高中数学(北师大版)必修五教案：2.2-三角形中的几何计算-参考教案1.docx

§2 三角形中的几何计算
教学目的：
1进一步生疏正、余弦定理内容；
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；
3能够利用正、余弦定理推断三角形的外形；
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
授课类型：新授课
课时支配：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式
1启发同学在证明三角形问题或者三角恒等式时，要留意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并留意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；
2引导同学总结三角恒等式的证明或者三角形外形的推断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：
一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：

，
二、讲解范例：
例1在任一△ABC中求证：

证：左边=
==0=右边
例2 在△ABC中，已知，，B=45° 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45°<90° 即b<a ∴A=60°或120°
当A=60°时C=75°
当A=120°时C=15°
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时

从而A=60° ，C=75°
当时同理可求得：A=120° ，C=15°
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=- ∴C=120°
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC2-2AC•BC•osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：
解之： （舍去）
由余弦定理：
∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1°求最大角 ;
2°求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1°设三边 且
∵C为钝角 ∴解得
∵ ∴或3 但时不能构成三角形应舍去
当时
2°设夹C角的两边为
S
当时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不行用此时应留意余弦定理在建立方程时所发挥的作用由于D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC
∴
解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发同学留意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并留意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，
∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求同学留意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π
∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符
∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求同学在利用同角的正、余弦平方关系时，应依据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较
四、小结 通过本节学习，我们进一步生疏了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家留意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解力气
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记及备用资料：
1正、余弦定理的综合运用
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这确定理解题，简捷明快，下面举例说明之
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，
则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的外形
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，
由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，
∴sin2C＝sin2B∴B＝C
故△ABC是等腰三角形
2一题多证
在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0
即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形
证法二：依据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即
又∵∴即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形
证法三：∵cosC＝∴
化简后得b2＝c2∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形