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第七节 反比例函数与幂函数
题号
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3
4
5
6
7
答案
1．下列函数中是幂函数的是( )
①y＝；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；
③y＝x＋x2；④y＝xn；⑤y＝(x－1)3；
⑥y＝2x2；⑦y＝x2＋1.
A．①②③④ B．②④⑦
C．②④⑤⑥ D．①④
解析：依据幂函数的定义，形式上符合y＝xa(a ∈R)的函数才是幂函数，于是y＝＝x－2，y＝xn是幂函数，其余都不是．
答案：D
2．幂函数f(x)＝xa(a是有理数)的图象过点，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，0)
解析：∵图象过，则＝2a，∴a＝－2.
∴f(x)＝x－2.
由y＝x－2图象可知f(x)的单调减区间是(0，＋∞)．
答案：B
3．若a＜0，则下列不等式成立的是( )
A．2a＞＞0.2a B．0.2a＞＞2a
C.＞0.2a＞2a D．2a＞0.2a＞
解析：由于a＜0，所以y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，且函数值大于零，所以0.2a＞＞2a.故选B.
答案：B
4．(2021·河北沧州二模)右图是函数y＝x (m，n∈N*，m，n互质)的图象，则( )
A．m，n是奇数且＜1
B．m是偶数，n是奇数且＞1
C．m是偶数，n是奇数且＜1
D．m是奇数，n是偶数且＞1
解析：y＝x＝为偶函数，∴m为偶数，n为奇数．与y＝x相比＜1.
答案：C
5．如图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析：可以依据图象对应寻求函数，故应选B.
答案：B
6．已知0≤a≤5且a∈Z，若幂函数y＝x3－a是R上的偶函数，则a的取值为( )
A．1 B．1，3 C．1，3，5 D．0，1，2，3
解析：依据0≤a≤5且a∈Z，得a＝0，1，2，3，4，5.使函数y＝x3－a为R上的偶函数的a的值为1，则a的取值为1.
答案：A
7．(2021·黄冈质检)设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则( )
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
解析：幂函数y＝x是定义域上的单调递增函数，所以0.4＜0.5，指数函数y＝0.5x是定义域上的单调递减函数，所以0.5＜0.5，故y1＜y2＜y3.
答案：B
8．给出四个结论：
①y＝x3是幂函数，y＝(－1)x也是幂函数；
②幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)；
③幂函数的图象不行能经过第四象限；
④y＝在定义域上是减函数．
其中正确结论的序号是________．
解析：①y＝x3是幂函数，y＝(－1)x是指数函数；②幂函数y＝x－1不过(0，0)点；③由于在y＝xα(α∈R)中，只要x>0，必有y>0，所以幂函数的图象不行能在第四象限；④y＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数．
答案：③
9．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm2－6在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为________．
解析：由于f(x)为幂函数，所以m2－5m＋7＝1，即m＝2或3；
又由于f(x)＝(m2－5m＋7)xm2－6在(0，＋∞)上单调递增，
所以m2－6＞0，即m＞或m＜－，所以m＝3.
答案：3
10．现有下列命题：
①当指数大于0时，幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0); ②幂函数的图象确定经过两个象限；③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确命题的序号是____________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
解析：y＝x的图象只过一个象限，故②错误；当n＝0时，函数y＝x0＝1(x≠0)该函数的图象是直线y＝1再去掉点(0，1)，故③不对；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，故④错误；只有①⑤正确，故本题应填①⑤.
答案：①⑤
11．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点，试明确m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点，
∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1，∴f(x)＝x.
由f(2－a)＞f(a－1)得
解得1≤a＜.∴a的取值范围为.
12．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．
解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3＜0.解得－1＜m＜3.
∵m∈N*，∴m＝1，2.
又函数f(x)的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．
而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
又函数g(x)＝x在R上为增函数，∴(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1<3－2a，解得a<.
∴a的取值范围是.
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