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双基限时练(二十一)
1．下列关于几何概型的说法错误的是( )
A．几何概型也是古典概型中的一种
B．几何概型中大事发生的概率与位置、外形无关
C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性
D．几何概型在一次试验中能消灭的结果有无限个
解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型．
答案 A
2．下列概率模型：
①在区间[－10,10]中任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到确定值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的整数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．
其中，是几何概型的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①是．由于区间[－10,10]有无限多个点，取到1这个数的概率为0.
②是．由于在[－10,10]和[－1,1]上有无限多个点可取，且在这两个区间上每个数取到的可能性相同．
③不是．由于[－10,10]上的整数只有21个，不满足无限性．
④是．由于在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有很多多个点，且每个点被投中的可能性相同．
答案 C
3．如图所示，在一个边长为a，b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 由几何概型知，所求的概率为梯形面积与矩形面积之比，即＝＝.
答案 C
4．设A为圆周上肯定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 如图所示，在⊙O上取点B，C，使AB＝AC＝OA，则当点P在优弧上时，弦AP>OA.
由几何概型知，所求概率为
＝.
答案 D
5．已知实数x，y可以在0<x<2,0<y<2的条件下随机取数，那么取出的数对满足x2＋(y－1)2<1的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 如图所示，x，y的取值在正方形OABD内，适合条件的x，y在以(0,1)为圆心，半径为1的半圆内．因此由几何概型，得P＝＝.
答案 B
6．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 依据题意求出矩形面积为20 cm2时的各边长，再求概率．设AC＝x，则BC＝12－x，∴x(12－x)＝20，解得x＝2，或x＝10，故所求的概率为P＝＝.
答案 C
7．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 如图所示，由几何概型概率公式得，所求的概率为P＝＝1－.
答案 D
8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－ B.－
C. D.
解析 设OA＝OB＝2R，连接AB，如图所示，由图形的对称可得，阴影面积S阴影＝π(2R)2－×(2R)2＝(π－2)R2，S扇形＝π(2R)2＝πR2.故所求的概率是P＝＝1－.
答案 A
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2cm，在图形上随机扔一粒黄豆，则黄豆落在圆内(阴影部分)的概率是________．
解析 由几何概型得，P＝＝＝.
答案
10．在1000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观看，则发觉草履虫的概率是________________.
解析 由几何概型知，P＝.
答案
11．假设你在如图所示的图形上随机扔一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是________．
解析 设圆的半径为r，则阴影部分的面积为×2r×r＝r2，圆的面积为πr2，因此所求概率为P＝＝.
答案
12．如图，平面上一长12 cm，宽10 cm的矩形ABCD内有一半径为1 cm的圆O(圆心O在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，则硬币不与圆O相碰的概率为________．
解析 由题意可知，只有硬币中心投在阴影部分时才符合要求．
所以不与圆相碰的概率P＝＝1－.
答案 1－
13．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________．
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
解析 (1)圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝5.
(2)如图，作l′∥l，且O到l′的距离为3，OE⊥l′于E，
sin∠ODE＝＝，∴∠ODE＝60°，
从而∠BOD＝60°，因此点A在上时，满足题意，
故所求的概率为P＝.
答案 (1)5 (2)
14．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，观察下列三种状况的概率各是多少？
(1)红灯；
(2)黄灯；
(3)不是红灯．
解 由于绿灯、红灯、黄灯不停地交替，轮换一次需时间75秒．
(1)红灯亮的时间长是30秒，故所求概率为＝.
(2)黄灯亮的时间长为5秒，故所求概率为＝.
(3)不是红灯的对立大事是红灯，因此不是红灯的概率为1－＝.
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