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第4讲 随机大事的概率
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·襄阳模拟)有一个玩耍，其规章是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．大事“甲向南”与大事“乙向南”是 ( )
A．互斥但非对立大事 B．对立大事
C．相互独立大事 D．以上都不对
解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的，故是互斥大事，但不是对立大事，故选A.
答案 A
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则大事“抽到的不是一等品”的概率为 ( )
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
解析 大事“抽到的不是一等品”与大事A是对立大事，由于P(A)＝0.65，所以由对立大事的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案 C
3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的大事是 ( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
解析 对于A中的两个大事不互斥，对于B中两个大事互斥且对立，对于C中两个大事不互斥，对于D中的两个大事互斥而不对立．
答案 D
4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估量概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是 ( )
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
解析 由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估量概率可得其为二等品的概率为0.45.
答案 D
5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 乙不输包含两种状况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.
答案 A
二、填空题
6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列大事：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必定大事；________是不行能大事；________是随机大事．
答案 ③ ② ①
7．抛掷一粒骰子，观看掷出的点数，设大事A为消灭奇数点，大事B为消灭2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则消灭奇数点或2点的概率为________．
解析 由于大事A与大事B是互斥大事，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案
8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
解析 摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.30，口袋内球的个数为21÷0.42＝50，所以黑球的个数为50×0.30＝15.
答案 15
三、解答题
9．(2022·陕西卷)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解 (1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”，B表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和
4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为
4 000元的频率为＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.
10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解 法一 (利用互斥大事求概率)
记大事A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
P(A4)＝，
依据题意知，大事A1、A2、A3、A4彼此互斥，
由互斥大事的概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二 (利用对立大事求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立大事为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立大事为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝.
(2)由于A1＋A2＋A3的对立大事为A4，
所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是 ( )
A．A＋B与C是互斥大事，也是对立大事
B．B＋C与D是互斥大事，也是对立大事
C．A＋C与B＋D是互斥大事，但不是对立大事
D．A与B＋C＋D是互斥大事，也是对立大事
解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事．故选D.
答案 D
12．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的大事是 ( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
解析 由于＝1－，而“2张全是移动卡”的对立大事是“至多有一张移动卡”，故选A.
答案 A
13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外爱好小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参与了不止一个小组，具体状况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种状况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立大事是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
答案
14．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估量40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估量相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.
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