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全国通用高中数学第一章集合与常用逻辑用语(四)

1

单选题
1、命题∃x∈R,x2+1≤0的否定是（    ）
A．∀x∈R，x2+1>0B．∃x∈R，x2+1>0
C．∀x∈R，x2+1≥0D．∃x∈R，x2+1≥0
答案：A
分析：根据特称命题的否定形式直接求解.
特称命题的否定是全称命题，
即命题“∃x∈R,x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x2+1>0”.
故选：A
2、已知集合A=x∈Nx≤1,B=−1,0,1,2，则A∩B的子集的个数为（    ）
A．1B．2C．3D．4
答案：D
分析：根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．
由题意A∩B=0,1，因此它的子集个数为4．
故选：D．
3、设集合A=−1,0,1,2，B=1,2，C=xx=ab,a∈A,b∈B，则集合C中元素的个数为（    ）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.
当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；
当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；
当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，；
∴C=−2,−1,0,1,2,4，故C中元素的个数为6个.
故选：B.
4、已知集合M=xx=m−56,m∈Z，N=xx=n2−13,n∈Z，P=xx=p2+16,p∈Z，则集合M，N，P的关系为（    ）
A．M=N=PB．M⊆N=P
C．M⊆NPD．M⊆N，N∩P=∅
答案：B
分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.
对于集合M=xx=m−56,m∈Z，x=m−56=6m−56=6m−1+16，
对于集合N=xx=n2−13,n∈Z，x=n2−13=3n−26=3n−1+16，
对于集合P=xx=p2+16,p∈Z，x=p2+16=3p+16，
由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，
注意到3n−1+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6m−1+1表示的数是6的倍数加1，
所以6m−1+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，
所以M⊆N=P.
故选：B.
5、已知a，b∈R，则“”的一个必要条件是（    ）
A．a+b≠0B．a2+b2≠0C．a3+b3≠0D．1a+1b≠0
答案：B
分析：利用a=3,b=−3否定ACD选项，进而得答案.
解：对于A选项，当a=3,b=−3时，，此时a+b=0，故a+b≠0不是的必要条件，故错误；
对于B选项，当时，a2+b2≠0成立，反之，不成立，故a2+b2≠0是的必要条件，故正确；
对于C选项，当a=3,b=−3时，，但此时a3+b3=0，故a3+b3≠0不是的必要条件，故错误；
对于D选项，当a=3,b=−3时，，但此时1a+1b=0，故故1a+1b≠0不是的必要条件，故错误.
故选：B
6、命题“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是（    ）
A．∃x≥0,x2+ax−1<0B．∃x≥0,x2+ax−1≥0
C．∃x<0,x2+ax−1<0D．∃x<0,x2+ax−1≥0
答案：C
分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax−1<0”.
故选：C
7、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则（    ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
答案：A
分析：先写出集合M,然后逐项验证即可
由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误
故选:A
8、已知x∈R，则“x−2x−3≤0成立”是“|x−2+x−3|=1成立”的（   ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：C
分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2+x−3|即可，再证必要性，若|x−2+x−3|=1，即|x−2+x−3|=|（x−2）-（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．
充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，
∴|x−2+x−3|=x−2+3−x=1，
必要性：若|x−2+x−3|=1，又∵|（x−2）-（x−3）|=1，
∴|x−2+x−3|=|（x−2）-（x−3）|，
由绝对值的性质：若ab≤0，则a+b=|a−b|，
∴（x−2）(x−3）≤0，
所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2+x−3|=1成立”的充要条件，
故选：C．
9、已知集合A=x,yx+y≤2,x∈Z,y∈Z，则A中元素的个数为（    ）
A．9B．10C．12D．13
答案：D
分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.
由题意可知，集合A中的元素有：−2,0、−1,−1、−1,0、−1,1、0,−2、0,−1、0,0、0,1、0,2、1,−1、1,0、1,1、2,0，共13个.
故选：D.
10、已知集合S=ss=2n+1,n∈Z，T=tt=4n+1,n∈Z，则S∩T=（    ）
A．∅B．SC．TD．Z
答案：C
分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.
任取t∈T，则t=4n+1=2⋅2n+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，
因此，S∩T=T.
故选：C.
11、设集合A=x−2<x<4，B=2,3,4,5，则A∩B=（    ）
A．2B．2,3C．3,4D．2,3,4
答案：B
分析：利用交集的定义可求A∩B.
由题设有A∩B=2,3，
故选：B .
12、已知集合M=−3,−2,−1,0,1,2,3，非空集合P满足：（1）P⊆M；（2）若x∈P，则−x∈P，则集合P的个数是（    ）
A．7B．8C．15D．16
答案：C
分析：根据题意把M中元素按相反数分成4组，这4组元素中一定是一组元素全属于P或全不属于P，由此结合集合的子集的性质可得P的个数．
满足条件的集合P应同时含有−3,3或−2,2或−1,1或0，又因为集合P非空，所以集合P
的个数为24−1=15个，
故选：C.
多选题
13、下列命题中，是全称量词命题的有（    ）
A．至少有一个x使x2+2x+1=0成立B．对任意的x都有x2+2x+1=0成立
C．对任意的x都有x2+2x+1=0不成立D．矩形的对角线垂直平分
答案：BCD
分析：判断各选项中命题的类型，由此可得出结果.
A选项中的命题为特称命题，BCD选项中的命题均为全称命题.
故选：BCD.
14、已知集合P=1,2,Q=x|ax+2=0，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（    ）
A．−2B．−1C．1D．0
答案：ABD
分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.
因为P∪Q=P，所以Q⊆P.
由ax+2=0得ax=−2，
当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；
当a≠0时，x=−2a，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.
综合得a=0或a=−2或a=−1.
故选：ABD
小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.
15、下列四个选项中正确的是（    ）
A．∅⊆a,bB．a,b=a,b
C．a,b⊆b,aD．∅⊆0
答案：CD
分析：注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B.
对于A选项，集合∅的元素是∅，集合a,b的元素是a,b，故没有包含关系，A选项错误；
对于B选项，集合a,b的元素是点，集合a,b的元素是a,b，故两个集合不相等，B选项错误；
对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；
对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.
故选：CD.
16、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（    ）
A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅
B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B
C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B
D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁RA⊕∁RB
E．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A
答案：ABD
解析：根据新定义判断．
根据定义A⊕B=[(∁RA)∩B]∪[A∩(∁RB)]，
A.若A⊕B=B，则∁RA∩B=B，A∩∁RB=∅，∁RA∩B=B⇒B⊆∁RA，A∩∁RB=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；
B.若A⊕B=∅，则∁RA∩B=∅，A∩∁RB=∅，A∩B=A=B，B正确；
C. 若A⊕B⊆A，则∁RA∩B=∅，A∩∁RB⊆A，则B⊆A，C错；
D.A=B时，A⊕B=∅，(∁RA)⊕(∁RB)=∅=A⊕B，D正确；
E.由定义，A⊕B=[(∁RA)∩B]∪[A∩(∁RB)]=B⊕A，E错．
故选：ABD．
小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．
17、已知集合A=y|y=x2+1，集合B=(x,y)|y=x2+1，下列关系正确的是（    ）．
A．(1,2)∈BB．A=BC．0∉AD．(0,0)∉B
答案：ACD
分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．
由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，
A正确，B错，C正确，D正确，
故选：ACD．
小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．
18、已知集合A=yy=x2+1，集合B=xx>2，下列关系正确的是（    ）
A．B⊆AB．A⊆BC．0∉AD．1∈A
答案：ACD
解析：求出集合A，利用元素与集合、集合与集合的包含关系可得出结论.
∵A=yy=x2+1=yy≥1，B=xx>2，
所以，B⊆A，0∉A，1∈A.
故选：ACD.
19、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
答案：BCD
分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．
设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12=16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.
故选：BCD．

20、使“a<b”成立的必要不充分条件是（    ）
A．∀x>0，a⩽b+xB．∃x⩾0，a+x<bC．∀x⩾0，a<b+xD．∃x>0，a+x⩽b
答案：BCD
解析：根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．
解：若a<b，∀x>0，则a+x<b+x，
∵a<a+x，
∴a<a+x<b+x，即a<b+x，则a⩽b+x不一定成立；故A错误，
若a<b，当a=2，b=4，∃x=1⩾0，有a+x<b成立，反之不一定成立；故B满足条件．
∀x⩾0，由a<b得a+x<b+x，
∵x⩾0，∴a+x⩾a，即a⩽a+x<b+x
则a<b+x成立，故C满足条件，
若a<b，当a=2，b=3，∃x=1>0，有a+x⩽b成立，反之不一定成立；故D满足条件．
故选：BCD．
小提示：本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
21、（多选）下列命题为真命题的是（    ）
A．∃x∈R，x2<1
B．“a2=b2”是“a=b”的必要而不充分条件
C．若x，y是无理数，则x+y是无理数
D．设全集为R，若A⊆B，则∁RB⊆∁RA
答案：ABD
分析：对A，x2<1有实数解，举例即可判断；
对B，分别判断必要性和充分性；
对C，x，y的无理数部分互为相反数时，x+y不是无理数；
对D，由补集概念即可判断
对A，当x=0时，x2<1成立，故A正确；
对B，当a=b时，a2=b2成立，但当a2=b2时，a=±b，所以“a2=b2”是“a=b”的必要而不充分条件，故B正确；
对C，当x=−2，y=2时，x+y=0，不是无理数，故C错误；
对D，全集为R，若A⊆B，则∁RB⊆∁RA，故D正确.
故选：ABD.
22、已知U为全集，则下列说法正确的是（    ）
A．若A∩B=∅，则(∁UA)∪(∁UB)=UB．若A∩B=∅，则A=∅或B=∅
C．若A∪B=∅，则(∁UA)∩(∁UB)=UD．若A∪B=∅，则A=B=∅
答案：ACD
分析：利用集合的交、并、补运算即可求解.
A，因为(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)，A∩B=∅，
所以(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)=U，A说法正确；
B，若A∩B=∅，则集合A,B不一定为空集，
只需两个集合中无公共元素即可，B说法错误，；
C，因为(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)，A∪B=∅，
所以(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)=U，说法正确；
D，A∪B=∅，即集合A,B中均无任何元素，可得A=B=∅，D说法正确.
故选：ACD
解答题
23、已知命题p:∀x∈R，a2−1x2+a−1x+4>0，q:∃x∈R，x2−2a+1x+1<0
（1）若“−2−3t≤a≤2t−1”是p成立的充分条件，求实数t的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，求实数a.
答案：（1）−∞,−115；(2) −32,−1715∪12,1
分析：（1）当命题p,q为真时，求得a的取值范围，“−2−3t≤a≤2t−1”是p成立的充分条件即−2−3t,2t−1⊆−∞,−1715∪1,+∞，计算求解即可；
（2）p∧q为假，p∨q为真，即即p,q一真一假,分情况讨论即可得出结果.
（1）命题p为真时，a=1或a2−1>0Δ=a−12−4×a2−1×4<0，解得：a=1或a>1或a<−1715，综上：p为真，a的取值范围为−∞,−1715∪1,+∞；
命题q为真时，Δ=2a+12−4>0，解得a的取值范围为−∞,−32∪12,+∞；
若“−2−3t≤a≤2t−1”是p成立的充分条件，则−2−3t,2t−1⊆−∞,−1715∪1,+∞，
①−2−3t>2t−1时，t<−15，符合题意.
②−2−3t≤2t−12t−1<−1715时，即t≥−15t<−115，−15≤t<−115.
③−2−3t≤2t−1−2−3t≥1时，t≥−15t<−1，无解.
综上：t的取值范围为：−∞,−115.
（2）若p∧q为假，p∨q为真，即p,q一真一假：
①p真q假：a<−1715或a≥1−32<a<12，即−32<a<−1715
②p假q真：−1715≤a<1a≤−32或a≥12，即12≤a<1.
综上：实数a的取值范围：−32,−1715∪12,1.
小提示：方法点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法
（1）求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围；
（2）判断命题p,q的真假性；
（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围.
24、已知A=x∣x2+4x=0,B=x∣x2+2a+1x+a2−1=0.
(1)若A是B的子集，求实数a的值；
(2)若B是A的子集，求实数a的取值范围.
答案：(1)a=1；
(2)a⩽−1或a=1.
分析：（1）由题得B=A=−4,0，解Δ>0−4+0=−2(a+1)−4×0=a2−1即得解；
（2）由题得B⊆A，再对集合B分三种情况讨论得解.
（1）解：由题得A=−4,0.
若A是B的子集，则B=A=−4,0，
所以Δ>0−4+0=−2(a+1)−4×0=a2−1,∴a=1.
（2）解：若B是A的子集，则B⊆A.
①若B为空集，则Δ=4(a+1)2−4a2−1=8a+8<0，解得a<−1；
②若B为单元素集合，则Δ=4(a+1)2−4a2−1=8a+8=0，解得a=−1.
将a=−1代入方程x2+2a+1x+a2−1=0，
得x2=0，即x=0,B=0，符合要求；
③若B为双元素集合，B=A=−4,0，则a=1.
综上所述，a⩽−1或a=1.
25、请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
已知集合A=x|x2−4x−12≤0，B=xx2−2x+1−m2≤0，m0.
(1)求集合A,B；
(2)若x∈A是x∈B成立的______条件，判断实数m是否存在？
答案：(1)A={x|−2≤x≤6}，B={x|1−m≤x≤1+m}
(2)答案见解析
分析：（1）求解不等式即可求出集合A,B；
（2）若选择条件①，则集合A是集合B的真子集，列出不等式即可求出；
若选择条件②，则集合B是集合A的真子集，列出不等式即可求出；
若选择条件③，则集合A等于集合B，列出方程组即可求解.
（1）
由x2−4x−12≤0得−2≤x≤6，故集合A={x|−2≤x≤6}，
由x2−2x+1−m2=0得x1=1−m，x2=1+m，
因为m>0，故集合B={x|1−m≤x≤1+m}；
（2）
若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
则有1−m≤−21+m≥6，解得m≥5，
所以，实数m的取值范围是5，+∞．
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有1−m≥−21+m≤6，解得0<m≤3，
所以，实数m的取值范围是0，3．
若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B，
则有1−m=−21+m=6，方程组无解，
所以，不存在满足条件的实数m
26、已知集合A={x|x=m+6n,其中m,n∈Q}．
(1)试分别判断x1=−6，x2=2−3+2+3与集合A的关系；
(2)若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．
答案：(1)x1∈A，x2∈A
(2)x1x2∈A，理由见解析
分析：（1）将x1，x2化简，并判断是否可以化为m+6n，m,n∈Q的形式即可判断关系.
（2）由题设，令x1=m1+6n1，x2=m2+6n2，进而判断是否有x1x2=m+6n，m,n∈Q的形式即可判断.
(1)
x1=−6=0+6×(−1)∈A，即m=0,n=−1符合；
x2=3−122+3+122=6=0+6×1∈A，即m=0,n=1符合.
(2)
x1x2∈A．理由如下：
由x1，x2∈A知：存在m1，m2，n1，n2∈Q，使得x1=m1+6n1，x2=m2+6n2，
∴x1x2=m1+6n1m2+6n2=m1m2+6n1n2+6m1n2+m2n1，其中m1m2+6n1n2，m1n2+m2n1∈Q，
∴x1x2∈A.
27、已知命题P:∃x∈R，使x2−4x+m=0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设A=x3a<x<a+4为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
答案：(1)B=(4,+∞)
(2)43≤a<2
分析：（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；
（2）先根据A为非空集合求出a<2，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
（1）解：由题意，得关于x的方程x2−4x+m=0无实数根，
所以Δ=16−4m<0，解得m>4，
即B=(4,+∞)；
（2）解：因为A=x3a<x<a+4为非空集合，
所以3a<a+4，即a<2，
因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则3a≥4，即a≥43，
所以43≤a<2，

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