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数 学（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．复数计算的结果是（ ）
A．－1 B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．的开放式中常数项是（ ）
A．5 B． C．10 D．
4．已知为等差数列，为其前n项和．若，，则必有（ ）
A． B． C． D．
5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
6．右图是函数图像的一部分，则和为（ ）
Ａ．,
Ｂ．,
Ｃ．,
Ｄ．,
7．开放合并同类项后的项数是（ ）
A．11 B．66 C．76 D．134
8．已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．若变量满足约束条件，则的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知三棱锥的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，，,则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围是（ ）
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ；
14．如右图，输入正整数，满足，则输出的 ；
15．若直线：被圆C：截得的弦最短，则k= ；
16．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，依据此排列规律，第10行从左向右的第5个数为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题共12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设大事：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列与期望．
18．（本小题共12分）已知数列{}中，为其前n项和，且，当时，恒有（为常数）．
(Ⅰ)求常数的值；
(Ⅱ)当时，求数列{}的通项公式；
（Ⅲ）设，数列的前n项和为，求证：．
19.（本小题共12分）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝．
（Ⅰ）求证：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．
20．（本小题共12分）已知定点及椭圆，过点的动直线与该椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题共12分）（Ⅰ）已知正数、满足，求证：；
（Ⅱ）若正数、、、满足，
求证：．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．留意：只能做所选定的题目．假如多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，和相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点.
证明：（I）；
（II）.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知椭圆C：，直线：，
（I）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C与直线的极坐标方程；
（II）已知P是上一动点，射线OP交椭圆C于点R，又点Q在OP上且满足．当点P在上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（I）证明：；
（II）求不等式：的解集．
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数学（理科）参考答案
一．选择题：1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A
7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B
二．填空题：13．， 14．， 15．1， 16．50．
三、解答题：
17．【解】：（Ⅰ）．
（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有件，
明显X=0,1,2．故
．．．
X
0
1
2
所以X的分布列为
∴EX=
18．【解】：(Ⅰ)当时，，∴，或
当时，则有与已知冲突，
∴，只有．
当时，由，∵又∴
∴
(Ⅱ)∵，，当时，
，∴
当
（Ⅲ）
当时，明显成立，当时有
∴
19．【解法一】：（Ⅰ）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD，
由于SA=SB，所以AO=BO，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
SO=1，．△SAB的面积．连结DB，
得△DAB的面积设D到平面SAB的距离为h，
由于，得，解得．
设SD与平面SAB所成角为，则．
所以，直线SD与平面SAB所成的正弦值为．
【解法二】：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
由于SA=SB，所以AO=BO．
又，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，
，，，S（0，0，1），，
，，所以SA⊥BC．
（Ⅱ）取AB中点E，，
连结SE，取SE中点G，连结OG，．
，，．
，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。
所以OG⊥平面SAB，与的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余．
，．，，
所以，直线SD与平面SAB所成的角的正弦值为．
20．【解】：（1）设直线AB：x=my-1
消去x得：
所以由
得：
所求直线AB方程为：
（2）设M，则
=
=
所以当且仅当，即存在定点使为定值
或，只要即时，……
21．【解】：（Ⅰ）先求函数（）的最小值
∵
于是，
当0<时，，在区间是减函数，
当时，，在区间是增函数，
所以时取得最小值，，∴
∵，∴，由①得
∴
（Ⅱ）∵，设
则，由（Ⅰ）的结论可得：
…………………①
同理∵有：
………②
①+②得：
由于
∴
22．【证明】：（1）由与相切于，得，同理，
所以从而，
即 ……4分
（2）由与相切于，得，又，得
从而，即，综合（1）的结论， ……10分
23．【解】：（I）C：，：
（II）设，则
24．【解】：（I）
∴
（II）①当时，，而
∴无解
②当时，，原不等式等价于：
③当时，，原不等式等价于：
综上，不等式的解集为．
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