2在x∈π4,π2上有解即fx=m+2在x∈π4,π2上有解，
故2≤m+2≤3即0≤m≤1，
故选：C.
7、一个扇形的半径为3，圆心角为α，且周长为8，则α=（    ）
A．53B．23C．35D．32
答案：B
分析：根据扇形的中心角公式计算．
设扇形的弧长为l，则l=8-3-3=2，则α=lr=23
故选：B．
8、关于函数y=sinx(sinx+cosx)描述正确的是（    ）
A．最小正周期是2πB．最大值是2
C．一条对称轴是x=π4D．一个对称中心是π8,12
答案：D
分析：利用三角恒等变换化简y得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论.
解：由题意得：
∵y=sinx(sinx+cosx)
=sin2x+12sin2x
=1-cos2x2+12sin2x
=22sin(2x-π4)+12
选项A：函数的最小正周期为Tmin=2πω=2π2=π，故A错误；
选项B：由于-1≤sin(2x-π4)≤1，函数的最大值为22+12，故B错误；
选项C：函数的对称轴满足2x-π4=kπ+π2，x=k2π+3π8，当x=π4时，k=-14∉Z，故C错误；
选项D：令x=π8，代入函数的f(π8)=22sin(2×π8-π4)+12=12，故π8,12为函数的一个对称中心，故D正确；
故选：D
多选题
9、已知函数fx=2sinωx+φ(ω>0,0<φ<π2).x=π2为函数的一条对称轴，且f3π8=1.若fx在-3π8,-π4上单调，则ω的取值可以是（    ）
A．43B．83C．163D．323
答案：BC
分析：由x=π2为对称轴，及f3π8=1求出ω的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出ω的范围，即可求出ω的值；
解：x=π2为对称轴⇒ωπ2+φ=kπ+π2，k∈Z；
f3π8=1⇒ω3π8+φ=2mπ+π6或2mπ+5π6，m∈Z；
联立解之得:ω=8k-2m+83或ω=8k-2m-83，k∈Z，m∈Z；
又在-3π8,-π4上单调，
∴-π4--3π8=π16≤πωω>0，所以0<ω≤8
∴ω=83或163
故选：BC
10、将函数fx=2sinx的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到gx的图象，下面四个结论正确的是（    ）
A．函数gx在区间0,2π3上为增函数
B．将函数gx的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．点π3,0是函数gx的图象的一个对称中心
D．函数gx在π,2π上的最大值为3
答案：AD
分析：先利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数gx的解析式，然后逐项判断.
解：将函数fx=2sinx的图象先向左平移π6个单位长度，可得y=2sinx+π6的图象，
然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得gx=2sin12x+π6的图象．
对于A选项，当x∈0,2π3时，12x+π6∈π6,π2，
此时gx=2sin12x+π6是单调递增的，故A正确；
对于B选项，将函数gx的图象向右平移π6个单位长度后得到y=2sin12x+π12的图象，不满足关于原点对称，故B错误；
对于C选项，将x=π3代入函数gx的表达式中，得到2sin12×π3+π6=2sinπ3=3≠0，
故点π3,0不是函数gx图象的一个对称中心，故C错误；
对于D选项，当x∈π,2π时，12x+π6∈2π3,7π6，最大值为3，故D正确．
故选：AD．
11、给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ）
A．若角α的终边过点P(3,-m)且sinα=-21313，则m=2
B．若α是第二象限角，则α2为第二象限或第四象限角
C．若f(x)=loga(x2+2ax+2a-1)在(-∞,-2)单调递减，则a∈(1,2]
D．设角α为锐角（单位为弧度），则α>sinα
答案：AD
分析：A由终边上的点可得-m9+m2=-21313即可求m值；B由题设2kπ+π2<α<2kπ+π，进而求α2的范围即可知所在的象限；C利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；D利用单位圆确定α,sinα所代表的长度，即可比较大小.
A：sinα=-m9+m2=-21313，易知m>0且m2=4，则m=2，正确；
B：2kπ+π2<α<2kπ+π，则kπ+π4<α2<kπ+π2，可知α2为第一象限或第三象限角，错误；
C：由x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)>0，当0<a<1时，(-∞,-1)上递增，(1-2a,+∞)上递减；当a>1时，(-∞,1-2a)上递减，(-1,+∞)上递增；而f(x)在(-∞,-2)上递减，则a>1且-1≥1-2a≥-2，可得1<a≤32，故错误；
D：如下图，单位圆中α=AC,sinα=AB，显然α>sinα，正确；

故选：AD
12、中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为5-12时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：5≈2.236）（    ）

A．S1S2=θ2π-θ
B．若S1S2=12，扇形的半径R=3，则S1=2π
C．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138∘
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20，则此时的扇形面积为2003-5
答案：AC
分析：首先确定S1,S2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由S1S2=θ2π-θ=12可求得θ，代入扇形面积公式可知B错误；由S1S2=θ2π-θ=5-12即可求得θ，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.
对于A，∵S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π-θ，
∴S1S2=12⋅θ⋅r2122π-θ⋅r2=θ2π-θ，A正确；
对于B，∵S1S2=θ2π-θ=12，∴θ=2π3，∴S1=12⋅θ⋅R2=12×2π3×9=3π，B错误；
对于C，∵S1S2=θ2π-θ=5-12，∴θ=3-5π，∴θ≈3-2.236×180∘≈138∘，C正确；
对于D，S1=12⋅θ⋅R2=12×3-5π×400=2003-5π，D错误.
故选：AC.
解答题
13、弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：
t
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
-20.0
-17.3
-10
0
10.1
17.2
20.0
17.2
10.3
0
-10．1
-17.3
-20.0
(1)试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；
(2)画出该函数在t∈0,0.6的图象；
(3)在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合．
答案：(1)y=20sin10π3t-π2=-20cos10π3t,t≥0
(2)图象见解析
(3)0.2,0.4
分析：（1）设函数解析式为y=Asin(ωt+φ)，t≥0，根据表格数据得出A，ω，φ的值，即可得出这个振子的位移关于时间的函数解析式；
（2）由五点作图法作图即可；
（3）解方程20sin(10π3t-π2)=10，即可得出t的取值集合.
（1）
设函数解析式为y=Asinωt+φ，t≥0，
由表格可知：A=20，T=0.6，则ω=2πT=2π0.6=10π3，即y=20sin10π3t+φ．
由函数图象过点0,-20，得-20=20sinφ，即sinφ=-1，可取φ=-π2．
则这个振子的位移关于时间的函数解析式为y=20sin10π3t-π2=-20cos10π3t,t≥0；
（2）
列表：
t
0
0.15
0.3
0.45
0.6
10π3t
0
π2
π
3π2
2π
y
-20
0
20
0
-20
由表格数据知，y=-20cos10π3t，t∈0,0.6的图象如图所示．
；
（3）
由题意得-20cos10π3t=10，即cos10π3t=-12，
则10π3t=2π3+2k1π,k1∈Z或10π3t=-2π3+2k2π,k2∈Z，
所以t=15+35k1,k1∈Z或t=-15+35k2,k2∈Z．
又t∈0,0.6，所以t=0.2或0.4．
所以在这次全振动过程中，位移为10mm时t的取值集合为0.2,0.4．
14、已知函数f(x)=12sinx+π3+143cosx+-12cos2x+12，且满足sinx>0．
（1）求x的取值范围；
（2）求函数fx的单调增区间.
答案：（1）2kπ<x<π+2kπ，k∈Z；（2）2kπ,π6+2kπ，k∈Z．
分析：（1）解不等式sinx>0，即可求解x的取值范围；
（2）首先化简函数fx，再结合sinx>0，求解fx的单调递增区间即可.
（1）∵sinx>0
∴2kπ<x<π+2kπ，k∈Z.
（2）fx=12sinx+π3+143cosx+-12cos2x+12
=1212sinx+32cosx+143cosx+sin2x
∵sinx>0
∴fx=14sinx+34cosx+143cosx+sinx，即fx=12sinx+32cosx=sinx+π3.
故有-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z.
同时需联立2kπ<x<π+2kπ，k∈Z.
综上可得函数fx的单调增区间为2kπ,π6+2kπ，k∈Z.
15、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=3c，b=27，求△ABC的面积；
（2）若sinA+3sinC=22，求C.
答案：（1）3；（2）15°.
分析：（1）已知角B和b边，结合a,c关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出a,c，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将A=30°-C代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
（1）由余弦定理可得b2=28=a2+c2-2ac⋅cos150°=7c2，
∴c=2,a=23,∴△ABC的面积S=12acsinB=3；
（2）[方法一]：多角换一角
∵A+C=30°，
∴sinA+3sinC=sin(30°-C)+3sinC
=12cosC+32sinC=sin(C+30°)=22，
∵0°<C<30°,∴30°<C+30°<60°，
∴C+30°=45°,∴C=15°.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及B=150°得2R=asinA=csinC=bsinB=2b．故sinA=a2b,sinC=c2b．
由sinA+3sinC=22，得a+3c=2b．
又由余弦定理得b2=a2+c2-2ac⋅cosB=a2+ c2+3ac，所以(a+3c)2=2a2+c2+3ac，解得a=c．
所以C=15°．
【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.

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