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第七章 立体几何
第1讲 空间几何体的三视图、直观图、
表面积与体积
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·贵阳适应性监测)一个简洁几何体的正视图、侧视图分别为如图所示的矩形、正方形，则其俯视图不行能为
( )
A．矩形 B．直角三角形
C．椭圆 D．等腰三角形
解析 依题意，题中的几何体的俯视图的长为3、宽为2，因此结合题中选项知，其俯视图不行能是等腰三角形，故选D.
答案 D
2．(2021·湖州高三质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( )
A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为×2×2×2＋4×2×2＋4×2＝20＋8，故选D.
答案 D
3. (2022·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为
( )
A. B.
C. D.
解析 三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
答案 A
4．(2022·四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是
( )
A．3 B．2
C. D．1
解析 由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V＝××2××＝1.
答案 D
5．(2022·新课标全国Ⅰ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
( )
A．6 B．4
C．6 D．4
解析 如图，设帮助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6，选C.
答案 C
二、填空题
6.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．
解析 由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
答案 ②③
7．(2022·山东卷)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析 设六棱锥的高为h，斜高为h0.由于该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为×2×2×sin 60°×6＝6，则×6h＝2，得h＝1，所以h0＝＝2，所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
答案 12
8．(2021·绍兴一中检测)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．
解析 由三视图可知四棱锥的底面是边长为3的正方形，高为1.故体积V＝Sh＝×3×3×1＝3.
答案 3
三、解答题
9．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试推断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
解 (1)正六棱锥．
(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝a，
∴该平面图形的面积S＝ a·a＝a2.
(3)V＝×6×a2×a＝a3.
10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解
(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝ cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，
体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2022·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－
解析 这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－×π×12×2×2＝8－π.
答案 B
12．在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为( )
A.V B.V C.V D.V
解析 设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.
连接MD.
由于M是AE的中点，
所以VM－ABCD＝V.
所以VE－MBC＝V－VE－MDC.
而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，
所以＝＝.
由于B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝.
所以VE—MBC＝VM－EBC＝V.
答案 D
13．如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1－B1EDF的体积为________．
解析 法一 连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，
过O1作O1H⊥B1D于H.
∵EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，
EF⊂平面B1EDF.∴A1C1∥平面B1EDF.
∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．
∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，且平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，
∴O1H⊥平面B1EDF，
即O1H为棱锥的高．
∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝＝a.
∴VC1－B1EDF＝S四边形B1EDF·O1H＝··EF·B1D·O1H＝··a·a·a＝a3.
法二 连接EF，B1D.
设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝a.
由题意得，VC1－B1EDF＝VB1－C1EF＋VD－C1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝a3.
答案 a3
14．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明 在题图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.
15．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．
(1)证明 因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，
又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.
由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，
所以BD⊥平面PAC.
(2)解 三棱锥P－BCD的底面BCD的面积
S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×sin ＝.
由PA⊥底面ABCD，得
VP－BCD＝·S△BCD·PA＝××2＝2.
由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，
故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×××2＝，
所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝.
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