湖南省衡阳八中2021届高三上学期第四次月考试题-数学(文)-Word版含答案.docx

衡阳市八中2021届高三第四次月考试题
文科数学
命题：罗欢 曾令华 审题：彭学军
留意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合（ ）
A. B. C. D.
2．下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3．函数，是（ ）
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
4．以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，，，且，那么与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．函数的零点落在区间内
C．函数的最小值为2
D．若，则直线与直线相互平行
7.若函数的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线斜率等于（　）
A．1 B． C．2 D．
8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象的对称轴重合，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
9．设,函数,则的值等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．已知，把数列的各项排列成如下的三角外形，

记表示第行的第个数，则=　（ ）
A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题。每小题5分，请将答案填写在答卷相应的位置上。
11．设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数 .
12．已知是等差数列，，，那么该数列的前13项和等于 .
13.函数在区间上的最小值是
14．在中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则
15已知函数，若方程恰有4个不等根，则实数的取值范围为

三、解答题：（本大题有6个小题，共75分。要求写出具体解答过程）
16（本小题满分12分）．等差数列{}足：，，其中为数列{}前n项和．
（1）求数列{}通项公式；
（2）若，且，，成等比数列，求k值．

17．（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.
（1）若，求；
（2）用表示，并求的最大值.

18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
（1）证明：AD⊥C1E；
（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．

19.（本小题满分13分）已知在△ABC中，三条边a,b、c所对的角分别为A、B,C，向量m=（sinA，cosA），n＝（cosB，sinB），且满足m·n＝sin2C.
（1）求角C的大小；
(2)若sinA,sinC, sinB成等比数列，且，求边c的值并求△ABC外接圆的面积。

20．（本小题满分13分）已知二次函数+的图象通过原点，对称轴为，．是的导函数，且 ．
（1）求的表达式（含有字母）；
（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（3）在（2）条件下，若，，是否存在自然数，使得当时恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．

21（本小题满分13分）.已知，函数
（1）当时，若，求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围；
（3）已知曲线在其图像上的两点处的切线分别为，若直线与平行，摸索究点与点的关系，并证明你的结论。

2021届高三文科数学月考（4）答案
一选择题：50分
1-------5： D C C A B
6------10: B B C A B
二填空题：25分
11． 12. 13. 14. 15.
三解答题：75分
16.（1）由条件，；
（2）， ∵．
17.（1） ，
又

（2）
即 两式相减得：
令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.

18解：（Ⅰ）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC． ①
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，
∴AD⊥BB1． ②
由①，②得AD⊥平面BB1C1C．
由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，
∴AD⊥C1E．………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵AC∥A1C1，
∴∠A1C1E是异面直线AC，C1E 所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°．
∵∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，
∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，
从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E．
故C1E＝＝2，又B1C1＝＝2，
∴B1E＝＝2．
从而V三棱锥C1-A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2××＝．…………………12分

19. （1）m·n＝sin2C.

（2）sinA,sinC, sinB成等比数列

设外接圆的半径为，由正弦定理可知：

20．试题解析：（1）由已知，可得，， 1分
∴ 解之得， 3分
4分
（2） 5分

= 8分
（3）
9分
（1）
（2）
（1）—（2）得： … 11分
=，即，当时， … 12分
，使得当时，恒成立 13分

21．试题解析：（1）由于，所以， 1分
则，
而恒成立，
所以函数的单调递增区间为． 4分
（2）不等式在区间上有解，
即不等式在区间上有解，
即不等式在区间上有解，
等价于不小于在区间上的最小值． 6分
由于时，，
所以的取值范围是． 8分
（3）由于的对称中心为，
而可以由经平移得到，
所以的对称中心为，故合情猜想，若直线与平行，
则点与点关于点对称． 9分
对猜想证明如下：
由于，
所以，
所以，的斜率分别为，．
又直线与平行，所以，即，
由于，所以，， 11分
从而，
所以．
又由上 ，
所以点，（）关于点对称．
故当直线与平行时，点与点关于点对称． 13分