辽宁省朝阳市重点中学2020-2021学年高二上学期期末联考-数学-Word版含答案.docx

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朝阳市重点中学2022-2021学年度高二上学期期末联考
数 学 试 卷
命题人： 胡道波 何小明 校对人： 胡道波
留意事项：
1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为(　　)
（A）(1,3,2) （B）(-1，-3,2) （C）(-1,3，-2) （D）(1，-3，-2)
2．已知，，，则动点的轨迹是（　　）21
（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线
3. 已知命题：,，则是（ ）
（A）R, （B）R,
（C）R, （D）R,
4. 已知函数的导函数的图象如图
所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）

5．“”是“且”的 (　　)
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）

7．下列命题中，真命题是(　　)
（A）∃x0∈R，≤0 （B）∀x∈R, 2x＞x2
（C）双曲线的离心率为
（D）双曲线的渐近线方程为
8．已知实数满足则的最小值是（ ）
（A）5 （B） （C） （D）
9．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为（　　）
（A） （B）
（C） （D）
10．设（R,且）， 则 大小关系为（ ）
（A）（B）（C）（D）
11. 四棱锥中，底面是平行四边形，
则直线与底面的关系是(　　)
（A）平行　　　　　　 　（B）垂直
（C）在平面内 （D）成60°角
12. 对，若，且，，则(　　)
（A）y1＝y2 （B）y1>y2
（C）y1<y2 （D）y1，y2的大小关系不能确定

第II卷

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的焦点到准线的距离是 .

14.为等差数列的前项和，，则 .

15．曲线在点（1,1）处的切线方程为 .

16. 过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.

18．(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)若，求函数的值域.

19．(本小题满分12分)
已知为直角梯形，,平面，
(Ⅰ)求证：平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点作直线交抛物线于，两点,求证: .

21．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，.
(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值；
(Ⅱ)在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）
设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求证：三点共线.

高二数学参考答案与评分标准
一、选择题
1．C；2．D；3.C；4. A；5．B；6．B；7．D；8．C；9．A；10．D；11. B；12．B．
二、填空题
13.1；14.21；15.；16.8．
三、解答题
17．解：(Ⅰ)∵为，的等差中项， ， 2分
∵,∴A＝. 4分
(Ⅱ)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4. 6分
而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. 8分
解得b＝c＝2. 10分

18.解：(Ⅰ) .
当时，或； 2分
当时， . 4分
∴函数的单调增区间为和；
函数的单调减区间为。 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知；
.
又由于 10分
所以函数的值域为 12分

19.解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
可得。 2分
（Ⅰ）证明法一：由于，
所以, 4分
所以,,平面，平面，
所以平面. 6分
证明法二：由于平面，平面，所以,又由于=90°，即，,平面，平面，
所以平面. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量，
设平面的法向量，
又,
且
所以
所以平面的一个法向量为
所以
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分

20.解：（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：，
则点的坐标为，点的一个坐标为， 2分
∵，∴， 4分
∴，∴，∴. 6分
（Ⅱ）设、两点坐标分别为、，
法一：由于直线当的斜率不为0，设直线当的方程为
方程组得，

由于
所以
=0，
所以.
法二：①当的斜率不存在时，的方程为，此时
即有所以.…… 8分
② 当的斜率存在时，设的方程为
方程组得
所以 10分
由于
所以
所以.
由①②得. 12分

21.解：如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，
可得.
C1
B1
A1
B
A
C

（Ⅰ）所以，平面的一个法向量
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.……… 6分
（Ⅱ）假设存在满足条件的点，设AD=，
则，设平面的法向量，
由于,，
且
所以 所以平面的一个法向量
又由于平面的一个法向量
所以
解得，由于，此时,
所以存在点，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°. …………………… 12分

22.解：(Ⅰ)由题知，，∴， 3分
∴椭圆. 4分
(Ⅱ) 设点，由(Ⅰ)知
∴直线的方程为，∴. 5分
∴，， 8分

由方程组
化简得:,,.
10分
∴,
∴三点共线. 12分