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三角函数、解三角形、平面对量
1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，留意：相等的角的终边确定相同，终边相同的角不愿定相等．
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．
[问题1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．
答案 －
2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
－α
π－α
π＋α
2π－α
－α
sin
－sin α
sin α
－sin α
－sin α
cos α
cos
cos α
－cos α
－cos α
cos α
sin α
[问题2] cos ＋tan＋sin 21π的值为___________________________．
答案 －
3．三角函数的图象与性质
(1)五点法作图；
(2)对称轴：y＝sin x，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cos x，x＝kπ，k∈Z；
对称中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cos x，，k∈Z；y＝tan x，，k∈Z.
(3)单调区间：
y＝sin x的增区间： (k∈Z)，
减区间： (k∈Z)；
y＝cos x的增区间： (k∈Z)，
减区间：[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)；
y＝tan x的增区间： (k∈Z)．
(4)周期性与奇偶性：
y＝sin x的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cos x的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tan x的最小正周期为π，为奇函数．
易错警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，简洁毁灭以下错误：
(1)不留意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；
(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；
(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为.
[问题3] 函数y＝sin的递减区间是________．
答案 (k∈Z)
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin βsin 2α＝2sin αcos α.
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin βcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan(α±β)＝.
cos2α＝，sin2α＝，tan 2α＝.
在三角的恒等变形中，留意常见的拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]．
α＋＝(α＋β)－，α＝－.
[问题4] 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
答案 －
5．解三角形
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．留意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必留意可能有两解，要结合具体状况进行取舍．在△ABC中A>B⇔sin A>sin B.
(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理鉴定三角形的外形．
[问题5] 在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B＝________.
答案 45°
6．向量的平行与垂直
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.
a⊥b (a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
0看成与任意向量平行，特殊在书写时要留意，否则有质的不同．
[问题6] 下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是________．
答案 ④
7．向量的数量积
|a|2＝a2＝a·a，
a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，
cos θ＝＝，
a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝.
留意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；
〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；
〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．
易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．
[问题7] 已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．
答案
8．当a·b＝0时，不愿定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不愿定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．
[问题8] 下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是________．
答案 ④
9．几个向量常用结论：
①＋＋＝0⇔P为△ABC的重心；
②·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心；
③向量λ(＋) (λ≠0)所在直线过△ABC的内心；
④||＝||＝||⇔P为△ABC的外心．
易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误
例1 要得到y＝sin(－3x)的图象，需将y＝(cos 3x－sin 3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．
错解 右 或右
找准失分点 y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin
＝sin.
题目要求是由y＝sin→y＝sin(－3x)．
右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．
正解 y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin
＝sin，
要由y＝sin得到y＝sin(－3x)只需对x加上即可，因而是对y＝(cos 3x－sin 3x)向左平移个单位．
答案 左
易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误
例2 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求cos β.
错解 由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π，
则cos(α＋β)＝±.
由cos α＝，0<α<，得sin α＝.
故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝或.
找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝<，
∴0<α＋β<或<α＋β<π，又cos α＝<，
∴<α<，即α＋β∈，∴cos(α＋β)＝－.
正解 ∵0<α<且cos α＝<cos ＝，
∴<α<，又0<β<，
∴<α＋β<π，又sin(α＋β)＝<，
∴<α＋β<π.
∴cos(α＋β)＝－＝－，
sin α＝＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.
易错点3 忽视向量共线致误
例3 已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．
错解 ∵cos θ＝＝.
因θ为锐角，有cos θ>0，
∴>0⇒2λ＋1>0，
得λ>－，λ的取值范围是.
找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排解cos θ＝1即共线且同向的状况．
正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1.
又∵cos θ＝＝，
∴0<≠1，
∴，解得
∴λ的取值范围是.
答案
1．(2022·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 D
解析 由于角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－.
2．(2022·大纲全国)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 C
解析 ∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，c＝tan 35°＝，
又0<cos 35°<1，∴c>b>a.
3．已知sin θ＋cos θ＝ (0<θ<)，则sin θ－cos θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝，
又0<θ<，∴sin θ<cos θ.
∴sin θ－cos θ＝－
＝－＝－.
4．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
答案 A
解析 ∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.
又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，
∴2c·(a＋b)＝c2＋1.
∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝，
∴c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)．
又－1≤cos θ≤1，∴0<c2＋1≤2|c|，
∴c2－2|c|＋1≤0，
∴－1≤|c|≤＋1.
5.函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)等于( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
答案 B
解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A＝2.
又由于函数经过点，则2sin＝2，
即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝－＋2kπ，k∈Z.
f(0)＝2sin φ＝2sin＝－1.
6．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( )
A. B. C. D．－
答案 C
解析 ∵cos C＝＝，
又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2.
∴cos C≥.∴cos C的最小值为.
7．(2022·山东)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
答案
解析 已知A＝，
由题意得||||cos ＝tan ，
||||＝，
所以△ABC的面积
S＝||||sin ＝××＝.
8．(2022·江苏)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
答案
解析 由题意，得sin＝cos ，
由于0≤φ<π，所以φ＝.
9．已知函数f(x)＝Asin(ω＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，－<φ<)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M，N，P都在函数f(x)的图象上，记∠MNP＝θ，则cos 2θ的值是________．
答案 －
解析 由图可知，A＝1，f(x)的最小正周期T＝8，
所以T＝＝8，即ω＝.
又f(1)＝sin(＋φ)＝1，且－<φ<，
所以－<φ＋<，
即φ＋＝，所以φ＝.
所以f(x)＝sin(x＋1)．
由于f(－1)＝0，f(1)＝1，f(5)＝－1，
所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)．
所以＝(－2，－1)，＝(4，－2)，·＝－6，
||＝，||＝2，
则cos∠MNP＝＝－，
即cos θ＝－.
于是cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
10．(2022·天津)已知函数f(x)＝cos x·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由于f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，
f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，
所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.
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